Lições Interativas de Matemática e Ciências

Calculadora de Cinemática (SUVAT)

resolva as equações do MRUV — informe 3 grandezas quaisquer e encontre as outras 2

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por que 5 letras e apenas 2 equações? 🖖

As cinco letras do SUVAT parecem cinco fatos independentes, mas não são. No Brasil e em Portugal, este mesmo conteúdo é estudado como MRUV (Movimento Retilíneo Uniformemente Variado): toda equação do SUVAT nada mais é do que v=u+at e s=ut+½at² reorganizadas — as outras três (s=(u+v)/2·t, v²=u²+2as — a equação de Torricelli que você já deve conhecer — e s=vt-½at²) surgem diretamente da substituição de uma na outra. É por isso que quaisquer 3 grandezas conhecidas determinam as outras 2: no fundo, você está sempre resolvendo apenas 2 equações com 2 incógnitas.

O deslocamento é apenas a área do gráfico 🖖

O gráfico velocidade-tempo que esta ferramenta desenha é uma reta, porque a aceleração se mantém constante. A região sombreada sob essa reta é o deslocamento s e, como essa região é um trapézio, sua área equivale à velocidade média (u+v)/2 multiplicada pelo tempo. Conclusão: com aceleração constante, você lê a distância diretamente como uma área no gráfico, sem manipular fórmulas.

A regra dos números ímpares de Galileu 🖖

Muito antes do cálculo, Galileu observou que um objeto acelerando a partir do repouso percorre distâncias na proporção 1 : 3 : 5 : 7 em intervalos de tempo iguais — sempre os números ímpares. Somando-os, obtêm-se 1, 4, 9, 16, ou seja, os quadrados, e é exatamente por isso que s = ½at². Ele deduziu isso no século XVII fazendo bolas rolarem por planos inclinados, décadas antes de Newton escrevê-lo como equação.

TEORIA DA CINEMÁTICA — AS CINCO EQUAÇÕES DO MOVIMENTO

Escolher a equação SUVAT: que letra está faltando?

A aceleração constante liga cinco grandezas — deslocamento s, velocidade inicial u, velocidade final v, aceleração a e tempo t. Todo problema fornece três delas e pede uma quarta. Cada equação abaixo deixa de fora exatamente uma letra, então a que você quer é a que omite a grandeza que você não conhece nem precisa.

Sem s — usa v, u, a, t v = u + at
Sem v — usa s, u, a, t s = ut + ½at2
Sem a — usa s, u, v, t s = ½(u + v)t
Sem t — usa s, u, v, a v2 = u2 + 2as
Sem u — usa s, v, a, t s = vt − ½at2

01

Sem s — usa v, u, a, t

O que você sabe: Três entre velocidade inicial u, velocidade final v, aceleração a e tempo t. O deslocamento não aparece.

Equação: v = u + at

Exemplo resolvido: u = 25 m/s, v = 0, t = 5 s → a = (0 − 25) / 5 = −5 m/s²

Abrir este caso: freando até parar
Sem s — usa v, u, a, t. Gráfico velocidade-tempo: v é a altura da reta após o tempo t. O deslocamento não entra. Três entre velocidade inicial u, velocidade final v, aceleração a e tempo t. O deslocamento não aparece.
Gráfico velocidade-tempo: v é a altura da reta após o tempo t. O deslocamento não entra.

02

Sem v — usa s, u, a, t

O que você sabe: Velocidade inicial u, aceleração a e tempo t. Você quer a distância percorrida, não a velocidade no fim.

Equação: s = ut + ½at2

Exemplo resolvido: u = 0, a = 9,81 m/s², t = 3 s → s = 0 + ½ · 9,81 · 3² = 44,1 m

Abrir este caso: solto do repouso
Sem v — usa s, u, a, t. A área sob a reta se divide num retângulo ut mais um triângulo ½at². Velocidade inicial u, aceleração a e tempo t. Você quer a distância percorrida, não a velocidade no fim.
A área sob a reta se divide num retângulo ut mais um triângulo ½at².

03

Sem a — usa s, u, v, t

O que você sabe: Velocidade inicial u, velocidade final v e tempo t. A aceleração é desconhecida, ou simplesmente irrelevante.

Equação: s = ½(u + v)t

Exemplo resolvido: u = v = 12 m/s, t = 6 s → s = ½(12 + 12) · 6 = 72 m

Abrir este caso: velocidade constante
Sem a — usa s, u, v, t. Área do trapézio: a média de u e v, multiplicada por t. Velocidade inicial u, velocidade final v e tempo t. A aceleração é desconhecida, ou simplesmente irrelevante.
Área do trapézio: a média de u e v, multiplicada por t.

