Fermi-Abschätzung

Bilde eine Kette aus groben Schätzungen und gib an, wie falsch jede einzelne sein könnte. Das Werkzeug zeigt, wie verlässlich das Ergebnis nach allgemeiner Erwartung sein sollte und wie verlässlich es tatsächlich ist.

Rechenbeispiel — Fermi-Abschätzung

Schätzwert	100
Meistens innerhalb	×2,8
Typische Abweichung	×2
Schlechtester Fall (gleiche Abweichungsrichtung)	×46

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Der schlechteste Fall ist 729. Das Ergebnis ist 2,85. 🖖

Setze sechs Faktoren jeweils auf ×3 und lies den schlimmsten Fall sowie die typische Abweichung direkt nebeneinander ab. Der schlimmste Fall, bei dem jede Schätzung in dieselbe Richtung abweicht, ergibt 3⁶ = 729. Die typische Abweichung beträgt 2,85, und in 86 % der Fälle landest du innerhalb eines Faktors von zehn. Diese Kluft macht die gesamte Methode aus. Fermis eigene Kette ist sogar noch straffer. Er kannte Chicagos Einwohnerzahl schlicht besser als die Anzahl der Haushalte, die ein Klavier besitzen. Seine Rechnung landet bei 100 Klavierstimmern mit einer Schwankungsbreite von 2,8 und bleibt in 98 % der Fälle innerhalb eines Faktors von zehn. Sechs Zahlen, keine davon nachgeschlagen, und doch eine Antwort, die für eine fundierte Diskussion ausreicht.

Multiplizieren ist Addieren, sobald man logarithmiert 🖖

Fehler in einem Produkt schaukeln sich nicht auf, denn Zahlen zu multiplizieren bedeutet, ihre Logarithmen zu addieren. Unabhängige Größen, die sich addieren, verbinden sich quadratisch. Die Streuung von n Faktoren wächst daher wie √n und nicht wie n. Sechs Faktoren sind 2,4-mal so unsicher wie einer, nicht sechsmal. Das bedeutet: Das Hinzufügen eines siebten Faktors verbessert die Abschätzung pro Faktor. Ändere die Kettenlänge in den Voreinstellungen und beobachte, wie die Bandbreite viel langsamer wächst als der danebenstehende schlechteste Fall.

Wo das Verfahren scheitert und warum Drake das berühmte Beispiel ist 🖖

Klick auf Wenn das System versagt. Fünf Faktoren bei ×3 und einer bei ×10.000. Das entspricht in etwa dem, was die Drake-Gleichung bezüglich der Sendedauer einer Zivilisation von dir verlangt. Die Bandbreite steigt auf ×246, die Wahrscheinlichkeit, innerhalb eines Faktors von zehn zu landen, fällt auf 32%. Die Anteilsspalte weist dieser einen Zeile 93% der Unsicherheit zu. Die Fehleraufhebung erfordert begrenzte Fehler. Du kennst die Einwohnerzahl Chicagos tatsächlich auf 50% genau. Ein zu hoher Wert bei einem Faktor und ein zu niedriger bei einem anderen bringen dir also einen Vorteil. Niemand kennt den letzten Drake-Faktor auf vier Größenordnungen genau. Es gibt nichts, womit er sich ausgleichen könnte, und √n hilft nicht weiter. Die Seite zur Drake-Gleichung nennt die andere Hälfte dieses Prinzips: Ein Produkt bricht an seinem schwächsten Glied zusammen.

Aufgaben vollständig gelöst

Liter Wasser, die eine Stadt von 500.000 in einem Jahr trinkt 7 Schritte
Wie viele Liter Wasser trinkt eine Stadt mit 500.000 Einwohnern im Jahr? Schätze jede einzelne Zahl. Rechne danach aus, welchen Preis du für dieses Schätzen zahlst.
1. Beginne mit der Kette. Nur Trinkwasser, keine Duschen: etwa 2 Liter pro Person und Tag, 365 Tage, eine halbe Million Menschen.
  
  $2 \times 365 \times 500, 000 = 365, 000, 000$
2. Dreihundertfünfundsechzig Millionen Liter. Wie stark darf jeder Faktor abweichen? Die Einwohnerzahl stammt aus einer Volkszählung, also nehmen wir ×1,2. Die 2 Liter sind eine echte Schätzung. Manche trinken 3, andere 1,3. Hier rechnen wir mit ×1,5. Die Tage im Jahr sind exakt.
  
