Trigonometrische Gleichungen lösen

Gib eine Gleichung und ein Intervall ein. Die Seite ermittelt den Hauptwert des Taschenrechners, den zweiten Wert desselben Umlaufs (bei Sinus und Kosinus) sowie sämtliche Lösungen im Intervall und zeigt jede davon doppelt: dort, wo die Kurve die Höhenlinie schneidet, und dort, wo die Spirale des Arguments den Lösungsstrahl auf dem Kreis kreuzt.

sin x = k, \|k\| ≤ 1	$x = α + 2 nπ, x = π - α + 2 nπ α = arcsin k$
cos x = k, \|k\| ≤ 1	$x = \pm α + 2 nπ, α = arccos k$
tan x = k, beliebiges k	$x = α + nπ, α = arctan k$

Rechenbeispiel — Trigonometrische Gleichungen lösen

Hauptwert (Taschenrechner)	17,46°
Zweiter Wert desselben Umlaufs	162,54°
Allgemeine Lösung, n ganzzahlig	162,54° + 360°n
Lösungen im Intervall	17,46°, 162,54°
Anzahl der Lösungen	2

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Trigonometrische Gleichungen lösen

Eine trigonometrische Gleichung verlangt nach allen Winkeln in einem vorgegebenen Intervall, für die ein trigonometrischer Ausdruck einen bestimmten Wert annimmt. Ihre allgemeine Lösung verzichtet auf die Intervallgrenzen und gibt sämtliche Lösungswinkel an, aufgeteilt in Scharen der Form x = x₀ + n × Periode mit ganzzahligem n: eine oder zwei für jeden Zielwert der Funktion.

Woher die Formel kommt

Bestimme den Hauptwert. α = arcsin k ist der eine Wert, den der Taschenrechner aus einem fest definierten Bereich ausgibt. Er kann außerhalb des Intervalls liegen und dient dennoch als Ausgangspunkt der Rechnung.
$arcsin k arccos k arctan k \in [- 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ}] \in [0^{\circ}, 18 0^{\circ}] \in (- 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ})$
Finde den zweiten Wert desselben Umlaufs über die Symmetrie des Kreises: Die Gerade y = k schneidet den Kreis bei α und 180° − α, die Gerade x = k bei α und −α, und die Gerade durch den Ursprung O mit Steigung k bei α und α + 180°.
$sin x = k : cos x = k : tan x = k : α, 18 0^{\circ} - α α, - α α, α + 18 0^{\circ}$
Addiere ganze Perioden, bis das Argument sein Intervall ausgefüllt hat, und rechne dann auf x zurück. Bei f(ax + b) läuft u = ax + b von a·x₁ + b bis a·x₂ + b, und jedes u liefert x = (u − b)/a.
$u = u_{0} + 36 0^{\circ} n (tan : u_{0} + 18 0^{\circ} n), x = \frac{u - b}{a}$
Zwei Funktionen oder ein Quadrat: Führe alles auf eine Funktion zurück und löse die quadratische Gleichung. Ersetze cos²x durch 1 − sin²x, bestimme s = sin x und behalte nur jene Lösungen, die zwischen −1 und 1 liegen.
$cos^{2} x = 1 - sin^{2} x, s = sin x, - 1 \leq s \leq 1$

Setzt voraus: sin x = k und cos x = k besitzen nur für −1 ≤ k ≤ 1 Lösungen; tan x = k für jedes beliebige k.

Aufgaben vollständig gelöst

sin x = k, in Grad 3 Schritte
Löse sin x = 0,3 für 0° ≤ x ≤ 360° auf zwei Nachkommastellen genau.

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1. Der Hauptwert stammt vom Taschenrechner:
  
  $α = arcsin 0.3 = 17.4 6^{\circ}$
2. Der Sinus ist im I. und II. Quadranten positiv; der zweite Wert des Umlaufs lautet 180° − α:
  
  $x = 18 0^{\circ} - 17.4 6^{\circ} = 162.5 4^{\circ}$
3. Addition oder Subtraktion von 360° führt jeweils aus dem Intervall hinaus; es gibt also keine weiteren Lösungen:
  
  $17.4 6^{\circ} + 36 0^{\circ} = 377.4 6^{\circ} > 36 0^{\circ}, 162.5 4^{\circ} - 36 0^{\circ} = - 197.4 6^{\circ} < 0^{\circ}$
Antwort

x = 17,46° oder x = 162,54°.

