Explorador de crescimento e decaimento exponencial

modele crescimento e decaimento com N(t) = N0 · e^(kt)

Exemplo resolvido — Explorador de crescimento e decaimento exponencial

N(t)	2225.5409
Tempo de duplicação	8.6643

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Lição

A teoria — Explorador de crescimento e decaimento exponencial

A variação exponencial é o que acontece quando a taxa de variação é proporcional à quantidade presente — juros sobre um saldo, decaimento de um núcleo, uma população com espaço para se expandir. Não existe uma fórmula separada para o crescimento e para o decaimento; existe uma única fórmula e um sinal.

O que significa cada símbolo

N₀: o valor inicial em t = 0. Escala toda a curva e não altera em nada a sua forma, razão pela qual não aparece em nenhuma das duas linhas relativas à taxa.
k: a constante de taxa contínua, cujo sinal decide tudo. Positivo e a quantidade cresce sem limite; negativo e diminui em direção a zero sem nunca o atingir; exatamente zero e nada acontece.
t: o tempo decorrido, na unidade em que k foi indicado. Ambos têm de coincidir — uma taxa por ano com um tempo em meses é a forma mais comum de obter aqui uma resposta errada com toda a confiança.
N(t): o valor após esse tempo. Com N₀ = 1000, k = 0.08 e t = 10, indica 2225.5409 — mais do que o dobro, porque o crescimento capitalizou continuamente em vez de uma única vez.

De onde vem a fórmula

A afirmação «a taxa é proporcional à quantidade» traduz-se em dN/dt = kN. Esta é a única hipótese; tudo o resto deriva dela.
Separando as variáveis e integrando obtém-se N(t) = N₀·e^(kt). A base e não é uma escolha de conveniência — é o resultado da constante quando o crescimento é aplicado continuamente em vez de por passos.
Para o tempo de duplicação, determina-se quando N atinge 2N₀: e^(kt) = 2, logo kt = ln 2 e t = ln 2 / k. O valor inicial anula-se, razão pela qual o tempo de duplicação depende exclusivamente da taxa.
A meia-vida é o cálculo idêntico com ½ em vez de 2, resultando em t = ln 2 / |k| — a mesma expressão, porque reduzir a metade à taxa −k demora exatamente o mesmo tempo que duplicar à taxa +k. Com k = 0.08, a linha do Tempo de duplicação indica 8.6643; com k = 0.02, um quarto da taxa, indica 34.6574, exatamente quatro vezes mais tempo.

Como ler o que vê

As duas linhas relativas à taxa são mutuamente exclusivas e o travessão cumpre uma função real. Com k = 0.08, o Tempo de duplicação indica 8.6643 e a Meia-vida indica —; ao mudar para k = −0.2, a Meia-vida indica 3.4657, enquanto o Tempo de duplicação fica em branco. Uma quantidade em crescimento não tem meia-vida e uma quantidade em diminuição não tem tempo de duplicação, pelo que a linha em branco é uma afirmação e não uma omissão.

Pressupõe: Uma taxa que se mantém constante durante todo o período e uma quantidade sem qualquer restrição. Nenhuma das duas premissas subsiste por muito tempo na prática: as populações encontram uma capacidade de carga e as taxas de juro são renegociadas.
Falha quando: Defina k exatamente como 0 e ambas as linhas de taxa indicam — em simultâneo, o que é a resposta correta e merece reflexão. Nada está errado: a uma taxa nula, a quantidade permanece em 1000 para sempre, pelo que nunca duplica nem se reduz a metade, e ln 2 / 0 é indefinido em vez de infinito. A fórmula degenera numa linha horizontal, e os dois traços em branco representam a recusa do ecrã em dividir por zero e não uma falha de cálculo.

Porque é que dividir 70 pela percentagem dá o tempo de duplicação 🖖

O atalho funciona porque ln 2 = 0.693147, que é 70 disfarçado assim que a taxa é contada em percentagem em vez de como um decimal. A 7% ao ano, esta ferramenta indica um tempo de duplicação de 9.9021, enquanto 70/7 indica 10 — um erro de cerca de uma parte em cem. A 8%, indica 8.6643 contra 70/8 = 8.75, e a diferença aumenta à medida que a taxa cresce, porque a aproximação só é exata no limite de k pequeno. Os banqueiros que usam 72 em vez de 70 não cometeram um erro: 72 divide-se exatamente por 2, 3, 4, 6, 8 e 9, e estão a trocar um pouco de precisão por aritmética que pode ser feita de cabeça.

