Inverse trigonometrische Funktionen

Gib x als Dezimalzahl, Bruch oder Wurzel ein, und du erhältst genau den Winkel im Hauptwertebereich, dessen Sinus, Kosinus oder Tangens gleich x ist (oder den Grund, warum keiner existiert). Zieh alternativ an θ und beobachte, wie f⁻¹(f(θ)) in den Bereich zurückgefaltet wird.

Arkussinus	$sin^{- 1} x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], - 1 \leq x \leq 1$
Arkuskosinus	$cos^{- 1} x \in [0, π], - 1 \leq x \leq 1$
Arkustangens	$tan^{- 1} x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}), x \in R$
Sinus umkehren	$sin (sin^{- 1} x) = x sin^{- 1} (sin θ) = θ ⟺ - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$

Rechenbeispiel — Inverse trigonometrische Funktionen

Vorgegebener Wert	−0,5
Hauptwert, im Bogenmaß	−0,5236
In Grad	−30°
cos(sin⁻¹ x), über das Dreieck	0,866

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Inverse trigonometrische Funktionen

Die inversen trigonometrischen Funktionen sin⁻¹ x, cos⁻¹ x und tan⁻¹ x (auch arcsin, arccos und arctan genannt) liefern den eindeutigen Winkel eines festgelegten Bereichs – den Hauptwert –, dessen Sinus, Kosinus oder Tangens gleich x ist. Die hochgestellte −1 kennzeichnet dabei die Umkehrfunktion und keinen Exponenten: sin⁻¹ x ist nicht 1/sin x.

Woher die Formel kommt

Der Sinus ist nicht umkehrbar eindeutig. Unendlich viele Winkel besitzen denselben Sinuswert. Die Formulierung „der Winkel mit dem Sinus ½“ beschreibt erst dann einen bestimmten Winkel, wenn eine Konvention die Auswahl festlegt.
$sin \frac{π}{6} = sin \frac{5 π}{6} = sin (- \frac{7 π}{6}) = \frac{1}{2}$
Erst einschränken, dann umkehren. Von −π/2 bis π/2 wächst der Sinus streng von −1 auf 1 und durchläuft jeden Wert genau einmal; nur deshalb existiert dort eine Umkehrfunktion. Aus demselben Grund schränkt man den Kosinus auf 0 ≤ y ≤ π und den Tangens auf −π/2 < y < π/2 ein.
$y = sin^{- 1} x ⟺ sin y = x, - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}$
Die Umkehrung greift nur in einer Richtung bedingungslos. Es gilt stets sin(sin⁻¹ x) = x für jedes zulässige x. Doch sin⁻¹(sin θ) liefert nur dann θ zurück, wenn θ ohnehin im Hauptwertebereich lag. Andernfalls erhältst du denjenigen Winkel im Bereich, der denselben Sinuswert hat.
$sin (sin^{- 1} x) = x (- 1 \leq x \leq 1), sin^{- 1} (sin \frac{5 π}{6}) = \frac{π}{6}$
Verkettungen lassen sich am rechtwinkligen Dreieck konstruieren. Setze y = sin⁻¹ x, also sin y = x. Der Satz des Pythagoras liefert die andere Kathete, und der Wertebereich bestimmt das Vorzeichen.
$cos (sin^{- 1} x) = 1 - x^{2}$

Setzt voraus: sin⁻¹ und cos⁻¹ sind nur für −1 ≤ x ≤ 1 definiert; tan⁻¹ akzeptiert jede reelle Zahl.

Aufgaben vollständig gelöst

Ein negativer Sinus 2 Schritte
Bestimme sin⁻¹(−1/2) exakt.

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1. Das Ergebnis muss im Wertebereich von sin⁻¹ liegen:
  
  $- \frac{π}{2} \leq sin^{- 1} x \leq \frac{π}{2}$
2. π/6 hat den Sinus 1/2. Da der Sinus ungerade ist, lautet der Winkel im Bereich −π/6:
  
  $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$
Antwort

sin⁻¹(−1/2) = −π/6. 7π/6 und 11π/6 haben denselben Sinus, liegen aber außerhalb des Bereichs.