$x = 17.4 6^{\circ}, x = 162.5 4^{\circ}$
cos x = k, auf einem um 0 zentrierten Intervall 3 Schritte
Löse cos x = −0,6 für −180° ≤ x ≤ 180°.

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1. arccos liefert einen Wert von 0° bis 180°, hier im II. Quadranten, wo der Kosinus negativ ist:
  
  $α = arccos (- 0.6) = 126.8 7^{\circ}$
2. Der zweite Wert lautet −α, gespiegelt an der x-Achse:
  
  $x = - α = - 126.8 7^{\circ}$
3. Beide liegen im Intervall; eine weitere Periode würde bereits darüber hinausführen:
  
  $126.8 7^{\circ} - 36 0^{\circ} = - 233.1 3^{\circ} < - 18 0^{\circ}, - 126.8 7^{\circ} + 36 0^{\circ} = 233.1 3^{\circ} > 18 0^{\circ}$
Antwort

x = ±126,87°.

$x = \pm 126.8 7^{\circ}$
tan x = k, wenn der Wert des Rechners außerhalb des Intervalls liegt 2 Schritte
Löse tan x = −2 für 0° ≤ x ≤ 360°.

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1. Der Taschenrechner liefert einen negativen Winkel, der außerhalb des Intervalls liegt:
  
  $α = arctan (- 2) = - 63.4 3^{\circ}$
2. Der Tangens wiederholt sich alle 180°. Addiere 180° einmal und zweimal; ein drittes Mal ergäbe 476,57°, was über 360° liegt:
  
  $x = - 63.4 3^{\circ} + 18 0^{\circ} = 116.5 7^{\circ}, x = - 63.4 3^{\circ} + 36 0^{\circ} = 296.5 7^{\circ}$
Antwort

x = 116,57° oder x = 296,57°. Der Rechnerwert von −63,43° gehört nicht dazu.

$x = 116.5 7^{\circ}, x = 296.5 7^{\circ}$
Eine exakte Lösung im Bogenmaß 3 Schritte
Löse sin x = −√3/2 für 0 ≤ x ≤ 2π mit exakten Werten.

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1. Weil sin(π/3) = √3/2 ist, entspricht der Hauptwert dem Negativen davon:
  
  $α = arcsin (- \frac{3}{2}) = - \frac{π}{3}$
2. Der zweite Wert des Umlaufs lautet π − α:
  
  $x = π - (- \frac{π}{3}) = \frac{4 π}{3}$
3. Da α selbst negativ ist, addierst du 2π, um ins Intervall zu gelangen:
  
  $x = - \frac{π}{3} + 2 π = \frac{5 π}{3}$
Antwort

x = 4π/3 oder x = 5π/3.

$x = \frac{4 π}{3}, x = \frac{5 π}{3}$
Ein zusammengesetztes Argument verändert die Lösungsanzahl 3 Schritte
Löse sin(2x − 30°) = √3/2 für 0° ≤ x ≤ 360°.

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1. Sei u = 2x − 30°. Läuft x von 0° bis 360°, überstreicht u zwei volle Umläufe:
  
  $u = 2 x - 3 0^{\circ} : 2 \cdot 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = - 3 0^{\circ} \leq u \leq 2 \cdot 36 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 69 0^{\circ}$
2. In einem Umlauf gilt sin u = √3/2 bei 60° und 120°; ein weiterer Umlauf addiert jeweils 360°:
  
  $u = 6 0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 42 0^{\circ}, 48 0^{\circ}$
3. Rechne das Argument zurück, x = (u + 30°)/2:
  
  $x = \frac{u + 3 0 ^{\circ}}{2} = 4 5^{\circ}, 7 5^{\circ}, 22 5^{\circ}, 25 5^{\circ}$
Antwort

Vier Lösungen: x = 45°, 75°, 225° und 255°. Hätte man u nur von 0° bis 360° bestimmt, wären zwei davon verloren gegangen.

$x = 4 5^{\circ}, 7 5^{\circ}, 22 5^{\circ}, 25 5^{\circ}$
Quadratisch in cos x mit einer entfallenden Lösung 3 Schritte
Löse 2cos²x + 3cos x − 2 = 0 für 0° ≤ x ≤ 360°.

