Additionstheoreme

Gib A und B in Grad an oder wie in Klausuren üblich über einen Funktionswert samt Quadrant, und wähle A + B oder A − B. Die Grafik steuert P in zwei Schritten an: erst cos B entlang der gedrehten Achse, dann ±sin B senkrecht dazu. Die Tabelle rechnet alle drei Formeln durch. Für ganzzahlige Vielfache von 15° liefert sie Sinus und Kosinus als exakte Wurzelausdrücke – und den Tangens ebenso, sofern die beteiligten Werte existieren.

Sinus	$sin (A \pm B) = sin A cos B \pm cos A sin B$
Kosinus, umgekehrtes Vorzeichen	$cos (A \pm B) = cos A cos B \mp sin A sin B$
Tangens	$tan (A \pm B) = \frac{tan A \pm tan B}{1 \mp tan A tan B}$

Rechenbeispiel — Additionstheoreme

Zusammengesetzter Winkel	75°
Sinus von A	0,7071
Kosinus von A	0,7071
Sinus von B	0,5
Kosinus von B	0,866
Sinus-Formel	0,9659
Kosinus-Formel	0,2588
Tangens-Formel	3,7321

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Additionstheoreme

Die Additionstheoreme drücken Sinus, Kosinus und Tangens von A + B sowie A − B durch die Funktionswerte von A und B aus.

Woher die Formel kommt

Drehe die Achsen um A. Die gedrehte x-Achse zeigt in Richtung (cos A, sin A), die gedrehte y-Achse nach (−sin A, cos A). Im gedrehten System besitzt P den Winkel B; du erreichst P also mit cos B entlang der ersten und sin B entlang der zweiten Achse.
$P = cos B (cos A, sin A) + sin B (- sin A, cos A)$
Lies die Koordinaten von P ab. Von der ursprünglichen x-Achse aus gesehen hat P den Winkel A + B, also die Koordinaten cos(A + B) und sin(A + B). Jede Koordinate setzt sich aus zwei Produkten zusammen: waagerecht die orangen Katheten, senkrecht die blauen.
$cos (A + B) sin (A + B) = cos A cos B - sin A sin B = sin A cos B + cos A sin B$
Ersetze B durch −B. Weil cos(−B) = cos B und sin(−B) = −sin B gilt, wechseln nur diejenigen Terme ihr Vorzeichen, die sin B enthalten.
$cos (A - B) sin (A - B) = cos A cos B + sin A sin B = sin A cos B - cos A sin B$
Teile Sinus durch Kosinus. Teilst du jeden Term durch cos A cos B, werden die Quotienten zu Tangenswerten und es entsteht eine 1. Voraussetzung dafür ist, dass cos A und cos B ungleich null sind.
$tan (A + B) = \frac{sin A cos B + cos A sin B}{cos A cos B - sin A sin B} = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}$

Aufgaben vollständig gelöst

Ein exakter Wert aus der Summe zweier Standardwinkel 2 Schritte
Bestimme den exakten Wert von sin 75°.

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1. 75° = 45° + 30°, und für beide Winkel sind Sinus und Kosinus exakt bekannt. Zerlege mit dem Additionstheorem:
  
  $sin 7 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} + cos 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ}$
2. Setze die Werte ein und bringe beide Terme auf den Nenner 4:
  
  $= \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{4} + \frac{2}{4}$
Antwort

sin 75° = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659.

$sin 7 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4} \approx 0.9659$
Ein exakter Tangenswert aus einer Differenz 2 Schritte
Bestimme tan 15° exakt in der Form a + b√3.

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1. 15° = 60° − 45°, mit tan 60° = √3 und tan 45° = 1:
  
  $tan 1 5^{\circ} = \frac{tan 6 0 ^{\circ} - tan 4 5 ^{\circ}}{1 + tan 6 0 ^{\circ} tan 4 5 ^{\circ}} = \frac{3 - 1}{1 + 3}$
2. Mache den Nenner rational, indem du Zähler und Nenner mit √3 − 1 multiplizierst:
  
  $= \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )} = \frac{4 - 2 3}{2} = 2 - 3$
Antwort

tan 15° = 2 − √3 ≈ 0,2679.