Problemas resolvidos na íntegra

Uma cultura que começa com 1000 células e cresce a 8% por hora 5 passos
Uma cultura começa com 1000 células e cresce 8% por hora durante 10 horas. Três pessoas dar-lhe-ão três respostas diferentes e todas as três conseguem defender a sua. Calcule qual delas produz o modelo exponencial e quão distantes estão entre si.
1. A primeira resposta trata os 8% por hora como uma quantidade fixa: 80 células por hora, 800 em dez horas. É o que "por hora" significa para um salário e é o que a maioria das pessoas imagina. É também a única das três que está errada nos seus próprios termos, porque as células produzidas na primeira hora continuam a dividir-se na segunda hora.
  
  $(i) N = N_{0} (1 + k t) = 1000 (1 + 0.8) = 1800$
2. A segunda corrige isso capitalizando uma vez por hora — multiplicando por 1,08, dez vezes. Agora as novas células contribuem. Este é um modelo perfeitamente defensável e é exatamente correto se a população der um salto no início de cada hora.
  
  $(ii) N = N_{0} (1 + k)^{t} = 1000 \times 1.0 8^{10} = 2158.92$
3. A terceira toma o limite. As células não esperam pelo relógio, pelo que a taxa se aplica continuamente, e essa é a equação diferencial dN/dt = kN. A sua solução é a exponencial, e e^0,8 é toda a diferença em relação à segunda resposta.
  
  $(iii) \frac{d N}{d t} = k N ⟹ N = N_{0} e^{k t} = 1000 e^{0.8} = 2225.5409$
4. O tempo de duplicação resulta da mesma solução, e N₀ cancela-se ao longo do processo. É isso que torna o crescimento exponencial contraintuitivo: o tempo para duplicar não depende de quão grande a população já é, pelo que uma cultura demora tanto tempo a passar de um milhão para dois milhões como demorou a passar de mil para dois mil.
  
  $N = 2 N_{0} ⟺ k t = ln 2 ⟹ t_{2} = \frac{ln 2}{0.08} = 8.6643$
5. A dispersão é o ponto essencial. O crescimento contínuo supera a interpretação ingénua em 24% e a capitalização horária em 3%, ao longo das mesmas dez horas e à mesma taxa indicada.
  
  $\frac{2225.54}{1800} = 1.236, \frac{2225.54}{2158.92} = 1.031$
Resposta

A ferramenta apresenta 2225,5409 e um tempo de duplicação de 8,6643 horas. As três respostas candidatas eram 1800, 2158,92 e 2225,54 — a primeira e a última diferem em 425 células, mais de 40% da população inicial, e nenhuma parte dessa diferença provém de desacordo relativamente à taxa. Deriva inteiramente de discordar sobre quando o crescimento é creditado. É também daí que vem a "regra dos 70": 70/8 = 8,75 contra uns verdadeiros 8,6643, cerca de 1% acima, porque ln 2 = 0,693 e alguém preferiu um numerador com muitos divisores.

$N (10) = 1000 e^{0.8} = 2225.5409, t_{2} = \frac{ln 2}{k} = 8.6643$
Quanto tempo vive uma célula, e quando a curva deixa de contar 6 passos
A predefinição de decaimento deixa 135,3353 das 1000 células iniciais ao fim de dez horas, reduzindo-se a metade a cada 3,4657. Calcule quanto vive em média uma única célula e decida a partir de que ponto a curva deixa de descrever uma cultura.
1. N(t) = 1000e^(−0,2t), pelo que em t = 10 o expoente é −2 e o painel indica 135,3353.
  