04

Sem t — usa s, u, v, a

O que você sabe: Deslocamento s, uma das duas velocidades e a aceleração. O cronômetro nunca é acionado.

Equação: v2 = u2 + 2as

Exemplo resolvido: s = 5 m, u = 15 m/s, a = −9,81 m/s² → v² = 225 − 98,1, ou seja v = ±11,3 m/s

Abrir este caso: bola passa duas vezes
Sem t — usa s, u, v, a. Mesma altura, duas velocidades: o ± é a subida e a descida. Deslocamento s, uma das duas velocidades e a aceleração. O cronômetro nunca é acionado.
Mesma altura, duas velocidades: o ± é a subida e a descida.

05

Sem u — usa s, v, a, t

O que você sabe: Velocidade final v, aceleração a e tempo t. A velocidade inicial é desconhecida e você não precisa dela.

Equação: s = vt − ½at2

Exemplo resolvido: v = 0, a = −3 m/s², t = 25 s → s = 0 − ½(−3)(25²) = 937,5 m

Abrir este caso: corrida de pouso
Sem u — usa s, v, a, t. Calculando de trás para frente: vt menos a fatia que a desaceleração remove. Velocidade final v, aceleração a e tempo t. A velocidade inicial é desconhecida e você não precisa dela.
Calculando de trás para frente: vt menos a fatia que a desaceleração remove.
Referências (1)
  • Insight block 3 — the odd-number rule, and the ramps it came from: G. Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze. Leiden, 1638, Third Day — distances in the ratio 1 : 3 : 5 : 7 over equal times, which sum to the squares.

Problema resolvido na íntegra

  1. Um carro a arrancar a 5 m/s e a acelerar a 2 m/s² 5 passos

    Um carro começa a 5 m/s e acelera a 2 m/s² durante 4 segundos. Determine a velocidade e a distância — depois determine quando passa pelo ponto médio, que não ocorre a meio do tempo.

    1. Primeiro a velocidade, porque é a definição de aceleração reorganizada: a velocidade ganha é a taxa multiplicada pela duração.

    2. O deslocamento é a velocidade inicial mantida durante quatro segundos, mais o que a aceleração adiciona. Os dois termos são 20 m e 16 m, e nenhum domina ainda.

    3. Agora verifique com a equação que não contém o tempo. Esta devolve 169 de ambos os lados, o que não é um facto novo — são as primeiras duas equações com t eliminado, pelo que a concordância é garantida e a discordância significaria um erro de cálculo.

    4. A velocidade média é a média dos valores extremos, e apenas porque a aceleração é constante. Multiplique pelo tempo e obtém-se novamente o deslocamento.

    5. Agora o ponto médio. Metade da distância é 18 m, e a resolução da equação do segundo grau resulta em 2,424 s — e não 2 s. Para t = 2 s, o carro percorreu apenas 14 m dos 36.

    Resposta

    A ferramenta apresenta s = 36 m e v = 13 m/s. O passo 5 é o que vale a pena reter: sob aceleração, metade do tempo e metade da distância correspondem a momentos diferentes, e a segunda metade de qualquer percurso em aceleração é sempre a mais rápida. É por isso que uma ultrapassagem parece errada quando é planeada pela distância — o espaço visível fecha-se no tempo restante, não no espaço. O passo 3 é a outra metade da lição: existem cinco equações SUVAT e dois factos independentes, pelo que uma terceira equação pode confirmar o seu cálculo e nunca pode adicionar informação.

Percurso de aprendizagem

O lançamento de objetos

Conduz a Lançamento de projéteis as cinco grandezas e as duas equações independentes que as interligam, válidas sob uma única restrição: a aceleração não varia.

· Atualizado

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

  • carro acelerando - u=5 m/s, a=2 m/s², t=4 s → v=13 m/s, s=36 m
  • freando até parar - u=25 m/s, v=0, t=5 s → a=-5 m/s², s=62,5 m (freando até parar)
  • bola passa duas vezes - s=5 m, u=15 m/s, a=-9,81 m/s² → uma bola lançada para cima passa por 5 m duas vezes, na subida e na descida
  • velocidade constante - u=v=12 m/s, t=6 s → a=0, s=72 m (sem aceleração)
  • solto do repouso - u=0, a=9,81 m/s², t=3 s → v=29,4 m/s, s=44,1 m (solta a partir do repouso)
  • corrida de pouso - v=0, a=-3 m/s², t=25 s → s=937,5 m (a velocidade de toque u=75 m/s nunca é necessária)

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