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1. Setze s = cos x und faktorisiere:
  
  $2 s^{2} + 3 s - 2 = (2 s - 1) (s + 2) = 0$
2. s = −2 ist zwar Lösung der quadratischen Gleichung, aber kein möglicher Wert des Kosinus; es bleibt nur eine Gleichung übrig:
  
  $s = \frac{1}{2}, s = - 2 < - 1$
3. cos x = 1/2 ergibt α = 60°, und der zweite Wert −60° entspricht im Intervall 300°:
  
  $x = 6 0^{\circ}, x = 36 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 30 0^{\circ}$
Antwort

x = 60° oder x = 300°.

$x = 6 0^{\circ}, x = 30 0^{\circ}$
Mit sin²x + cos²x = 1 zu einer einzigen Funktion 3 Schritte
Löse 2cos²x + 3sin x − 3 = 0 für 0° ≤ x ≤ 360°.

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1. Die Gleichung enthält Kosinus und Sinus. Ersetze cos²x durch 1 − sin²x, sodass nur noch sin x übrig bleibt:
  
  $2 (1 - sin^{2} x) + 3 sin x - 3 = 0 \Rightarrow 2 sin^{2} x - 3 sin x + 1 = 0$
2. Faktorisiere in s = sin x:
  
  $(2 s - 1) (s - 1) = 0, s = \frac{1}{2}, s = 1$
3. sin x = 1/2 liefert 30° und 150°; sin x = 1 liefert nur 90°, da α und 180° − α hier denselben Winkel beschreiben:
  
  $x = 3 0^{\circ}, 15 0^{\circ}; x = 9 0^{\circ}$
Antwort

Drei Lösungen: x = 30°, 90° und 150°.

$x = 3 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 15 0^{\circ}$
Durch Division zu tan x 2 Schritte
Löse √3 sin x = cos x für −π ≤ x ≤ π.

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1. Gilt cos x = 0, so ist sin x = ±1 und die linke Seite ±√3, also ungleich 0. Keine Lösung hat daher cos x = 0; die Division ist also verlustfrei:
  
  $\frac{3 sin x}{cos x} = \frac{cos x}{cos x} \Rightarrow tan x = \frac{1}{3}$
2. α = arctan(1/√3) = π/6, und der Tangens wiederholt sich alle π:
  
  $x = \frac{π}{6}, x = \frac{π}{6} - π = - \frac{5 π}{6}$
Antwort

x = −5π/6 oder x = π/6.

$x = - \frac{5 π}{6}, x = \frac{π}{6}$
Die allgemeine Lösung 3 Schritte
Bestimme die allgemeine Lösung von cos 2x = −1/2 im Bogenmaß und gib alle Lösungen zwischen 0 und 2π an.

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1. arccos(−1/2) = 2π/3; beim Kosinus treten die Lösungen paarweise als ±α auf und wiederholen sich alle 2π:
  
  $2 x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 nπ$
2. Division durch 2 halbiert auch die Periode:
  
  $x = \pm \frac{π}{3} + nπ, n \in Z$
3. Zwischen 0 und 2π liefern n = 0, 1 und 2:
  
  $x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}$
Antwort

x = ±π/3 + nπ für jede ganze Zahl n; zwischen 0 und 2π sind dies π/3, 2π/3, 4π/3 und 5π/3.

$x = \pm \frac{π}{3} + nπ, n \in Z$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Löse cos x = 0,25 für 0° ≤ x ≤ 360° auf zwei Nachkommastellen genau.

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x = 75,52° oder x = 284,48°. Der Taschenrechner liefert 75,52°, der zweite Wert lautet −75,52°, was im Intervall 284,48° entspricht.

$x = 75.5 2^{\circ}, x = 284.4 8^{\circ}$
Löse tan(x/2) = 3 für 0° ≤ x ≤ 360°. Wie viele Lösungen gibt es?

Ergebnis anzeigen

Eine: x = 143,13°. Das Argument x/2 läuft lediglich von 0° bis 180°, also einen halben Umlauf; darin nimmt der Tangens den Wert 3 nur bei x/2 = 71,57° an.

$x = 143.1 3^{\circ}$
Löse 3sin²x − sin x − 2 = 0 für 0° ≤ x ≤ 360° auf zwei Nachkommastellen genau.

Ergebnis anzeigen

(3sin x + 2)(sin x − 1) = 0. sin x = 1 liefert 90°; sin x = −2/3 liefert 221,81° und 318,19°. Drei Lösungen.