$sin^{- 1} (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6} \approx - 0.5236$
Ein negativer Kosinus 2 Schritte
Bestimme cos⁻¹(−√3/2) exakt.

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1. Der Wertebereich reicht von 0 bis π, und der Referenzwinkel ist π/6:
  
  $0 \leq cos^{- 1} x \leq π, cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$
2. Im Wertebereich ist der Kosinus erst jenseits von π/2 negativ, der gesuchte Winkel lautet also π − π/6:
  
  $cos (π - \frac{π}{6}) = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}$
Antwort

cos⁻¹(−√3/2) = 5π/6.

$cos^{- 1} (- \frac{3}{2}) = \frac{5 π}{6} \approx 2.618$
Ein Arkustangens 2 Schritte
Bestimme tan⁻¹(−√3) exakt.

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1. tan⁻¹ ist für jede reelle Zahl definiert und liefert Werte echt zwischen −π/2 und π/2:
  
  $- \frac{π}{2} < tan^{- 1} x < \frac{π}{2}, x \in R$
2. Es gilt tan(π/3) = √3, und der Tangens ist ungerade:
  
  $tan \frac{π}{3} = 3 \Rightarrow tan (- \frac{π}{3}) = - 3$
Antwort

tan⁻¹(−√3) = −π/3.

$tan^{- 1} (- 3) = - \frac{π}{3} \approx - 1.0472$
Welche Umkehrwerte existieren 2 Schritte
Welche der Ausdrücke sin⁻¹ 1,5, cos⁻¹(−1,2) und tan⁻¹ 1,5 existieren? Berechne die definierten Werte.

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1. Sinus und Kosinus bilden Koordinaten auf dem Einheitskreis; daher akzeptieren sin⁻¹ und cos⁻¹ nur Werte von −1 bis 1:
  
  $sin^{- 1} x, cos^{- 1} x : - 1 \leq x \leq 1; 1.5 \in / [- 1, 1], - 1.2 \in / [- 1, 1]$
2. Der Tangens nimmt jeden reellen Wert an, folglich existiert tan⁻¹ 1,5. Dies ist kein Standardwinkel, rechne ihn also im Bogenmaß mit dem Taschenrechner aus:
  
  $tan^{- 1} 1.5 \approx 0.9828 \approx 56.309 9^{\circ}$
Antwort

Nur tan⁻¹ 1,5 ≈ 0,9828 (rund 56,3099°) existiert. sin⁻¹ 1,5 und cos⁻¹(−1,2) sind nicht definiert.

$tan^{- 1} 1.5 \approx 0.9828$
Den Sinus außerhalb des Bereichs umkehren 2 Schritte
Bestimme sin⁻¹(sin 5π/6).

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1. 5π/6 liegt außerhalb des Wertebereichs, das Ergebnis ist also nicht 5π/6:
  
  $\frac{5 π}{6} > \frac{π}{2}$
2. π − θ besitzt denselben Sinus wie θ, und π − 5π/6 liegt im Bereich:
  
  $sin (π - \frac{5 π}{6}) = sin \frac{5 π}{6}, π - \frac{5 π}{6} = \frac{π}{6} \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
Antwort

sin⁻¹(sin 5π/6) = π/6.

$sin^{- 1} (sin \frac{5 π}{6}) = \frac{π}{6}$
Den Kosinus außerhalb des Bereichs umkehren 2 Schritte
Bestimme cos⁻¹(cos 4π/3).

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1. 4π/3 ist größer als π und liegt damit außerhalb des Bereichs:
  
  $\frac{4 π}{3} > π$
2. 2π − θ hat denselben Kosinus wie θ, weil der Kosinus gerade ist und sich alle 2π wiederholt; zudem liegt 2π − 4π/3 im Wertebereich:
  
  $cos (2 π - \frac{4 π}{3}) = cos \frac{4 π}{3}, 2 π - \frac{4 π}{3} = \frac{2 π}{3} \in [0, π]$
Antwort

cos⁻¹(cos 4π/3) = 2π/3.

