Ferramenta de Somatório Sigma

Escolha uma expressão, defina os limites e veja como o total acumulado evolui termo a termo.

Exemplo resolvido — Ferramenta de Somatório Sigma

Soma finita	55
Número de termos	10

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Ferramenta de Somatório Sigma

A notação sigma é uma instrução compacta para somar. ∑ diz: tome a expressão à sua direita, faça o índice percorrer todos os números inteiros desde o limite inferior até ao limite superior — ambos os extremos incluídos — e some os resultados.

As quatro partes de uma expressão sigma: o sinal de somatório, com o limite superior escrito acima dele e o índice e o limite inferior abaixo, seguido do termo a somar.

O sinal de somatório. Não tem qualquer valor — indica que deve somar.
O limite superior n, acima do sigma: o último valor do índice, incluído.
O índice e o seu limite inferior, k = m, abaixo do sigma: onde a contagem começa, também incluído.
O termo f(k), à direita: calculado uma vez por cada valor do índice, e são esses resultados que são somados.

O que significa cada símbolo

k: o índice — um contador que toma cada valor inteiro por ordem. Matematicamente, o seu nome é privado da soma, pelo que i ou j significariam exatamente a mesma coisa; aqui é sempre k, e a coluna da tabela acima tem o cabeçalho Index (k).
m: o limite inferior, escrito sob o sigma como k = m. É o primeiro valor do índice e está incluído — é o campo de acima.
n: o limite superior, escrito acima do sigma. O último valor que o índice toma, também incluído, motivo pelo qual ir de 1 a 10 dá dez termos em vez de nove. É o campo até acima.
f(k): o termo — a expressão calculada uma vez para cada valor do índice. Aqui é escolhido entre cinco: k, k^2, 2k+1, 1/k e (-1)^k.

De onde vem a fórmula

Como ambos os limites estão incluídos, o número de termos não é n − m. Escreva os valores do índice por extenso: m, m + 1 e assim sucessivamente até n.
Subtraia m a cada elemento para que a lista comece em zero: 0, 1, … , n − m. Reetiquetar altera o nome dos elementos, não a sua quantidade.
Uma lista que vai de 0 a n − m contém n − m + 1 elementos. Assim, de 1 a 10 obtêm-se dez termos e de 0 a 12 obtêm-se treze — que é o que a Contagem de termos indica acima em cada caso.

Pressupõe: Valores do índice inteiros, um passo de cada vez, e em número finito: ambos os limites são arredondados a inteiros e limitados ao intervalo de −30 a 30 para que a página não bloqueie. O termo é escolhido entre cinco predefinições em vez de ser digitado, o que torna isto um demonstrador da notação em vez de uma calculadora de somatórios de utilização geral.
Falha quando: Escolha 1/k e inicie o índice em 0, e o primeiro termo é indefinido. Não é ignorado silenciosamente — o cálculo para aí: o resultado exibe undefined, a Contagem de termos desce para 1 e a tabela de decomposição termina nessa única linha. O desenvolvimento escrito continua a mostrar undef + 1/1 + 1/2 + ⋯, o que é a imagem fiel — um único termo indefinido torna toda a soma indefinida, independentemente de quantos termos bem comportados se lhe sigam.

Na predefinição dos números ímpares, cada total acumulado é um quadrado perfeito 🖖

Carregue a predefinição 2k+1 e leia a coluna acumulada de cima para baixo: 1, 4, 9, 16, 25 — nunca deixa de ser um quadrado, e termina em 169, que é 13². Não é um acaso destes limites. Somar os primeiros n números ímpares dá exatamente n², portanto o total acumulado que a ferramenta mostra após cada passo é o número de termos até ali, ao quadrado. As somas parciais estão a fazer geometria: cada ímpar é a faixa em forma de L que transforma um quadrado no seguinte.

Uma forma abreviada de somar 🖖

O grande Σ é apenas uma instrução: some cada termo enquanto o índice sobe do limite inferior até o superior. Esta ferramenta faz a soma por você e, de modo igualmente útil, mostra o total acumulado após cada passo — as somas parciais. O resultado final nada mais é do que a última soma parcial dessa trajetória.

Quando somar nada dá zero 🖖

Uma soma vazia — uma soma sem qualquer termo, porque o limite superior está abaixo do inferior — não é indefinida. Por convenção, é igual a 0: o zero é o elemento neutro da adição, pelo que um total vazio deixa inalterado aquilo a que for adicionado. O seu equivalente multiplicativo é igualmente surpreendente, sendo um produto vazio igual a 1. Contudo, não é possível criar uma soma vazia aqui, e vale a pena saber porquê: se definir um limite superior inferior ao limite inferior, os dois são trocados silenciosamente, de modo que k = 5 a descer até 2 passa a k = 2 a subir até 5 e devolve 14.

Euler registou-o, e você já clica nele 🖖

O símbolo é de Euler. Em Institutiones calculi differentialis (1755), estabeleceu que uma soma seria assinalada pelo sinal Σ — sigma maiúsculo grego, a inicial de summa — e a ideia pegou, o que é raro na notação matemática: a maioria das propostas dessa época foi substituída. Há muito que ultrapassou as fronteiras da matemática. O botão de Soma Automática em todas as principais folhas de cálculo é esse mesmo Σ, pelo que pessoas que nunca se descreveriam como matemáticas usam a notação de Euler na maioria dos dias de trabalho. Um aviso, porque os dois parecem relacionados, mas não são: o Σ maiúsculo é uma instrução, somar estes valores, enquanto o σ minúsculo é o desvio-padrão de uma distribuição. O “Six Sigma” é o minúsculo.

