Laboratório de controle Bode/Nyquist

move os polos com os cursores e observa as margens de robustez a mudar instantaneamente

Valores iniciais — Laboratório de controle Bode/Nyquist

Ganho de malha K	1
Frequência natural wn	3
Coeficiente de amortecimento zeta	0.7

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

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Lição

A teoria — Laboratório de controle Bode/Nyquist

O critério de estabilidade de Nyquist decide se uma malha realimentada é estável contando em vez de resolver. Traça-se a resposta em malha aberta G(jω) no plano complexo, conta-se quantas vezes a curva envolve o ponto −1 + j0 e soma-se o número de polos instáveis que a malha já tinha antes de ser fechada: Z = N + P. Qualquer Z diferente de zero significa que a malha fechada dispara.

O que significa cada símbolo

P: o número de polos de G(s) em malha aberta que já se encontram no semiplano direito, contados antes de a malha ser fechada. Para a planta desta página é sempre 0.
N: o número de envolvimentos no sentido horário do ponto −1 + j0 feitos pela curva de Nyquist. As voltas anti-horárias contam como negativas, pelo que N pode ficar abaixo de zero.
Z: o número de polos em malha fechada no semiplano direito — a resposta que realmente se procurava. Z = 0 é estabilidade; qualquer outro valor não é.
−1 + j0: o ponto crítico, desenhado a vermelho no diagrama de Nyquist. É onde o ganho de malha vale exatamente 1 com exatamente 180° de atraso de fase: um sinal enviado uma vez em torno da malha regressa do mesmo tamanho e invertido.

De onde vem a fórmula

Formular bem a pergunta. Com realimentação unitária negativa, a função de transferência em malha fechada é G/(1 + G), portanto os seus polos são os zeros de 1 + G(s). A estabilidade reduz-se a uma única pergunta: terá 1 + G(s) zeros no semiplano direito? Encontrá-los significaria fatorizar um polinómio que talvez nem se possua.
Contá-los em vez de os procurar. O princípio do argumento diz que, se s percorrer uma vez um contorno fechado no sentido horário, a imagem de 1 + G(s) dá a volta à origem tantas vezes quantos os zeros lá dentro, menos os polos lá dentro. Dar a volta à origem para 1 + G é o mesmo movimento que dar a volta a −1 para G — daí a posição do ponto crítico, e a razão de ser −1 e não outro número.
Escolhe-se como contorno todo o semiplano direito: subir o eixo imaginário e regressar por um semicírculo infinito. Agora «dentro do contorno» e «instável» querem dizer o mesmo. Os zeros encerrados são Z, os polos encerrados P, o número de voltas é N, e o princípio do argumento lê-se N = Z − P — reordenado, Z = N + P. Sobre o eixo imaginário s = jω, e G(jω) é a resposta em frequência: a curva que esta página já desenha.
Esta última frase é todo o proveito. A contagem não exige modelo nenhum. G(jω) pode ser medida — excitando hardware real com sinusoides e registando o que volta —, pelo que se obtém um veredicto de estabilidade sobre um sistema cuja equação ninguém alguma vez escreveu. As margens de ganho e de fase são então duas maneiras de perguntar por quanto a curva medida falha o −1: uma ao longo do eixo real negativo, outra sobre a circunferência unitária.

Como ler o que vê

Os três painéis mostram a malha aberta — G(jω) sozinha, com o ramo de realimentação ainda por ligar — enquanto as duas margens por baixo descrevem o que acontece depois de ligado. O pico de magnitude perto de ω_n, tal como ω_r e M_r na tabela, pertencem portanto a G e não à malha fechada que está a projetar. No diagrama de Nyquist a curva contínua é ω a crescer desde zero e a tracejada é o seu espelho para ω negativo. São precisas ambas: um envolvimento só existe depois de o contorno fechar, e uma varredura em frequência nunca mede mais do que metade. As setas dão o sentido do percurso, que é o que decide se uma volta conta como horária.

