Aglomerado de coincidências (paradoxo das sequências)

por que sequências longas de lançamentos de moeda são muito mais comuns do que você imagina

Valores iniciais — Aglomerado de coincidências (paradoxo das sequências)

Lançamentos por sequência (N)	100
Comprimento da sequência (L)	6
Tentativas de simulação ℹ️	1000

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

A carregar a simulação interativa...

A roleta não foi o estranho 🖖

Em 18 de agosto de 1913, a roleta do cassino de Monte Carlo caiu no preto vinte e seis vezes seguidas, e os jogadores ao redor perderam fortunas apostando cada vez mais no vermelho, que certamente estava para sair. Não estava. Cada giro continuava pagando 18 em 37, e a sequência em si era apenas rara: a chance de um giro qualquer iniciar vinte e seis pretos é de cerca de uma em 137 milhões. O nome ficou — a falácia do apostador ainda é chamada de falácia de Monte Carlo. Ajuste esta ferramenta para 100 lançamentos e uma sequência de seis aparece em 80,7% das vezes; o que nenhum ajuste muda é o próximo lançamento.

Por que sequências longas são quase garantidas 🖖

A intuição espera que cara e coroa se alternem de forma organizada, mas o acaso se agrupa. A maior sequência de resultados idênticos cresce com o número de lançamentos — aproximadamente log₂(N). Lance uma moeda justa 100 vezes e uma sequência de seis iguais aparece mais vezes do que não. Esta ferramenta mostra como essa intuição se quebra: aumente N e a curva de sequências sobe abruptamente.

Identificar um registro de lançamentos forjado 🖖

Peça a estudantes que inventem em segredo 200 lançamentos em vez de lançar uma moeda real, e um estatístico costuma identificar as fraudes num relance. Quem inventa sequências "aleatórias" quase nunca escreve uma sequência de seis ou sete resultados iguais, enquanto lançamentos reais quase sempre contêm uma. Essa demonstração (popularizada pelo matemático Theodore Hill) revela que as pessoas suavizam justamente os agrupamentos que o acaso real impõe.

Problema resolvido na íntegra

6 resultados idênticos seguidos em 100 lançamentos de uma moeda justa 5 passos
100 lançamentos de uma moeda equilibrada, e a questão é se 6 resultados idênticos seguidos surgem algures neles. Conte as sequências que escapam — mas 2¹⁰⁰ sequências não serão contadas uma a uma.
1. Divida uma sequência nas suas corridas maximais. Escapar a uma sequência seguida de 6 significa que cada corrida tem comprimento 5 ou inferior, pelo que o que está a contar é o número de formas de escrever 100 como uma soma ordenada de parcelas de 1 a 5, duplicado porque o primeiro lançamento pode ser qualquer uma das faces. Chame a essa contagem R(i): uma corrida inicial de comprimento j deixa R(i − j) para trás, e os cinco comprimentos permitidos dão cinco termos.
  
  $R (i) = R (i - 1) + R (i - 2) + R (i - 3) + R (i - 4) + R (i - 5), R (0) = 1$
2. Divida por 2^N para trabalhar com probabilidades em vez de contagens, e cada parcela de comprimento j traz consigo um fator 2^−j. Qualquer valor inferior a 6 lançamentos é imediatamente seguro, pelo que q₁ a q₅ são 1, e o primeiro valor real pode ser verificado à mão: exatamente 2 das 64 sequências de seis lançamentos são totalmente iguais, logo q₆ = 31/32.
  
  $q_{N} = \frac{2 R ( N )}{2 ^{N}} = j = 1 \sum 5 2^{- j} q_{N - j}, q_{6} = \frac{31}{32}$
3. Até 11 lançamentos existe um atalho, porque duas corridas distintas de 6 precisam de 12 lançamentos para caberem lado a lado. Abaixo disso nenhuma sequência pode conter duas, pelo que a probabilidade de uma sequência seguida é exatamente o seu valor esperado — 2/64 para uma corrida que comece no lançamento 1, e 1/64 para cada início posterior, que também necessita que o lançamento anterior seja diferente. Para N = 10 isso é 6/64, logo q₁₀ = 29/32 = 0,90625 sem qualquer aproximação.
  
