Simulador de Movimento de Projétil

trajetória parabólica com animação ao vivo

Valores iniciais — Simulador de Movimento de Projétil

Velocidade de lançamento (v₀)	20
Ângulo de lançamento (θ)	45
Altura de lançamento (h)	0

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

A carregar a simulação interativa...

Quarenta e cinco graus só vence em terreno plano 🖖

O movimento de projéteis é a análise cinemática de um objeto lançado num campo gravítico com aceleração g constante para baixo. Sem resistência do ar, a velocidade horizontal permanece constante, enquanto a vertical é uniformemente acelerada, gerando uma parábola. O alcance máximo ocorre a 45 graus.

Dois movimentos em um só 🖖

Um projétil faz, na verdade, duas coisas independentes ao mesmo tempo: desloca-se lateralmente a ritmo constante enquanto cai sob a gravidade. Nenhum influencia o outro, o que leva a um resultado famoso — uma bala disparada na horizontal e outra simplesmente solta da mesma altura chegam ao solo no mesmo instante. Altere aqui a velocidade de lançamento e observe o alcance lateral crescer enquanto o tempo de voo depende apenas do movimento vertical.

Lá no alto, 45° deixa de vencer 🖖

A famosa regra dos 45° para o alcance máximo só vale quando o lançamento e a queda estão à mesma altura. Acrescente uma altura de lançamento h e o melhor ângulo cai abaixo de 45°, seguindo θ = arctan(v / √(v² + 2gh)). Atire uma bola do alto de um penhasco: mirar um pouco mais baixo que 45° a leva mais longe — suba o controle de altura e procure o verdadeiro ótimo.

PROJÉTEIS — O ÂNGULO DECIDE TUDO, MENOS O QUE A VELOCIDADE DECIDE

Qual caso de lançamento você está resolvendo?

Os movimentos horizontal e vertical são independentes: velocidade constante para o lado, aceleração constante para baixo. Todo o resto sai dessa separação. Em terreno plano o alcance é R = v²sen(2θ)/g, que é máximo em 45° e emparelha os ângulos dos dois lados. Lance de uma altura e essa simetria se quebra: o melhor ângulo cai abaixo de 45°.

45° em terreno plano — o alcance máximo R = v²/g at θ = 45°

Ângulos complementares — dois jeitos de acertar o mesmo ponto R = v²sin(2θ)/g

Reto para cima — só altura, alcance nenhum h = v²/2g, R = 0

Lançado de uma altura — a simetria se quebra h > 0 ⇒ θ_opt < 45°

45° em terreno plano — o alcance máximo

O que você sabe: Lançamento e queda estão na mesma altura e você quer chegar o mais longe possível. sen(2θ) é máximo quando 2θ = 90°.

Alcance: R = v²/g at θ = 45°

Exemplo resolvido: v = 20 m/s a 45° → R = v²/g = 400/9,81 = 40,8 m, o mais longe que essa velocidade alcança

Abrir este caso: 45° alcance máx.

45° em terreno plano — o alcance máximo. A 45° o tempo de voo e a velocidade horizontal se equilibram e o alcance é máximo. Lançamento e queda estão na mesma altura e você quer chegar o mais longe possível. sen(2θ) é máximo quando 2θ = 90°. — A 45° o tempo de voo e a velocidade horizontal se equilibram e o alcance é máximo.

Ângulos complementares — dois jeitos de acertar o mesmo ponto

O que você sabe: Qualquer ângulo θ e seu complemento 90° − θ dão o mesmo alcance em terreno plano, porque sen(2θ) = sen(180° − 2θ).

Alcance: R = v²sin(2θ)/g

Exemplo resolvido: v = 20 m/s a 30° → 35,3 m; a 60° → 35,3 m de novo. O tiro rasteiro leva 2,0 s e o alto 3,5 s

Abrir este caso: 30°

Ângulos complementares — dois jeitos de acertar o mesmo ponto. Duas trajetórias, um ponto de queda: 30° e 60° dão o mesmo alcance em alturas diferentes. Qualquer ângulo θ e seu complemento 90° − θ dão o mesmo alcance em terreno plano, porque sen(2θ) = sen(180° − 2θ). — Duas trajetórias, um ponto de queda: 30° e 60° dão o mesmo alcance em alturas diferentes.

Reto para cima — só altura, alcance nenhum

O que você sabe: θ = 90°, então a componente horizontal é zero. Tudo o que o lançamento deu vai para subir e voltar.

Alcance: h = v²/2g, R = 0

Exemplo resolvido: v = 20 m/s para cima → altura máxima v²/2g = 20,4 m, alcance 0, e volta à sua mão a 20 m/s

Abrir este caso: 90° reto para cima

Reto para cima — só altura, alcance nenhum. Lançamento vertical: a trajetória vira uma linha e o alcance desaparece. θ = 90°, então a componente horizontal é zero. Tudo o que o lançamento deu vai para subir e voltar. — Lançamento vertical: a trajetória vira uma linha e o alcance desaparece.

