Parallaxen-Distanzrechner

d (pc) = 1 / p (Bogensekunden) — die trigonometrische Parallaxenmethode ist die Grundlage der gesamten kosmischen Entfernungsleiter.

Rechenbeispiel — Parallaxen-Distanzrechner

Entfernung (Parsec)	10 pc
Entfernung (Lichtjahre)	32.6156 ly
Entfernung (AE)	2062650 AU

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Parallaxen-Distanzrechner

Die Parallaxendistanz wird durch Triangulation measuren, wobei die Erdbahn als Basislinie dient. Beobachtet man einen nahe gelegenen Stern im Januar und erneut im Juli, scheint er sich gegenüber dem fernen Hintergrund zu verschieben; die Hälfte dieser Gesamtverschiebung ist der Parallaxenwinkel p. Es ist der Winkel, unter dem die Distanz Erde–Sonne vom Stern aus gesehen erscheint.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

p: der Parallaxenwinkel in Bogensekunden — die Hälfte der jährlichen Hin- und Herbewegung, nicht das Ganze. Eine Bogensekunde entspricht 1/3600 eines Grad, und kein Stern erreicht auch nur diesen Wert: Die größte reale Parallaxe am Himmel liegt unter 0.8″.
d: die Entfernung, die der Kehrwert des Winkels ist und sonst nichts. Halbiert man den Winkel, verdoppelt sich die Entfernung: 0.1″ ergibt 10 pc, 0.02″ ergibt 50 pc.
pc: das Parsec, das weniger eine unabhängige Längeneinheit ist als vielmehr eine praktische Festlegung — die Entfernung, bei der die Parallaxe exakt 1″ beträgt. Diese Definition ist der einzige Grund, warum die Formel keine Konstante enthält.
ly: das Lichtjahr, dieselbe Entfernung in der Einheit, die Nicht-Astronomen verwenden. Ein Parsec entspricht 3.2616 Lichtjahren, sodass die zweite Zeile immer die erste multipliziert mit dieser Zahl ist.

Woher die Formel kommt

Der Abstand Erde–Sonne 1 AU ist die kurze Kathete eines sehr schlanken rechtwinkligen Dreiecks, und die Entfernung zum Stern ist die lange Kathete. Der Winkel am Stern ist p.
Für ein schlankes Dreieck gilt im Bogenmaß tan p ≈ p wenn p in Radiant angegeben ist, und der Fehler dieser Kleinwinkelnäherung ist kleiner als jede jemals gemessene Parallaxe. Daher gilt d = 1 AU / p, mit p im Bogenmaß.
Bogensekunden sind praktischer als das Bogenmaß, und die Umrechnung führt eine Konstante ein — die Anzahl der Bogensekunden in einem Radiant, etwa 206265. Somit gilt d = 206265 AU / p″.
Anstatt diese Konstante ständig mitzuführen, gaben Astronomen ihr einen Namen: Ein Parsec entspricht 206265 AU. Kürzt man die Formel, vereinfacht sie sich zu d = 1/p, was genau der Wert ist, den die oberste Zeile anzeigt. Stellt man den Winkel auf 1 ein, zeigt die Entfernung exakt 1 pc an.

So liest du, was du siehst

Der Kehrwert lässt sich am einfachsten erkennen, indem man den Winkel halbiert, statt nur einen Einzelwert abzulesen: 0.77″ ergibt 1.2987 pc, 0.1″ ergibt 10 pc, 0.02″ ergibt 50 pc. Die Lichtjahr-Zeile folgt der ersten Zeile starr im Verhältnis von 3.2616 pro Parsec — 10 pc zeigt 32.6156 ly an —, sie enthält also keine anderen Informationen als die erste Zeile, sondern lediglich eine Einheitenumrechnung.