  $1 - q_{N} = \frac{2}{64} + \frac{N - 6}{64} = \frac{N - 4}{64} (6 \leq N \leq 11)$
4. Para além dos 11 lançamentos os acontecimentos sobrepõem-se e o atalho de contagem deixa de funcionar, mas a recorrência estabiliza num decaimento geométrico constante. Substituir q_N = Ax^N deixa cinco potências de 2x com soma igual a 1, e a fórmula da série geométrica reduz esses cinco termos a um só: y = 2 − y⁻⁵, com y = 2x. Iterando a partir de y = 2, converge em quatro passos — 1,968750, 1,966190, 1,965969, 1,965950 — para y = 1,965948, logo x = 0,982974.
  
  $1 = j = 1 \sum 5 (2 x)^{- j} ⟹ y = 2 - y^{- 5}, y = 2 x = 1.965948$
5. Noventa lançamentos separam a âncora exata em N = 10 do objetivo em N = 100. O decaimento geométrico mal começou em N = 10, pelo que se trata de uma aproximação, mas a correção diminui suficientemente depressa para reproduzir as duas casas decimais que a ferramenta apresenta a partir da sua recorrência exata.
  
  $q_{100} \approx q_{10} x^{90} = 0.90625 \times 0.98297 4^{90} = 0.1932 ⟹ P = 0.8068$
Resposta

19,32% das sequências de 100 lançamentos escapam, pelo que os 80,68% da tabela indicam que uma corrida de 6 é o resultado comum, não o estranho. O número que traz a lição é 0,982974: cada lançamento adicional reduz a sua probabilidade de escapar em 1,7%, reduzindo-a para metade a cada 40,4 lançamentos. Faça o raciocínio inverso e probabilidades iguais surgem aos 45 lançamentos; faça-o para a frente e 180 lançamentos deixam menos de 5% das sequências limpas. A coluna simulada ao lado da coluna exata é um tipo diferente de número. Uma estimativa com 1000 ensaios de um acontecimento de 80,68% tem um desvio-padrão de √(0,8068×0,1932/1000) = 1,25 pontos percentuais, pelo que flutua mais de um ponto inteiro entre execuções, e mesmo no limite desta ferramenta de 10 000 ensaios continua a ser de ±0,39 pontos. A segunda casa decimal da coluna exata significa algo e a da coluna simulada não pode significar — que é precisamente o que a linha z por baixo está a medir.

$\frac{ln 2}{- ln 0.982974} = 40.4, σ = \frac{0.8068 \times 0.1932}{1000} = 0.0125$

Referências (2)

Insight block 3 — why a fabricated coin-flip log gives itself away: T. P. Hill, "The Difficulty of Faking Data." CHANCE 12(3), 27–31, 1999.
And the general result behind the tool: P. Diaconis and F. Mosteller, "Methods for Studying Coincidences." Journal of the American Statistical Association 84(408), 853–861, 1989 — why surprising runs are expected rather than remarkable.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-29

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Problemas de exemplo

100 lançamentos, sequência de 6 - Com 100 lançamentos de moeda e procurando uma sequência de 6 caras ou coroas seguidas, a probabilidade exata é 80.7%. A maioria das pessoas acha que 6 seguidas é algo muito incomum, mas é mais provável do que não acontecer em 100 lançamentos!
50 lançamentos, sequência de 5 - Com 50 lançamentos, uma sequência de 5 caras ou coroas consecutivas é altamente esperada, com 82.1% de probabilidade de ocorrer naturalmente.
150 lançamentos, sequência de 7 - Com 150 lançamentos, uma sequência de 7 caras ou coroas consecutivas tem 69.7% de probabilidade. Isso mostra como o agrupamento torna sequências de resultados idênticos inevitáveis em sequências mais longas.