Lançado de uma altura — a simetria se quebra

O que você sabe: O ponto de queda está abaixo do de lançamento, então o voo deixa de ser simétrico e a regra dos 45° não vale mais.

Alcance: h > 0 ⇒ θ_opt < 45°

Exemplo resolvido: v = 22 m/s a 35° de 18 m de altura → 3,6 s no ar e 65 m de alcance; o ângulo ótimo aqui é 37,2°, não 45°

Abrir este caso: de um penhasco

Lançado de uma altura — a simetria se quebra. A altura extra compra tempo de voo extra, então o lançamento mais rasteiro vence. O ponto de queda está abaixo do de lançamento, então o voo deixa de ser simétrico e a regra dos 45° não vale mais. — A altura extra compra tempo de voo extra, então o lançamento mais rasteiro vence.

Problemas resolvidos na íntegra

Uma bola lançada a 20 m/s e 45° a partir de solo plano 5 passos
Uma bola é lançada a 20 m/s e 45° a partir de um solo plano. Determine quanto tempo permanece no ar e a que distância atinge o solo — depois determine o custo de um erro de pontaria de 5°, que é a questão que decide se vale a pena apontar a 45°.
1. Decomponha o lançamento em dois movimentos que nunca comunicam entre si. A gravidade atua apenas para baixo, pelo que a velocidade horizontal é a mesma no impacto e no lançamento, e 45° é o único ângulo em que as duas componentes começam iguais.
  
  $v_{x} = v_{0} cos θ = 20 cos 4 5^{\circ} = 14.142 m/s, v_{y} = v_{0} sin θ = 14.142 m/s$
2. O voo termina quando a altura regressa a zero, e apenas o movimento vertical determina isso. A subida e a descida demoram o mesmo tempo a partir de um solo plano, pelo que todo o voo dura o dobro do tempo até ao topo.
  
  $y (t_{f}) = 0 : t_{f} = \frac{2 v _{y}}{g} = \frac{2 ( 14.142 )}{9.81} = 2.8832 s$
3. A distância horizontal é uma velocidade constante mantida durante esse tempo de voo. Substituindo as componentes, tudo se reduz ao ângulo duplicado e, como sin 2θ não se altera quando θ é trocado por 90° − θ, lançar a 30° ou a 60° faz a bola atingir o solo a 35,312 m em ambos os casos.
  
  $R = v_{x} t_{f} = 14.142 \times 2.8832 = 40.775 m = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g} = \frac{400}{9.81}$
4. A altura máxima resulta apenas da componente vertical, imobilizada pela gravidade. A 45°, esta corresponde a exatamente um quarto do alcance, e esse quarto mantém-se a 45° para qualquer velocidade de lançamento.
  
  $y_{m a x} = \frac{v _{y}^{2}}{2 g} = \frac{200}{19.62} = 10.194 m = \frac{R}{4}$
5. Agora, o erro de pontaria. sin 2θ é estacionário a 45°, pelo que falhar por 5° é um erro de segunda ordem e custa 62 cm num total de 40,775 m. A mesma falha de 5° a 30° é de primeira ordem e altera o alcance em 8,5%, cerca de 3 m.
  
  $\frac{R ( 5 0 ^{\circ} )}{R ( 4 5 ^{\circ} )} = sin 10 0^{\circ} = 0.9848 (- 0.62 m), \frac{R ( 3 5 ^{\circ} )}{R ( 3 0 ^{\circ} )} = \frac{sin 7 0 ^{\circ}}{sin 6 0 ^{\circ}} = 1.085$
Resposta

A ferramenta indica 2,8832 s de voo, um alcance de 40,775 m e uma altura máxima de 10,194 m. Estes dois últimos estão numa proporção de exatamente 4 e mantêm essa proporção a 45° seja qual for a velocidade — uma trajetória a 45° é sempre quatro vezes mais larga do que alta, pelo que existe apenas uma forma e só o tamanho varia. O Passo 5 é o essencial a reter: o máximo é plano, razão pela qual os 45° persistem como uma regra prática que ninguém verifica com rigor. Contudo, esta ausência de curvatura funciona nos dois sentidos, pois um pico plano é difícil de localizar — quem procurar o melhor ângulo por tentativa obtém uma banda larga de ângulos que parecem todos igualmente bons.