Setzt voraus: Dass die gemessene Verschiebung tatsächlich die Parallaxe ist und nicht die Eigenbewegung des Sterns am Himmel, und dass du den jährlichen Gesamtausschlag halbiert hast, anstatt den vollen Wert zu verwenden. Beide Fehler skalieren das Ergebnis um einen exakten Faktor, was sie bei einer Einzelmessung schwer erkennbar macht.
Versagt, wenn: Die Formel versagt nie; die Messung tut es, und zwar ab einer gewissen Entfernung statt bei einem bestimmten Wert der Formel. Da d = 1/p gilt, führt ein fester Fehler beim Winkel zu einem Entfernungsfehler, der quadratisch mit der Entfernung wächst — bei 0.02″ entspricht eine Unsicherheit von 0.002″ zwar 10 % des Winkels, verschiebt das Ergebnis aber zwischen etwa 45 und 55 pc. Aus diesem Grund ist die Parallaxe nur die erste Stufe der kosmischen Entfernungsleiter und nicht die gesamte Leiter.

Der Winkel ist so klein, dass er das heliozentrische Weltbild fast versenkte 🖖

Wenn sich die Erde wirklich bewegt, müssen nahe Sterne im Jahresverlauf ihre Position scheinbar verschieben. Kopernikus wusste das 1543, und seine Kritiker wussten es auch: sie hielten fest, dass eine solche Verschiebung nie beobachtet worden war, und schlossen, die Erde stehe still. Sie schlossen korrekt aus den Belegen — die Winkel sind einfach winzig. Selbst Proxima Centauri, der nächstgelegene Stern überhaupt, hat eine Parallaxe von nur 0,7685 Bogensekunden, etwa die Breite einer Münze aus drei Kilometern Entfernung. Das konnte fast drei Jahrhunderte lang niemand messen. Friedrich Bessel gelang es schließlich 1838 an 61 Cygni mit etwa 0,31 Bogensekunden, und die Sternparallaxe war kein Einwand gegen das heliozentrische Weltbild mehr, sondern die erste Sprosse der Entfernungsleiter.

Übung

Prüfe dich selbst

Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.

Erkenntnis 1 sagt, Friedrich Bessel habe 61 Cygni 1838 bei etwa 0.31 Bogensekunden gemessen — die erste Sternentfernung überhaupt. Trage sie ein. Wie weit ist der Stern entfernt, und wie steht das zu Proxima Centauris 0.7685″?

Antwort anzeigen

3.2258 pc, also 10.5212 ly. Proxima bei 0.7685″ zeigt 1.3012 pc und 4.2441 ly, Bessels Stern ist also rund zweieinhalbmal weiter weg. Er zielte nicht auf den nächsten Stern — er wählte 61 Cygni, weil er sich schnell über den Himmel bewegt, und das ist ein anderer, guter Hinweis: ein Stern mit großer Eigenbewegung ist meist ein naher Stern.
Das Winkelfeld endet bei 2 Bogensekunden. Stelle es dorthin. Welche Entfernung kommt zurück, und was stimmt an diesem Bild nicht?

Antwort anzeigen

0.5 pc, das sind 1.6308 ly — und dort ist nichts. Der sonnennächste Stern ist Proxima Centauri bei 4.2441 ly, also benennt alles oberhalb von 0.7685″, die ganze obere Hälfte dieses Eingabefelds, einen Raumbereich ohne einen einzigen Stern. Die Formel würde noch weiter gehen: d = 1/p kennt keine kleinste Entfernung. Das Feld hört auf, bevor die Antwort absurd wird, nicht weil die Rechnung es täte.

Aufgabe vollständig gelöst

Entfernung eines Sterns, der sich durch die Erdbewegung um 0,1 Bogensekunden verschiebt 5 Schritte
Ein Stern verschiebt sich um 0.1 Bogensekunden, während sich die Erde durch ihre Umlaufbahn bewegt. Bestimme seine Entfernung — und dann die Entfernung, bei der diese Methode nicht mehr funktioniert, und warum.
1. Die Parallaxe ist ein Dreieck mit einer bekannten Basis: dem Erdbahnradius. Über sechs Monate beträgt die Basislinie 2 AU, und die Hälfte der Gesamtverschiebung ist der Parallaxenwinkel p. Bei diesen Winkeln ist der Tangens der Winkel selbst in Radiant, was die Rechnung trivial macht.
  
