Lições Interativas de Matemática e Ciências
BAYES — UM RESULTADO POSITIVO NÃO É A MESMA COISA QUE TER A DOENÇA
Três números decidem o que um teste positivo significa: quão comum é a condição, com que frequência o teste a detecta e com que frequência ele dá alarme falso. Sensibilidade e especificidade descrevem o teste; a prevalência descreve a população — e normalmente é a prevalência que faz o estrago. Trabalhe em frequências naturais em vez de porcentagens e a resposta deixa de ser contraintuitiva: imagine 1000 pessoas, conte os verdadeiros positivos, conte os falsos e compare.
01
O que você sabe: Prevalência 0,1 %, sensibilidade 99 %, especificidade 99 %. O teste é tão bom quanto testes chegam a ser; a condição é realmente rara.
Resultado: PPV ≈ 9%
Exemplo resolvido: Em 10 000 pessoas: 10 têm e cerca de 10 dão positivo; 9990 não têm e 100 dão positivo mesmo assim → VPP = 10/110 ≈ 9 %
Abrir este caso: doença rara, teste preciso
02
O que você sabe: Prevalência 10 %, sensibilidade 95 %, especificidade 90 %. Um teste claramente pior, aplicado onde a condição é de fato comum.
Resultado: PPV ≈ 51%
Exemplo resolvido: Em 1000 pessoas: 100 têm e 95 dão positivo; 900 não têm e 90 dão positivo → VPP = 95/185 ≈ 51 %
Abrir este caso: doença mais comum
03
O que você sabe: Prevalência 5 %, sensibilidade 85 %, especificidade 97 % — o formato de um teste rápido de antígeno durante um surto.
Resultado: PPV ≈ 60%, NPV ≈ 99%
Exemplo resolvido: Em 1000: 50 infectados, 43 detectados e 7 perdidos; 950 livres, 29 marcados por engano → VPP = 43/72 ≈ 60 % e VPN = 922/929 ≈ 99 %
Abrir este caso: tipo covid
04
O que você sabe: Prevalência 2 %, sensibilidade 99 %, especificidade 95 %. Quase ninguém que usa escapa, mas uma pessoa saudável em cada vinte é acusada.
Resultado: PPV ≈ 29%
Exemplo resolvido: Em 1000: 20 usuários, 20 detectados; 980 não usuários, 49 marcados mesmo assim → VPP = 20/69 ≈ 29 %, ou seja, sete em cada dez positivos são inocentes
Abrir este caso: rastreio de drogas
Um segundo resultado positivo. Trata-se de uma prevalência de 0,1% com sensibilidade de 99% e especificidade de 99% — uma doença rara e um teste excelente, em que um resultado positivo é sabidamente uma prova fraca. Calcule quanto vale um segundo resultado positivo independente.
As odds, e não a probabilidade, são a forma sob a qual a evidência se multiplica. Uma pessoa em cada mil tem a doença, pelo que a posição inicial é 1 contra 999 — e é esse 999, e não qualquer um dos mostradores, que causa o estrago.
A razão de verosimilhança compara a frequência com que surge um positivo em cada grupo. Ambos os valores vêm dos mostradores: 99% das pessoas com a doença testam positivo, e uma especificidade de 99% deixa 1% de todas as outras a testar também positivo.
Multiplicar as odds a priori pela razão de verosimilhança é a totalidade de Bayes nesta forma, e odds de a contra b convertem-se de novo em a/(a+b). Um fator de 99 é uma evidência enorme e, ainda assim, perde, porque começou 999 atrás.
Um segundo teste começa onde o primeiro acabou — a probabilidade a posteriori de um resultado é a a priori do seguinte. Nada no teste em si mudou, pelo que se aplica o mesmo fator de 99, desta vez a odds que já não são desprovidas de esperança.
Esse passo assumiu que os dois positivos são independentes, que é exatamente o que a repetição do mesmo teste não consegue dar. Se aquilo que identificou uma pessoa saudável da primeira vez — uma proteína com reação cruzada, uma amostra mal rotulada — a voltar a identificar metade das vezes, os falsos positivos quase não diminuem.
Resposta
A ferramenta apresenta 9,0% para um único positivo, a partir de uma substituição cujo resultado dá 0,090164 — os mesmos 99/1098. Dois positivos independentes elevam o valor para 90,75% e três para 99,90%, porque o fator de 99 é cobrado de cada vez, enquanto a probabilidade a priori de 999 para 1 é paga apenas uma vez. Essa é a aritmética por trás dos testes de confirmação, e o passo 5 são as suas entrelinhas: uma repetição correlacionada situa-se nos 16,4%, apenas ligeiramente mais convincente do que o resultado único que devia confirmar. O segundo teste tem, por isso, de falhar de forma diferente do primeiro — uma molécula-alvo diferente, um laboratório diferente, um mecanismo diferente — ou a multiplicação é uma ficção. O número a reter é 99: a sensibilidade dividida pela taxa de falsos positivos é todo o peso probatório de um teste, sendo um multiplicador de odds em vez de uma resposta.
Percurso de aprendizagem