Pressupõe: Realimentação unitária negativa e um P conhecido. Esta página nunca lhe pede P — toma-o como zero, o que só está certo aqui porque o cursor de amortecimento pára em ζ = 0.05 e ambos os polos permanecem no semiplano esquerdo em qualquer regulação alcançável. Dê o mesmo critério a uma planta já instável em malha aberta e uma curva sem envolvimentos significa exatamente o contrário do que significa aqui. Supõe-se ainda que nada se cancelou pelo caminho: um polo do semiplano direito cancelado por um zero desaparece de G(s) mas continua no hardware, e a contagem passará então um atestado de estabilidade a uma malha que dispara na mesma.
Falha quando: Nyquist responde sim ou não acerca de um único modelo exato, e o hardware não é exato nem parado. Z = 0 diz que a malha nominal é estável e absolutamente nada sobre quanto um ganho tem de derivar, ou uma temperatura de se mover, até deixar de o ser — é por isso que esta página imprime duas margens em vez da simples palavra «estável». As margens são elas próprias otimistas, porque cada uma é medida com a outra fixa: uma malha pode exibir uma margem de ganho confortável e uma margem de fase confortável e, ainda assim, uma alteração moderada de ambas ao mesmo tempo leva a curva a passar mesmo por −1. O número honesto é a menor distância da curva ao ponto crítico, em qualquer direção, e nenhum painel aqui a desenha.

Não se desestabiliza esta malha com ganho 🖖

Cada um dos dois polos contribui com no máximo 90° de atraso de fase, e só alcança os 90° completos em frequência infinita, então a fase de K·ω_n²/(s² + 2ζω_ns + ω_n²) se aproxima de −180° sem nunca chegar. Leve os três controles aos seus limites e ela ainda para em −179,99°. É por isso que a margem de ganho marca ∞: a curva de Nyquist nunca envolve o −1, e aumentar K apenas a estica. Aqui a instabilidade precisa de uma terceira fonte de atraso — um polo extra, um integrador, um atraso de transporte — não de mais ganho.

Prever oscilações sem resolver equações 🖖

Em vez de resolver a equação diferencial, excita-se o sistema com sinais senoidais em muitas frequências e observa-se a resposta. O diagrama de Bode registra quanto cada frequência é amplificada e quanto atrasa em fase. O perigo surge onde o ganho cruza 0 dB enquanto a fase se aproxima de −180°: a realimentação passa a reforçar a si mesma e a malha oscila. A margem de fase mede a distância até essa borda — mais margem significa um controle mais tranquilo.

A margem de fase esconde um limite de atraso 🖖

Uma boa margem de fase também revela quanto atraso puro a malha suporta. Um atraso adiciona uma defasagem que cresce com a frequência (−ωτ), consumindo a margem mais rápido onde a malha é mais ativa. O atraso tolerável é aproximadamente τ = PM / ω_c, com PM em radianos e ω_c a frequência de cruzamento de ganho. Assim, uma malha rápida e de banda larga pode ser arruinada por poucos milissegundos de atraso do sensor que uma mais lenta, com a mesma margem, ignora.

Intuição errada comum

Um ganho mais alto nem sempre significa melhor controlo. Pode melhorar a velocidade enquanto destrói silenciosamente as margens de robustez.

Problema resolvido na íntegra

Um pico de ressonância de 1,0002 e uma margem de ganho infinita 6 passos
Uma malha de segunda ordem com ζ = 0,7. O painel indica um pico de ressonância de 1,0002 e uma margem de ganho infinita. Explique ambos.
1. A forma padrão de segunda ordem, com os três parâmetros definidos pelos cursores. Tudo o que se segue é lido a partir do denominador.
  
  $G (s) = \frac{K ω _{n}^{2}}{s ^{2} + 2 ζ ω _{n} s + ω _{n}^{2}} = \frac{9}{s ^{2} + 4.2 s + 9} (K = 1, ω_{n} = 3, ζ = 0.7)$
2. Os polos são as raízes. A parte real é a taxa de decaimento e a parte imaginária é a frequência de oscilação, sendo ambas visíveis na resposta ao degrau.
  