$x = 9 0^{\circ}, 221.8 1^{\circ}, 318.1 9^{\circ}$
Löse 2sin²x = cos x + 1 für 0 ≤ x ≤ 2π exakt.

Ergebnis anzeigen

Mit sin²x = 1 − cos²x wird daraus 2cos²x + cos x − 1 = 0, also cos x = 1/2 oder cos x = −1: x = π/3, π und 5π/3.

$x = \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$
Bestimme die allgemeine Lösung von sin 3x = 1/2 in Grad.

Ergebnis anzeigen

3x = 30° + 360°n oder 3x = 150° + 360°n, also x = 10° + 120°n oder x = 50° + 120°n.

$x = 1 0^{\circ} + 12 0^{\circ} n, x = 5 0^{\circ} + 12 0^{\circ} n$

Drei Regeln, drei Symmetrien am Kreis 🖖

Der Sinus entspricht der Höhe des Punktes auf dem Einheitskreis. Zwei Punkte auf der Höhe k liegen spiegelbildlich zur y-Achse; deshalb liefert sin x = k stets α und 180° − α. Der Kosinus ist die horizontale Koordinate; seine beiden Punkte spiegeln sich an der x-Achse in α und −α. Der Tangens ist die Steigung der Geraden durch den Ursprung O und den Punkt. Diese Gerade schneidet den Kreis in zwei gegenüberliegenden Punkten, α und α + 180°. Folglich wiederholt sich der Tangens bereits nach einem halben Umlauf, während Sinus und Kosinus einen ganzen benötigen. Klicke auf cos x = −0,6, und die vertikale Gerade x = −0,6 schneidet den Kreis bei ±126,87°; wählst du tan x = −2, schneidet die Gerade mit Steigung −2 ihn bei 116,57° und 296,57° – genau einen halben Umlauf voneinander entfernt.

Erst die Anzahl, dann die Lösungen 🖖

Klicke auf sin(2x − 30°) = √3/2. Durchläuft x das Intervall von 0° bis 360°, wandert das Argument 2x − 30° von −30° bis 690°, also über exakt zwei volle Umläufe. Die Spirale auf dem Kreis schneidet jeden der beiden Lösungsstrahlen einmal pro Umlauf: vier Lösungen, bereits gezählt, bevor auch nur eine berechnet ist. Wer sin u = √3/2 nur zwischen 0° und 360° löst, findet u = 60° und 120°, also x = 45° und 75°, und verpasst zwei Ergebnisse. Über vollständige Umläufe hinweg (bei Zählung genau einer Intervallgrenze) beträgt die Anzahl pro Umlauf exakt zwei: bei Sinus und Kosinus für −1 < k < 1 sowie beim Tangens für jedes k, da dessen Periode nur einen halben Umlauf misst. Bei k = ±1 verschmelzen beide Punkte zu einem einzigen. Fällt eine Lösung exakt auf eine Intervallgrenze, zählt sie nur mit, wenn dort ≤ statt < steht.

Division durch sin x löscht Lösungen 🖖

2 sin x cos x = sin x verleitet dazu, durch sin x zu kürzen. Es bliebe 2 cos x = 1 mit den Lösungen 60° und 300° zwischen 0° und 360°. Doch diese Division setzt sin x ≠ 0 voraus. Bei 0°, 180° und 360° ergeben beide Seiten 0; diese drei Winkel lösen die Gleichung also ebenfalls, wurden durch das Teilen jedoch weggeworfen. Ausklammern bewahrt sie: Aus sin x (2 cos x − 1) = 0 folgt sin x = 0 oder cos x = 1/2 – fünf Lösungen statt zwei. Teilen ist nur dann unbedenklich, wenn die Nullstellen des Divisors keine Lösungen sein können. Bei √3 sin x = cos x ist das der Fall: Gilt cos x = 0, so ist sin x = ±1 und die linke Seite ±√3. Die Division durch cos x zum Zwischenschritt tan x = 1/√3 kostet hier also keine Lösung.

Lernpfad

Trigonometrische Identitäten und Gleichungen

Quellen (1)

Solving trigonometric equations on an interval and in general (adding 2πk to an initial solution), with multiple angles such as sin 2x, equations in quadratic form, and fundamental identities used first: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.5, “Solving Trigonometric Equations”.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.