$tan 1 5^{\circ} = 2 - 3 \approx 0.2679$
Sinus und Kosinus in zwei Quadranten 3 Schritte
sin A = 4/5 für einen stumpfen Winkel A und cos B = −5/13 mit 180° < B < 270°. Bestimme sin(A + B), cos(A + B) und tan(A + B) sowie den Quadranten von A + B.

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1. Zunächst fehlen zwei Werte. Du berechnest sie aus sin² + cos² = 1 mit dem Vorzeichen des jeweiligen Quadranten: In Quadrant II ist der Kosinus negativ, in Quadrant III der Sinus.
  
  $cos A = - 1 - \frac{16}{25} = - \frac{3}{5}, sin B = - 1 - \frac{25}{169} = - \frac{12}{13}$
2. Nun setzt du in die Additionstheoreme ein:
  
  $sin (A + B) cos (A + B) = \frac{4}{5} (- \frac{5}{13}) + (- \frac{3}{5}) (- \frac{12}{13}) = \frac{- 20 + 36}{65} = \frac{16}{65} = (- \frac{3}{5}) (- \frac{5}{13}) - \frac{4}{5} (- \frac{12}{13}) = \frac{15 + 48}{65} = \frac{63}{65}$
3. Beide Ergebnisse sind positiv. A + B liegt zwischen 270° und 450°; da Sinus und Kosinus positiv sind, bleibt nur das Intervall von 360° bis 450°, also Quadrant I. Den Tangens liefert der Quotient:
  
  $tan (A + B) = \frac{16/65}{63/65} = \frac{16}{63}$
Antwort

sin(A + B) = 16/65 ≈ 0,2462, cos(A + B) = 63/65 ≈ 0,9692, tan(A + B) = 16/63 ≈ 0,254 und A + B liegt in Quadrant I.

$sin (A + B) = \frac{16}{65}, cos (A + B) = \frac{63}{65}, tan (A + B) = \frac{16}{63}$
Eine Winkelsumme aus zwei Tangenswerten 2 Schritte
tan A = 1/2 und tan B = 1/3 für spitze Winkel A und B. Bestimme A + B ohne Taschenrechner.

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1. Setze beide Tangenswerte in die Formel ein:
  
  $tan (A + B) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{5/6}{5/6} = 1$
2. Beide Tangenswerte liegen unter 1. Also messen A und B jeweils unter 45°, und A + B liegt zwischen 0° und 90°. Der einzige Winkel in diesem Bereich mit Tangens 1 ist 45°.
  
  $0^{\circ} < A + B < 9 0^{\circ}, tan (A + B) = 1 \Rightarrow A + B = 4 5^{\circ}$
Antwort

A + B = 45°, obwohl weder A ≈ 26,5651° noch B ≈ 18,4349° Standardwinkel sind.

$A + B = 4 5^{\circ}$
Wenn tan(A + B) keinen Wert hat 3 Schritte
tan A = 2 und tan B = 1/2 für spitze Winkel A und B. Was geschieht mit tan(A + B), und wie groß ist A + B?

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1. Der Nenner der Formel wird null:
  
  $1 - tan A tan B = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 0$
2. Dieser Nenner entspricht cos(A + B)/(cos A cos B). Da cos A cos B ungleich null ist, folgt:
  
  $1 - tan A tan B = \frac{cos ( A + B )}{cos A cos B} = 0 \Rightarrow cos (A + B) = 0$
3. A + B liegt zwischen 0° und 180°. Der einzige Winkel mit Kosinus 0 in diesem Bereich ist 90°:
  
  $0^{\circ} < A + B < 18 0^{\circ} \Rightarrow A + B = 9 0^{\circ}$
Antwort

tan(A + B) ist nicht definiert, weil A + B = 90° ist. Für spitze Winkel A und B bedeutet tan A tan B = 1 immer, dass sich beide Winkel zu 90° ergänzen.

$A + B = 9 0^{\circ}, cos (A + B) = 0$
Rückführung auf einen einzigen Winkel 2 Schritte
Bestimme den exakten Wert von cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20°.

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1. cos · cos + sin · sin ist die rechte Seite von cos(A − B), hier mit A = 80° und B = 20°:
  
  $cos 8 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} + sin 8 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} = cos (8 0^{\circ} - 2 0^{\circ})$
2. und 80° − 20° = 60°:
  
  $= cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
Antwort

cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20° = cos 60° = 1/2.