$R = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g}, \frac{R}{y _{m a x}} = 4 (θ = 4 5^{\circ})$
O ângulo que chega mais longe a partir de 18 m de altura 7 passos
O painel resolve o lançamento que lhe der: 35° a partir de 18 m de altura chegam a 64,764 m. Não lhe dirá se 35° valia a pena. Encontre o ângulo que chega mais longe a partir desta falésia — e pergunte depois quanto vale realmente a resposta.
1. Separe o lançamento em dois. Tudo o que se segue é uma velocidade horizontal constante e uma queda livre vertical que começa 18 m acima do solo de chegada.
  
  $v_{x} = v_{0} cos θ = 22 cos 3 5^{\circ} = 18.021 m s^{- 1}, v_{y} = v_{0} sin θ = 22 sin 3 5^{\circ} = 12.619 m s^{- 1}$
2. O voo termina quando a altura regressa a zero, o que é uma equação do segundo grau em t. Tome a raiz positiva; a outra seria o instante em que o projétil teria deixado o solo se tivesse partido lá de baixo.
  
  $h + v_{y} t - \frac{1}{2} g t^{2} = 0 ⟹ t_{f} = \frac{v _{y} + v _{y}^{2} + 2 g h}{g} = \frac{12.619 + 159.24 + 353.16}{9.81} = 3.5938 s$
3. O alcance é a velocidade horizontal vezes todo o voo, porque na horizontal nada atua. Três dos quatro números obtidos até aqui estão no painel acima.
  
  $R = v_{x} t_{f} = 18.021 \times 3.5938 = 64.764 m$
4. O ponto mais alto é onde a velocidade vertical se esgota, e a falésia limita-se a levantar tudo: 18 m de avanço mais exatamente a subida que um lançamento ao nível do solo teria conseguido.
  
  $y_{m a x} = h + \frac{v _{y}^{2}}{2 g} = 18 + \frac{159.24}{19.62} = 26.116 m$
5. Agora a pergunta a que o painel não responde. Escreva o alcance como função apenas do ângulo, com v₀ e h fixos. O tempo de voo passa também a depender de θ, e é precisamente por isso que esta não é a fórmula cómoda do nível do mar.
  
  $R (θ) = \frac{v _{0} cos θ}{g} (v_{0} sin θ + v_{0}^{2} sin^{2} θ + 2 g h)$
6. Derive e iguale a zero. Tudo se reduz a uma única condição sobre sen θ, e a falésia entra apenas através do grupo adimensional 2gh/v₀². Com h = 0 devolve sen θ = 1/√2, os 45° de sempre. Aqui devolve 37,248°.
  
  $\frac{d R}{d θ} = 0 ⟹ sin θ^{*} = \frac{1}{2 + 2 g h / v _{0}^{2}} = \frac{1}{2.72967} = 0.60526 ⟹ θ^{*} = 37.24 8^{\circ}$
7. Coloque agora os três ângulos lado a lado e leia as grandezas, não apenas a ordem.
  
  $R (37.24 8^{\circ}) = 64.887, R (3 5^{\circ}) = 64.764, R (4 5^{\circ}) = 63.355 (m)$
Resposta

O melhor ângulo a partir desta falésia é 37,248°, e voltar a apontar vale 12 cm num lançamento de 65 m. É essa a verdadeira lição, e não está no ótimo: um máximo é plano, portanto falhá-lo por 2,2° quase nada custa. Caro é trazer o modelo errado — 45° só é ótimo ao nível do solo, e usá-lo aqui deita fora 1,532 m, doze vezes o custo do erro de pontaria. Suba a falésia e θ* continua a descer; no limite de uma muito alta, o lançamento mais longo é quase horizontal.

$sin θ^{*} = (2 + \frac{2 g h}{v _{0}^{2}})^{- 1/2} ⟹ θ^{*} = 37.24 8^{\circ}; R^{*} - R (3 5^{\circ}) = 0.123 m, R^{*} - R (4 5^{\circ}) = 1.532 m$

Percurso de aprendizagem

O lançamento de objetos

Conduz a Resistência do ar e vento o caso bidimensional no qual esta restrição se mantém.

Referências (1)

Insight block 2 stacks two motions. Arriving at that decomposition took Galileo most of a career: S. Drake, "Galileo’s Discovery of the Parabolic Trajectory", in Essays on Galileo and the History and Philosophy of Science, 160–170. University of Toronto Press, 1999.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

45° alcance máx. - v=20 m/s, θ=45°, h=0 → alcance≈40.8 m (máximo para esta velocidade)
30° - v=20 m/s, θ=30° → alcance≈35.3 m (igual a 60° por simetria)
60° - v=20 m/s, θ=60° → alcance≈35.3 m (igual a 30°)
90° reto para cima - v=20 m/s, θ=90° → lançamento vertical, alcance=0, altura máxima≈20.4 m
tiro rasante - v=55 m/s, θ=12° → trajetória rasante, alcance≈125 m
de um penhasco - v=22 m/s, θ=35°, h=18 m → alcance≈65 m, tempo de voo≈3.6 s