  $σ_{i} = \frac{ln k _{i}}{3} : \frac{ln 1.5}{3} = 0.234, \frac{ln 1.2}{3} = 0.105$
3. Jeder um ×k unsichere Faktor steuert ln(k)/√3 zur Streuung des Logarithmus bei. Unabhängige Beiträge addieren sich quadratisch.
  
  $σ = 0.23 4^{2} + 0.10 5^{2} = 0.257$
4. Eine Standardabweichung entspricht einem Faktor von 1,3. Die ehrliche Antwort liegt also bei etwa 365 Millionen Litern. Du wärst ziemlich überrascht, wenn du um mehr als etwa 30 % danebenliegen würdest.
  
  $e^{0.257} = 1.29$
5. Vergleiche das mit der naiven Befürchtung. Wenn beide Schätzungen in dieselbe Richtung abweichen, lägest du bei 1,2 × 1,5 = 1,8. Die tatsächliche Streuung liegt bei 1,3. Genau dieser Unterschied ist der einzige Grund, warum sich Schätzen überhaupt lohnt.
  
  $1.2 \times 1.5 = 1.8 vs 1.29$
6. Das √n-Argument setzt voraus, dass die Fehler unabhängig sind. Schätzt du die Einwohnerzahl anhand einer veralteten Angabe und nutzt dieselbe Zahl dann, um die Menge der Haushalte zu bestimmen, machst du ein und denselben Fehler doppelt. Er hebt sich nicht auf.
  
  $σ_{tot} = \sum σ_{i}^{2} ⟸ Cov (i, j) = 0$
7. Genau das ist die Fehlerquelle, die eine Fermi-Rechnung von innen heraus nicht erkennen kann. Aus diesem Grund verlangt die Methode nach Parametern aus ganz unterschiedlichen Bereichen. Eine Volkszählung, ein physiologischer Richtwert, ein Kalender. Drei Quellen, die unabhängig voneinander falsch sein können. Eine einzige Quelle, die dreimal genutzt wird, sieht auf dem Papier völlig identisch aus. Sie liefert dir allerdings eine Bandbreite, die reine Fiktion ist.
  
  $n σ ⟶ n σ (ρ = 1)$
Antwort

Etwa 365 Millionen Liter, und du weichst wahrscheinlich nicht um mehr als 30 % ab. Der schlimmste Fall lag bei 1,8, die tatsächliche Bandbreite liegt bei 1,3. Der Abstand zwischen diesen beiden Zahlen ist die Methode. Die einzige Sache, die das Werkzeug nicht für dich überprüfen kann, ist die Frage, ob deine Schätzungen wirklich unabhängig waren.
Herzschläge in einem Leben, und ob eine Maus wirklich weniger bekommt 7 Schritte
Rechne aus, wie oft ein menschliches Herz in einem Leben schlägt und wie breit das Band um diese Antwort ist. Entscheide dann, ob eine Maus wirklich weniger Schläge bekommt als ein Mensch oder nur so aussieht.
1. Fünf Zeilen, in beliebiger Reihenfolge multipliziert. 70 Schläge pro Minute über 78 Jahre ergeben etwa 2,9 × 10⁹.
  
  $70 \times 60 \times 24 \times 365 \times 78 = 2, 869, 776, 000 \approx 2.9 \times 1 0^{9}$
2. Nur zwei der fünf Zeilen können falsch sein. Minuten in einer Stunde, Stunden an einem Tag und Tage in einem Jahr sind Definitionen, und die Anteilsspalte gibt jeder davon 0 % des Zweifels, während Herzfrequenz und Lebensdauer je 50 % nehmen. Fünf Zeilen mit der Unsicherheit von zweien.
  
  $σ_{i} = \frac{ln 1.2}{3} = 0.105 (\times 2), σ = 0.105 2 = 0.149$
3. Eine Standardabweichung ergibt einen Faktor von 1,16, den das Feld auf ×1,2 rundet. Gehen beide Schätzungen zugleich in dieselbe Richtung daneben, ergibt das ×1,4, und weil jede als Schranke und nicht als Tendenz angegeben wurde, ist das eine Wand und kein Ausläufer.
  