$cos^{- 1} (cos \frac{4 π}{3}) = \frac{2 π}{3}$
Eine Verkettung mit negativer Eingabe 3 Schritte
Bestimme tan(cos⁻¹(−3/5)) exakt.

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1. Nenne den Winkel y. Sein Kosinus beträgt −3/5, womit ihn der Wertebereich hinter π/2 verortet:
  
  $y = cos^{- 1} (- \frac{3}{5}) : cos y = - \frac{3}{5}, \frac{π}{2} < y \leq π$
2. Dort ist der Sinus positiv; aus sin²y + cos²y = 1 folgt
  
  $sin y = + 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$
3. und mit tan y = sin y / cos y ergibt sich:
  
  $tan y = \frac{4/5}{- 3/5} = - \frac{4}{3}$
Antwort

tan(cos⁻¹(−3/5)) = −4/3.

$tan (cos^{- 1} (- \frac{3}{5})) = - \frac{4}{3} \approx - 1.3333$
Eine Verkettung in x 3 Schritte
Drücke cos(sin⁻¹ x) durch x aus und überprüfe das Ergebnis für x = −3/5.

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1. Nenne den Winkel y. Der Wertebereich von sin⁻¹ hält y zwischen −π/2 und π/2, wo der Kosinus nie negativ wird:
  
  $y = sin^{- 1} x : sin y = x, - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2} \Rightarrow cos y \geq 0$
2. die Wurzel erhält also ihr positives Vorzeichen:
  
  $cos y = + 1 - sin^{2} y = 1 - x^{2}$
3. Für x = −3/5:
  
  $cos (sin^{- 1} (- \frac{3}{5})) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$
Antwort

cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²), ganz ohne ±, für jedes x von −1 bis 1.

$cos (sin^{- 1} x) = 1 - x^{2}, - 1 \leq x \leq 1$
Eine Gleichung mit Umkehrfunktion 2 Schritte
Löse cos⁻¹ x = 2π/3 und anschließend cos⁻¹ x = −π/3.

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1. Wende auf beiden Seiten den Kosinus an. Da 2π/3 im Wertebereich liegt, ist dies die einzige Lösung:
  
  $cos^{- 1} x = \frac{2 π}{3} \Rightarrow x = cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$
2. cos⁻¹ liefert niemals −π/3, da dieser Wert außerhalb des Wertebereichs liegt:
  
  $- \frac{π}{3} \in / [0, π]$
Antwort

x = −1/2 für die erste Gleichung; die zweite hat keine Lösung. Zwar ist cos(−π/3) = 1/2, aber cos⁻¹(1/2) ist π/3.

$x = - \frac{1}{2}; - \frac{π}{3} \in / [0, π] \Rightarrow \emptyset$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Bestimme tan⁻¹(tan 2π/3).

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−π/3, also 2π/3 − π.

$tan^{- 1} (tan \frac{2 π}{3}) = - \frac{π}{3}$
Bestimme cos⁻¹(cos(−2π/5)).

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2π/5, da der Kosinus gerade ist.

$cos^{- 1} (cos (- \frac{2 π}{5})) = \frac{2 π}{5}$
Bestimme sin⁻¹(sin 4), wobei 4 im Bogenmaß steht.

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π − 4 ≈ −0,8584, da 4 zwischen π/2 und 3π/2 liegt.

$sin^{- 1} (sin 4) = π - 4 \approx - 0.8584$
Bestimme sin(cos⁻¹(−12/13)) exakt.

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5/13: Der Winkel liegt jenseits von π/2, wo der Sinus positiv ist.

$sin (cos^{- 1} (- \frac{12}{13})) = \frac{5}{13}$
Drücke tan(sin⁻¹ x) durch x aus.

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x/√(1 − x²), für −1 < x < 1.

$tan (sin^{- 1} x) = \frac{x}{1 - x ^{2}}, - 1 < x < 1$
Zeige, dass sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2 für −1 ≤ x ≤ 1 gilt, und überprüfe dies für x = −1/2.