$cos 8 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} + sin 8 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
Eine Identität beweisen 3 Schritte
Beweise sin(A + B) + sin(A − B) = 2 sin A cos B und überprüfe die Identität für A = 45°, B = 30°.

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1. Wende auf beide Sinusterme die Additionstheoreme an:
  
  $sin (A + B) + sin (A - B) = (sin A cos B + cos A sin B) + (sin A cos B - cos A sin B)$
2. Die Terme cos A sin B heben sich auf:
  
  $= 2 sin A cos B$
3. Für 45° und 30° lautet die linke Seite sin 75° + sin 15°, die rechte 2 sin 45° cos 30°:
  
  $\frac{6 + 2}{4} + \frac{6 - 2}{4} = \frac{6}{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}$
Antwort

sin(A + B) + sin(A − B) = 2 sin A cos B gilt für beliebige A und B; bei 45° und 30° ergeben beide Seiten √6/2 ≈ 1,2247.

$sin (A + B) + sin (A - B) = 2 sin A cos B$
Die Verdopplungsformeln als Spezialfall 2 Schritte
Setze B = A in die Summenformeln ein, um sin 2A und cos 2A herzuleiten, und bestimme beide für sin A = 3/5 bei stumpfem Winkel A.

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1. Mit B = A stimmen die beiden Produkte im Sinus überein, und der Kosinus wird zu einer Differenz zweier Quadrate:
  
  $sin 2 A = 2 sin A cos A, cos 2 A = cos^{2} A - sin^{2} A$
2. Da A stumpf ist, gilt cos A = −4/5:
  
  $sin 2 A = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{24}{25}, cos 2 A = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$
Antwort

sin 2A = −24/25 = −0,96 und cos 2A = 7/25 = 0,28. Der Winkel 2A ≈ 286,2602° liegt in Quadrant IV, wo der Sinus negativ und der Kosinus positiv ist.

$sin 2 A = - \frac{24}{25}, cos 2 A = \frac{7}{25}$
Eine Gleichung mit zusammengesetztem Winkel 3 Schritte
Löse sin(x + 30°) = 2 cos x für 0° ≤ x < 360°.

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1. Wende links das Additionstheorem an:
  
  $sin x cos 3 0^{\circ} + cos x sin 3 0^{\circ} = \frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x$
2. Bringe alle Terme mit cos x nach rechts und teile durch cos x. Das kann nicht 0 sein, denn sonst müsste zugleich sin x = 0 gelten – das erfüllt kein Winkel.
  
  $\frac{3}{2} sin x = \frac{3}{2} cos x \Rightarrow tan x = 3$
3. Der Tangens wiederholt sich alle 180°:
  
  $x = 6 0^{\circ}, x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} = 24 0^{\circ}$
Antwort

x = 60° oder x = 240°. Bei 60° ergeben beide Seiten 1, bei 240° jeweils −1.

$x = 6 0^{\circ}, 24 0^{\circ}$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Bestimme den exakten Wert von cos 105°.

Ergebnis anzeigen

(√2 − √6)/4 ≈ −0,2588

$cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}$
Bestimme den exakten Wert von tan 105°.

Ergebnis anzeigen

−2 − √3 ≈ −3,7321

$tan 10 5^{\circ} = - 2 - 3$
sin A = 5/13 und cos B = 3/5 für spitze Winkel A und B. Bestimme cos(A − B).

Ergebnis anzeigen

56/65 ≈ 0,8615

$cos (A - B) = \frac{56}{65}$
Schreibe sin 3x cos x − cos 3x sin x als eine einzige Winkelfunktion.

Ergebnis anzeigen

sin 2x

$sin 3 x cos x - cos 3 x sin x = sin 2 x$
tan A = 3 und tan B = 1/2 für spitze Winkel A und B. Bestimme A − B.

Ergebnis anzeigen

A − B = 45°

$A - B = 4 5^{\circ}$
Löse cos(x − 60°) = sin x für 0° ≤ x < 360°.