  $N (t) = N_{0} e^{k t} = 1000 e^{- 0.2 \times 10} = 1000 e^{- 2} = 135.3353$
2. O tempo de semivida vem de e^(−0,2T) = ½, o que dá T = ln 2 / 0,2 = 3,4657 na linha que o tempo de duplicação deixou vaga. Dez horas são 2,8854 desses, e 1000 × 2^(−2,8854) volta a dar 135,3353: o mesmo valor alcançado pelo outro caminho.
  
  $e^{- 0.2 T} = \frac{1}{2} \Rightarrow T = \frac{ln 2}{0.2} = 3.4657; \frac{10}{3.4657} = 2.8854, 1000 \times 2^{- 2.8854} = 135.3353$
3. O tempo de semivida não é a constante do expoente. Escreva a mesma curva como N = N₀e^(−t/τ) e τ = 1/|k| = 5 horas. Às cinco horas a contagem é 1000/e = 367,8794.
  
  $N = N_{0} e^{- t / τ}, τ = \frac{1}{∣ k ∣} = 5; N (τ) = \frac{1000}{e} = 367.8794$
4. τ é o tempo de vida médio de uma célula. A probabilidade de uma dada célula ainda lá estar no instante t é e^(−t/τ), e integrar isso de zero a infinito dá exatamente τ. Logo, τ/T = 1/ln 2 = 1,4427 em qualquer decaimento exponencial que exista: a vida média fica sempre cerca de 44% além da semivida, porque a semivida é a mediana e alguns sobreviventes de longa duração puxam a média para lá dela.
  
  $Pr (alive at t) = e^{- t / τ} ⟹ \overset{ˉ}{t} = \int_{0}^{\infty} e^{- t / τ} d t = τ = 5, \frac{τ}{T} = \frac{1}{ln 2} = 1.4427$
5. Agora o esvaziamento. A curva nunca chega a zero, mas o balão chega. O número esperado de sobreviventes é exatamente N(t), pelo que se espera que a última célula desapareça onde a curva cruza 1: t = τ ln N₀ = 5 ln 1000 = 34,5388 horas.
  
  $N (t) = 1 ⟺ t = τ ln N_{0} = 5 ln 1000 = 34.5388$
6. Algures entre os dois, a leitura deixa de ser uma contagem. Em t = 30 a curva dá 2,4788, e nenhuma cultura alguma vez teve 2,4788 células. Esse valor é uma média sobre muitas repetições da experiência; um balão concreto tem 0, 1, 2 ou 3.
  
  $N (30) = 2.4788$
Resposta

Uma célula vive 5 horas em média contra uma semivida de 3,4657, e a razão 1/ln 2 é a mesma para o carbono-14 e para o césio-137. Espera-se que o balão esteja vazio às 34,5388 horas, o que não é um cálculo novo mas o ponto onde a própria curva cruza N = 1. Começar com o dobro das células adia isso em 5 ln 2 = 3,4657 horas, mais uma semivida, seja qual for a contagem inicial, que é o argumento do tempo de duplicação da outra predefinição com o sinal invertido. Leia N(t) como uma contagem enquanto for grande e como um valor esperado assim que for pequeno. A fórmula não muda; o que ela lhe diz, muda.

$t_{last} = τ ln N_{0} ⟹ N_{0} \to 2 N_{0} buys τ ln 2 = T = 3.4657 hours$

Referências (2)

Where the exponential decay law was first established as a physical law rather than a curve fit: E. Rutherford & F. Soddy, “XLI. The cause and nature of radioactivity.—Part I.” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 4(21), 370–396, 1902.
The second half of the same argument, which introduces the transformation theory the half-life belongs to: E. Rutherford & F. Soddy, “LXIV. The cause and nature of radioactivity.—Part II.” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 4(23), 569–585, 1902.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-05-21

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Problemas de exemplo

crescimento constante - k = 0.08 transforma 1000 em 2225.5409 até t = 10, duplicando a cada 8.6643; a linha da meia-vida mostra —
decaimento constante - k = −0.2 deixa 135.3353 dos 1000 iniciais, com meia-vida 3.4657, e é o tempo de duplicação que fica vazio
crescimento lento - k = 0.02 precisa de 34.6574 para duplicar — exatamente quatro vezes os 8.6643 de k = 0.08, porque o tempo de duplicação é ln(2)/k