Solucionador de Expressões Booleanas

A expressão é !(A & B), nas duas variáveis A e B. Conte as linhas onde o resultado é 1, escreva a função como uma soma de mintermos e, em seguida, descubra o que pode construir a partir desta única porta e de mais nada.

Abrir este problema na ferramenta

1. Duas variáveis, cada uma livre de ser 0 ou 1, pelo que a tabela fica com uma linha por par. O analisador indica essa contagem antes de avaliar qualquer coisa, porque a dimensão da questão é fixada pelas variáveis e não pela expressão escrita sobre elas.

   $$2^2=4$$

2. Preencha primeiro a coluna interior. A & B é 1 apenas quando ambas as entradas são 1, pelo que três linhas contêm 0 e a última contém 1. A tabela imprime esta subexpressão como a sua própria coluna ao lado do resultado, o que lhe permite verificar a análise sintática em vez de apenas a resposta.

   $$A\wedge B:0,0,0,1$$

3. O NOT inverte cada entrada e não faz mais nada. Os três zeros passam a uns e o único um passa a zero, pelo que a coluna de resultados é o exato negativo da coluna acima dela.

   $$\neg (A\wedge B):1,1,1,0$$

4. Isso deixa 3 das 4 linhas a 1. Como fração, é 0,75, que o painel indica como uma percentagem das combinações de entrada.

   $$\frac{3}{4}=0.75=75.0\%$$

5. Nomeie cada linha verdadeira pela conjunção que é 1 nessa linha e em nenhuma outra — o seu mintermo — e faça a operação OR entre as três. Esta é a forma normal disjuntiva canónica, e é a lista que a ferramenta imprime por baixo da tabela.

   $$(\neg A\wedge \neg B)\vee (\neg A\wedge B)\vee (A\wedge \neg B)$$

Agora tome !A | !B, que não partilha qualquer operador com !(A & B) — sem parênteses negados, sem AND em lado nenhum. Construa a sua coluna do zero e veja onde ela vai dar.

Abrir este problema na ferramenta

1. Duas colunas NOT, ambas impressas ao lado do resultado. !A é 1 nas 2 linhas onde A é 0; !B é 1 nas 2 linhas onde B é 0. Coincidem numa linha e ambas falham numa linha.

   $$\neg A:1,1,0,0\neg B:1,0,1,0$$

2. OR é 0 apenas onde ambas as suas entradas são 0, e isso acontece em exatamente uma linha: A=1, B=1, a linha onde nenhuma negação sobrevive. Qualquer outra linha tem pelo menos um 1 para contribuir.

   $$\neg A\vee \neg B:1,1,1,0$$

3. Assim, 3 das 4 linhas são 1 — o mesmo 0,75, indicado como a mesma percentagem.

   $$\frac{3}{4}=75.0\%$$

4. Os mintermos também coincidem, termo a termo e pela mesma ordem que no primeiro problema.

   $$(\neg A\wedge \neg B)\vee (\neg A\wedge B)\vee (A\wedge \neg B)$$

5. Agora compare as duas expressões sem qualquer tabela. A & B é 1 em exatamente uma linha, pelo que !(A & B) é 0 em exatamente essa linha, e é a mesma linha que acaba de derrotar !A | !B. Duas colunas que são 0 no mesmo sítio e 1 em todos os outros lados são uma única coluna.

   $$\neg (A\wedge B)\equiv \neg A\vee \neg B$$

6. Quão impressionado deve ficar? Uma tabela de 4 linhas tem 4 células de resultado, cada uma 0 ou 1, pelo que duas variáveis admitem apenas 16 funções distintas no total. A concordância é fácil num conjunto tão pequeno — e é por isso que o passo 5 é a parte que importa: fixou uma linha e nunca contou o resto.

   $$2^{2^2}=2^4=16$$