Ergebnis anzeigen

x = 75° oder x = 255°

$x = 7 5^{\circ}, 25 5^{\circ}$

Die Formeln sind eine Drehung in Koordinaten 🖖

Von der um A gedrehten Achse aus betrachtet liegt der Punkt P im Winkel B. Du erreichst ihn, indem du zunächst cos B auf dieser Achse bis zu Q abträgst und anschließend sin B rechtwinklig dazu abbiegst. Jeder dieser beiden Schritte zerfällt in einen waagerechten und einen senkrechten Anteil. Waagerecht: erst cos A cos B voran, dann sin A sin B zurück in Gegenrichtung. Senkrecht: erst sin A cos B, dazu cos A sin B. Der waagerechte Gesamtweg zu P ist cos(A + B), der senkrechte sin(A + B). Dafür muss kein einziger Winkel spitz sein, denn die Produkte bringen ihre Vorzeichen selbst mit: Kippt eine Kathete in Gegenrichtung, wechselt ihr Produkt ganz von allein das Vorzeichen. Klick auf sin A = 4/5, cos B = −5/13: A ist stumpf, B liegt in Quadrant III, Q landet hinter dem Ursprung O auf der gedrehten Achse – und dieselben Summen führen zielsicher zu P bei (0,9692; 0,2462). In der Sprache der Matrizen entsteht (cos(A + B), sin(A + B)), wenn die Drehmatrix zu A auf den Vektor (cos B, sin B) angewendet wird. Die beiden Formeln sagen also schlicht: Eine Drehung um A, gefolgt von einer Drehung um B, ist eine Drehung um A + B. Ptolemäus rechnete im zweiten Jahrhundert noch mit Sehnen statt mit dem Sinus; seine Regeln für die Sehne einer Summe oder Differenz von Kreisbögen entsprechen genau unseren beiden Sinusformeln, und mit ihnen stellte er seine Sehnentafel für jedes halbe Grad auf.

sin(A + B) ist fast nie sin A + sin B 🖖

Klick auf sin 75° = sin(45° + 30°). Hier ist sin 45° + sin 30° = 0,7071 + 0,5 = 1,2071 – mehr als ein Sinus je annehmen kann –, während sin 75° = 0,9659 beträgt. Die Formel gewichtet nämlich jeden Sinus mit dem Kosinus des jeweils anderen Winkels, und ein Kosinus wird höchstens 1 groß. Beide Ausdrücke stimmen nur dann überein, wenn A, B oder A + B ein ganzzahliges Vielfaches von 360° ist; ihre Differenz lässt sich exakt faktorisieren: sin A + sin B − sin(A + B) = 4 sin(A/2) sin(B/2) sin((A + B)/2). Die naive Vermutung schlägt fast immer fehl. Bei 120° und 240° geht sie auf: Dort ist A + B = 360°, und beide Seiten ergeben 0.

Die Tangensformel kann scheitern, obwohl der Tangens existiert 🖖

Klick auf A = 90°, B = 45°. Eigentlich ist tan 135° = −1 eine völlig unproblematische Zahl. Doch die Formel verlangt nach tan 90°, und den gibt es nicht – also liefert auch die Formel keinen Wert. Am Winkel selbst liegt das nicht: Bei der Herleitung wurde unterwegs durch cos A cos B geteilt, und cos 90° = 0. Teilst du Zähler und Nenner durch tan A (überall dort, wo tan A existiert und ungleich 0 ist), entsteht die Form (1 + cot A tan B)/(cot A − tan B). Diese Form funktioniert auch bei 90°: Wegen cot 90° = 0 liest man dort 1/(0 − 1) = −1. Der andere Fall ist ein echter Ausfall. Klick auf tan A = 2, tan B = 1/2: Hier wird der Nenner 1 − tan A tan B gleich 0. Dieser Nenner entspricht cos(A + B)/(cos A cos B); er verschwindet also genau dann, wenn cos(A + B) verschwindet – und bei A + B = 90° ist der Tangens tatsächlich nicht definiert. Für spitze Winkel bedeutet tan A tan B = 1 stets B = 90° − A.

Lernpfad

Trigonometrische Identitäten und Gleichungen

Quellen (2)

The sum and difference formulae for sine, cosine and tangent, the exact value of cos 75° from 45° + 30°, and the unit-circle distance proof of cos(α − β): J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.2, “Sum and Difference Identities”.
Insight block 1: Ptolemy (about AD 85 to 165) “used formulae for the Crd function which are analogous to our formulae for sin(a+b) and sin(a−b)” to build a table of chords “at intervals of 1/2 a degree”, in the first two books of the Almagest: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Claudius Ptolemy”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (April 1999).

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.