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Mit y = sin⁻¹ x gilt cos(π/2 − y) = sin y = x. Weil π/2 − y zwischen 0 und π liegt, folgt π/2 − y = cos⁻¹ x.

$sin^{- 1} (- \frac{1}{2}) + cos^{- 1} (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} = \frac{π}{2}$

Auf dem halben Kreis läuft sin⁻¹(sin θ) rückwärts 🖖

Klick auf sin⁻¹(sin 150°): Das Ergebnis ist 30°. Zieh nun θ von 90° bis 270°. Während θ ansteigt, fällt sin⁻¹(sin θ) von 90° auf −90° – mit einer Steigung von exakt −1, denn auf diesem Abschnitt gilt 180° − θ. Der Sinus klettert bei 90° auf 1 und kehrt dann um; jede Funktion, die ihn rückgängig machen soll, muss diese Umkehrung mitmachen. Der Kosinus kehrt bei 0° und 180° um; zwischen −180° und 180° zeichnet cos⁻¹(cos θ) deshalb das V von |θ|. Der Tangens kehrt dagegen nie um. Zwischen seinen Asymptoten steigt er auf jedem Abschnitt ununterbrochen an. Folglich läuft tan⁻¹(tan θ) niemals rückwärts; die Kurve fällt lediglich um 180° ab, sobald θ ein ungerades Vielfaches von 90° überschreitet. tan⁻¹(tan 135°) ergibt 135° − 180° = −45°.

cos⁻¹ kann nicht denselben Bereich wie sin⁻¹ nutzen 🖖

Zwischen −90° und 90° wird der Kosinus nie negativ. Zudem nimmt er jeden Wert echt zwischen 0 und 1 gleich doppelt an: einmal bei θ und einmal bei −θ. Eine echte Umkehrung verlangt jedoch in beiden Punkten das Gegenteil: jeden Wert von −1 bis 1, und jeden davon genau einmal. Daher antwortet cos⁻¹ zwischen 0° und 180°, also auf der oberen Kreishälfte, wo der Kosinus stetig von 1 auf −1 fällt. Das merkst du sofort bei negativen Eingaben. sin⁻¹(−1/2) liegt mit −30° unterhalb der x-Achse, aber cos⁻¹(−√3/2) ist 150°. Ein negativer Kosinus führt nie zu einem negativen Winkel, sondern schiebt das Ergebnis immer über 90° hinaus.

cos(sin⁻¹ x) braucht niemals ein ± 🖖

Beim trigonometrischen Pythagoras lieferte √(1 − sin²θ) nur den Betrag von cos θ, und der jeweilige Quadrant musste das Vorzeichen beisteuern. Hier regelt der Wertebereich das Vorzeichen ganz von allein. sin⁻¹ x liegt zwischen −90° und 90°, wo der Kosinus nirgends negativ wird. Deshalb gilt cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²) für jedes x von −1 bis 1. Bei x = −3/5 ergibt das +4/5, obwohl der Winkel selbst negativ ist. Dasselbe gilt für sin(cos⁻¹ x), da der Sinus von 0° bis 180° nie negativ ausfällt. Der Tangens kann durchaus negativ werden, weil der Wertebereich von cos⁻¹ den II. Quadranten einschließt. Aber tan(cos⁻¹ x) = √(1 − x²)/x transportiert dieses Vorzeichen bereits im x und kommt ebenfalls ohne ± aus. Klick auf tan(cos⁻¹(−3/5)): Der Winkel beträgt 126,8699°, der Tangens also −4/3.

Lernpfad

Trigonometrische Identitäten und Gleichungen

Quellen (1)

The domains and principal ranges of sin⁻¹, cos⁻¹ and tan⁻¹, sin⁻¹(sin x) = x only for −π/2 ≤ x ≤ π/2, the warning that sin⁻¹ x is not 1/sin x, and compositions such as cos(sin⁻¹ x) by a right triangle: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 6.3, “Inverse Trigonometric Functions”.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.