  $e^{0.149} = 1.16, 1.2 \times 1.2 = 1.44$
4. Die Antwort liegt also zwischen 2,0 und 4,1 Milliarden und nirgendwo sonst.
  
  $[\frac{2.87 \times 1 0 ^{9}}{1.44}, 2.87 \times 1 0^{9} \times 1.44] = [1.99 \times 1 0^{9}, 4.13 \times 1 0^{9}]$
5. Nun dieselben fünf Zeilen für zwei andere Tiere: die drei Definitionen unverändert, zwei neue Schätzungen. Eine Maus mit 600 Schlägen pro Minute und 2 Jahren Leben, ein Elefant mit 30 Schlägen pro Minute und 60.
  
  $600 \cdot 60 \cdot 24 \cdot 365 \cdot 2 = 6.3 \times 1 0^{8}, 30 \cdot 60 \cdot 24 \cdot 365 \cdot 60 = 9.5 \times 1 0^{8}$
6. Die beiden Schätzungen für den Elefanten sitzen lockerer als die menschlichen, gib ihnen also je ×1,5. Sein Bereich reicht dann bis 2,1 × 10⁹, und der menschliche Bereich beginnt bei 2,0 × 10⁹. Die beiden berühren sich, und der Vergleich entscheidet nichts.
  
  $k = 1.5 : [\frac{9.5 \times 1 0 ^{8}}{2.25}, 9.5 \times 1 0^{8} \times 2.25] = [4.2 \times 1 0^{8}, 2.1 \times 1 0^{9}]$
7. Zieh sie an. Eine Herzfrequenz und eine Lebensdauer sind beide messbar, ×1,2 ist für ein Tier, das jemand untersucht hat, also ehrlich, und der Elefant reicht dann höchstens bis 1,4 × 10⁹ gegen einen menschlichen Boden von 2,0 × 10⁹. Jetzt trennen sich die Bereiche.
  
  $k = 1.2 : [\frac{9.5 \times 1 0 ^{8}}{1.44}, 9.5 \times 1 0^{8} \times 1.44] = [6.6 \times 1 0^{8}, 1.4 \times 1 0^{9}]$
Antwort

Etwa 2,9 × 10⁹ Schläge, mit einem ehrlichen Bereich von 2,0 bis 4,1 × 10⁹. Drei der fünf Zeilen sind Definitionen und tragen nichts vom Zweifel, weshalb sich fünf Faktoren hier wie zwei verhalten. Ein Mensch bekommt tatsächlich mehrfach so viele Schläge wie eine Maus oder ein Elefant, aber die Schätzung sagt das erst, wenn die tierischen Schätzungen auf ×1,2 angezogen sind. Bei ×1,5 überlappen sich die Bereiche und der Abstand zwischen den beiden Punktschätzungen bedeutet nichts, und das ist die Frage, die man an je zwei Schätzungen stellen sollte, bevor man dem Unterschied zwischen ihnen glaubt.

$σ = \sum_{i} σ_{i}^{2}, σ_{i} = 0 ⟺ k_{i} = 1$

Lernpfad

Größenordnungen

Quellen (2)

Why independent errors combine in quadrature rather than accumulating Taylor, J. R. (1997). An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements (2nd ed.). University Science Books — Chapter 3, on propagation for products and quotients.
The piano-tuner problem itself Weinstein, L. and Adam, J. A. (2008). Guesstimation: Solving the World's Problems on the Back of a Cocktail Napkin. Princeton University Press.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-25

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Beispielaufgaben

Klavierstimmer in Chicago - Fermis eigene Kette. Keine einzige Zahl darin wurde nachgeschlagen. Sie landet bei 100 Stimmern, und die ehrliche Bandbreite ist ein Faktor von 2,8. Ein echtes Ergebnis aus sechs Schätzungen.
Herzschläge im Leben - Jeder Faktor hier ist auf 20% oder besser bekannt. Die Streuung verschwindet fast. Das Ergebnis lautet 2,9 Milliarden Schläge, und du liegst innerhalb eines Faktors von 1,2 darum.
Wenn das System versagt - Fünf Faktoren bei ×3 und einer bei ×10.000. Die Bandbreite explodiert auf ×246, und die Chance, innerhalb eines Faktors von zehn zu landen, fällt auf 32%. Genau das ist das Problem der Drake-Gleichung. Keine noch so große Durchschnittsbildung kann es beheben.