  $s = - ζ ω_{n} \pm j ω_{n} 1 - ζ^{2} = - 2.1 \pm j 3 0.51 = - 2.1 \pm j 2.142$
3. A frequência de ressonância não é a frequência natural. A raiz quadrada sob ela pode anular-se, o que constitui a totalidade do passo seguinte.
  
  $ω_{r} = ω_{n} 1 - 2 ζ^{2} = 3 1 - 0.98 = 3 0.02 = 0.424 rad/s$
4. Anula-se em ζ = 1/√2. Em 0,7, o sistema está apenas ligeiramente dentro da região com pico, e o pico é de 0,002 dB — presente na álgebra e invisível em qualquer gráfico.
  
  $1 - 2 ζ^{2} > 0 ⟺ ζ < \frac{1}{2} = 0.7071; M_{r} = \frac{1}{2 ζ 1 - ζ ^{2}} = 1.0002$
5. Agora a fase. Cada polo contribui com um atraso de fase que se aproxima de 90°, pelo que dois deles se aproximam de 180° por cima e nunca o cruzam.
  
  $∠ G (j ω) = - arctan \frac{2 ζ ω _{n} ω}{ω _{n}^{2} - ω ^{2}} ⟶ - 18 0^{\circ} only as ω \to \infty$
6. O facto de não haver cruzamento significa que não há margem de ganho assinalável, que é o que o painel indica.
  
  $PM = 163.7 5^{\circ}, GM = \infty$
Resposta

ζ = 0,7 situa-se logo abaixo de 1/√2, e dois polos não conseguem atingir −180°. A frequência de ressonância contém √(1 − 2ζ²), que se anula em ζ = 0,7071 — pelo que 0,7 está 0,001 dentro da região onde sequer existe um pico, e o pico existente é de 1,0002, ou 0,002 dB. Esse limiar é a condição de Butterworth, e é por isso que 0,707 é o amortecimento a que qualquer livro de texto sobre filtros recorre: é a configuração mais rápida que continua sem apresentar pico. A margem de ganho infinita é uma afirmação mais forte e mais perigosa. Cada polo contribui no máximo com 90° de atraso de fase, pelo que dois deles se aproximam de 180° e nunca lá chegam, e nenhum valor de ganho fará esta malha oscilar. As malhas reais acabam sempre por oscilar — o terceiro polo, o atraso de transporte, a ressonância não modelada —, pelo que uma margem de ganho infinita é um sinal fiável de que falta algo ao modelo, e não de que o hardware está seguro.

$ζ = 0.7 sits just under \frac{1}{2}; GM = \infty$

Referências (2)

The lesson — the encirclement count Z = N + P, in the paper that introduced it: H. Nyquist, "Regeneration Theory." Bell System Technical Journal 11(1), 126–147, 1932.
Insight block 3 — phase margin as a delay budget: K. Ogata, Modern Control Engineering, 5th edition, ch. 7. Prentice Hall, 2010. ISBN 978-0-13-615673-4.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-29

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Problemas de exemplo

base estável - K = 1 dá um ganho unitário em corrente contínua, uma frequência de cruzamento de 0,60 rad/s e uma margem de fase de 163,74°. Nada aqui se aproxima sequer de uma situação problemática.
perto da oscilação - A predefinição menos estável da ferramenta: margem de fase de 16,70° e pico de ressonância de 16,44 dB, o que deixa apenas 52 ms de atraso tolerável.
lento mas robusto - K = 0,8 e ζ = 0,9; por isso, o ganho nunca chega a 0 dB. Não há frequência de cruzamento, a margem de fase é infinita e nenhum atraso consegue desestabilizar o sistema.
risco de ganho alto - O nome sugere risco, mas esta é a mais segura das duas predefinições próximas do limite: a margem de fase é de 21,66°, contra 16,70° em Perto da oscilação, pois o efeito de ζ = 0,35 em vez de 0,2 compensa com folga o de K = 4,2 em vez de 2,6.