  $tan p = \frac{1 AU}{d} \approx p (radians)$
2. Das Parsec ist genau so definiert, dass es trivial wird: Es ist die Entfernung, bei der 1 AU eine Bogensekunde aufspannt. Wählt man diese Einheit, ist die Beziehung ein Kehrwert ganz ohne Konstanten.
  
  $d [pc] = \frac{1}{p [ arcsec ]} = \frac{1}{0.1} = 10 pc$
3. Umrechnen ist reine Einheitenbuchhaltung, und der Rechner oben gibt alle drei Werte für p = 0.1″ aus.
  
  $10 pc \times 3.26156 = 32.6156 ly, 10 \times 206265 = 2062650 AU$
4. Nun zu dem Teil, den das Tool nicht zeigt. Da die Beziehung ein Kehrwert ist, entspricht der relative Fehler der Entfernung dem relativen Fehler des Winkels. Eine Winkelmessung von 1% ergibt 1% bei der Entfernung.
  
  $\frac{Δ d}{d} = \frac{Δ p}{p} : p = 0. 1^{''} \pm 0.00 1^{''} \Rightarrow \pm 1%$
5. Doch der Winkel schrumpft mit wachsender Entfernung, während der Messfehler nicht kleiner wird. Geht man bis zu p = 0.001″ mit demselben ±0.001″-Instrument, erreicht der relative Fehler 100% — die Messung sagt nichts mehr aus.
  
  $p = 0.00 1^{''} \pm 0.00 1^{''} \Rightarrow \pm 100%$
Antwort

10 Parsec, 32.6156 Lichtjahre. Der Kehrwert macht die Parallaxe sowohl exakt als auch kurzreichweitig: Der Fehler wächst proportional zur Entfernung, sodass jede Parallaxenmessung einen Horizont hat, der durch ihre Winkelgenauigkeit bestimmt wird und nicht dadurch, wie lichtschwach sie noch sehen kann. Hipparcos maß bis auf etwa 0.001″ und erreichte einige hundert Parsec; Gaia erreicht ~0.00002″ und erfasst so Zehntausende. Jenseits dieses Horizonts muss die Astronomie die Methode komplett wechseln — weshalb die Entfernungsleiter überhaupt Sprossen hat.

$d = \frac{1}{p} \frac{Δ d}{d} = \frac{Δ p}{p}$

Lernpfad

Wie weit ist es entfernt?

Führt zu Sonnenleuchtkraft die Entfernung selbst, in Parsec, einzig und allein durch Triangulation ermittelt.

Quellen (3)

The first stellar parallax ever measured, and the source of insight 1’s 0.31″: Bessel, "Bestimmung der Entfernung des 61sten Sterns des Schwans." Astronomische Nachrichten 16, 65–96, 1839.
The mission the challenge block credits with sub-milliarcsecond astrometry: T. Prusti, J. H. J. de Bruijne, A. G. A. Brown, A. Vallenari, C. Babusiaux & C. A. L. Bailer-Jones, "The Gaia mission." Astronomy & Astrophysics 595, A1, 2016.
The parsec as a defined unit, which is why d = 1/p has no constant in it: International Astronomical Union, Resolution B2 on recommended zero points for the absolute and apparent bolometric magnitude scales. XXIX General Assembly, Honolulu, 2015.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-05-21

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Naher Stern (große Parallaxe) - p = 0.77″ → 1.2987 pc bzw. 4.2358 ly: das nächstgelegene Sternsystem, und selbst dieses verschiebt sich um weniger als eine Bogensekunde
Sonnenähnlicher Stern bei 10 pc - p = 0.1″ → genau 10 pc und 2062650 AU — ein Zehntel des Winkels ist die zehnfache Entfernung, ohne Konstante dazwischen
Weit entferntes, schwaches Ziel - p = 0.02″ → 50 pc, und der Hinweis warnt: unterhalb von etwa 0.01″ verwischt die Atmosphäre die Verschiebung