Prática

Verifique você mesmo

Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.

A predefinição números ímpares soma 2k+1 de k = 0 a 12 e indica 169 em 13 termos. As outras predefinições imprimem uma forma fechada por baixo do total; esta não imprime nenhuma. Descobre tu o padrão — põe o limite superior em 4, depois 9, depois 19.

Mostrar a resposta

25, 100 e 400, em 5, 10 e 20 termos. A soma dos primeiros n números ímpares é exatamente n², sempre, e 169 é 13². Imagina um quadrado construído em camadas em forma de L: um ponto, depois um L de três pontos à volta, depois um L de cinco pontos à volta — ao fim de n camadas tens um quadrado n × n, e cada camada acrescentada era o número ímpar seguinte. A ferramenta conhece as formas fechadas de k e k² e mostra-as; esta não a reconhece, por isso só obténs o total.
A predefinição harmónica soma 1/k de 1 a 8 e obtém 2.717857, com uma nota a dizer que as somas parciais não assentam em nenhum limite finito. Adivinha até onde tem de ir o limite superior para a soma passar de 5 — e depois confirma.

Mostrar a resposta

83. O termo 82 deixa-a em 4.990020 e o termo 83 empurra-a para 5.002068. Chegar a 6 exige 227 termos, e 226 fica em 5.999961 — quatro milionésimos abaixo. Repara que 227 ÷ 83 = 2.73, quase exatamente e: as somas parciais seguem ln n, por isso cada passo adicional de +1 custa cerca de e ≈ 2.718 vezes mais termos do que tudo o que veio antes. Passar de 10 exige 12367 termos; a ferramenta calcula-o se lho pedires. É assim que «não assenta» se vê por dentro — nunca deixa de subir, mas abranda geometricamente, e é por isso que oito termos só te levaram a 2.7.

Problema resolvido na íntegra

A soma de quadrados que o emparelhamento de 1 a 10 não consegue alcançar 6 passos
Some de 1 a 10 por emparelhamento em vez de adição, e depois use o mesmo truque para obter a soma dos quadrados — à qual o emparelhamento não consegue chegar.
1. Escreva a soma por extenso. Dez termos é um valor suficientemente pequeno para somar diretamente, o que é precisamente a razão pela qual é a coisa errada a fazer.
  
  $S = k = 1 \sum 10 k = 1 + 2 + \dots + 10$
2. Adicione a soma à sua própria inversão. Cada coluna dá o mesmo total, e existem n colunas — pelo que o dobro da soma é um retângulo.
  
  $2 S = (1 + 10) + (2 + 9) + \dots + (10 + 1) = 10 \times 11 ⟹ S = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$
3. O resultado geral. Note que o argumento dobra a soma em vez de a dobrar ao meio, e é por isso que não necessita de um caso separado para n ímpar — ao contrário da versão que emparelha termos a partir de ambas as extremidades.
  
  $k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2} — the pairing needs no case split, because it doubles the sum rather than folding it$
4. Agora os quadrados. Comece a partir de uma diferença de cubos consecutivos, que se desenvolve em algo contendo k².
  
  $(k + 1)^{3} - k^{3} = 3 k^{2} + 3 k + 1 ⟹ k = 1 \sum n [(k + 1)^{3} - k^{3}] = (n + 1)^{3} - 1$
5. Some ambos os lados. O lado esquerdo reduz-se por telescopagem a um único termo; o lado direito contém a soma pretendida mais a soma que já possui.
  
  $(n + 1)^{3} - 1 = 3 \sum k^{2} + 3 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} + n ⟹ k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = 385$
6. Mais uma potência e o padrão fecha-se sobre si mesmo.
  
  $k = 1 \sum n k^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2} = 5 5^{2} = 3025$
Resposta

55, depois 385, depois 3025 — e o terceiro é o quadrado do primeiro. O argumento do emparelhamento é famoso e é também um beco sem saída: funciona porque os termos são lineares, e não há forma de dobrar quadrados em pares iguais. O que o substitui é o método telescópico. Escreva uma diferença de cubos consecutivos, some-a, e quase tudo se cancela; a soma dos quadrados surge dos destroços. A mesma máquina aplicada a uma potência acima dá a soma dos cubos, e chega a 55² — a soma dos primeiros n cubos é o quadrado da soma dos primeiros n números, para todo o n. Esta não é uma coincidência que se veja apenas a olhar para os números, e é por isso que vale a pena aprender o método telescópico, embora o emparelhamento chegue à primeira resposta mais depressa.

$k = 1 \sum 10 k = 55, \sum k^{2} = 385, \sum k^{3} = 5 5^{2} = 3025$

Referências (3)

Where the Σ sign comes from — Euler’s own text: L. Euler, Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum, vol. 1. Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae, 1755 (E212).
And the history of the notation itself: Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, Volume II. The Open Court Publishing Company, 1929.
The conventions this page relies on — inclusive limits, index changes, and why an empty sum is 0: R. L. Graham, D. E. Knuth & O. Patashnik, Concrete Mathematics, 2nd ed., chapter 2 (“Sums”). Addison-Wesley, 1994. ISBN 978-0-201-55802-9.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-05-21

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Problemas de exemplo

números naturais - Soma clássica dos dez primeiros números naturais.
quadrados - Soma finita de quadrados com termos que crescem rapidamente.
expressão linear - Acúmulo de termos lineares seguindo o padrão dos números ímpares.
soma parcial harmônica - A soma harmônica parcial demonstra um crescimento logarítmico lento.