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Potenzgesetze, und warum a⁰ gleich 1 ist

Wähle eine Basis und zwei Exponenten. Die drei Potenzgesetze werden nebeneinander durchgerechnet. Die Leiter unten zeigt, woher a⁰ und a⁻ⁿ kommen. Du kannst eine andere Zahl auf die nullte Sprosse setzen und beobachten, wie die Spalte aufhört, eine Leiter zu sein.

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Niemand hat beschlossen, dass a⁰ gleich 1 ist 🖖

Klick auf Angenommen 2⁰ = 7. Die Potenzen von 2 verlaufen in einer Spalte über 8, 4, 2, dann folgt eine Lücke, dann 1/2, 1/4, 1/8. Jeder einzelne Schritt nach unten teilt durch 2. Setzt du die 7 in diese Lücke, zerbrechen gleich zwei Schritte auf einmal: Der Sprung hinein teilt durch 2/7, der Sprung heraus durch 14. Nur eine einzige Zahl lässt alle Schritte gleich groß. Probier die anderen Schalter aus, ändere die Basis auf 10 oder auf 20 — es ist jedes Mal 1. Ein Test von neun möglichen Werten gegen alle zwanzig Basen findet in allen zwanzig exakt einen Gewinner. Schau nun unter die Lücke, wo dieselbe Division einfach weitergeht: 1/2, dann 1/4, dann 1/8. Es wurde dort keine zweite Regel eingeführt, und es war auch keine nötig. Genau das ist alles, was ein negativer Exponent bedeutet.

Drei Gesetze im Lehrbuch, eine Idee auf dem Papier 🖖

Die oberste Zeile schreibt 2³ × 2² als Faktoren aus, denn genau das ist das gesamte Argument: Drei 2er neben zwei 2ern ergeben fünf 2er. Bei der Division kürzen sie sich weg, anstatt sich anzusammeln, also werden die Exponenten subtrahiert. Das Potenzieren einer Potenz zählt das Zählen, also werden sie multipliziert. Wirklich nützlich wird das erst jenseits des Sichtbaren. Setze m und n negativ, und „zähle die a“ verliert völlig an Bedeutung. Dennoch gelten alle drei Gesetze weiterhin. Sie gelten für die Basen 2 bis 12 und die Exponenten von −6 bis 6 in jedem einzelnen der 5.229 Zustände, in denen beide Seiten exakt berechenbar bleiben. Das Zählen rechtfertigt die Regel für ganze Zahlen, und die Regel diktiert dir dann, was in den Fällen gelten muss, die du nicht mehr zeichnen kannst.

Die einzige Ecke, an der die Zwangsläufigkeit endet 🖖

Klick auf Basis null. Zwei der drei Gesetze gelten weiterhin: 0³ × 0² ist 0⁵ und (0³)² ist 0⁶. Das Ergebnis ist stets 0. Die Divisionszeile liefert überhaupt keine Antwort. 0³ ÷ 0² verlangt nämlich die Rechnung 0 ÷ 0. Hier zeigt sich zum ersten Mal der Widerspruch, der die Leiter weiter unten blockiert. Die Spalte wandert als 0, 0, 0 nach unten und hält an. Jeder Schritt auf diesem Weg war eine Division, doch dieser hier teilt durch 0. Das Argument, das a⁰ zwingend zu 1 macht, erreicht diese Stufe also nie. Zwei völlig korrekte Regeln treffen in dieser Ecke mit unterschiedlichen Ergebnissen aufeinander. a⁰ = 1 gilt für jede Basis außer 0. 0ⁿ = 0 gilt für jeden Exponenten außer 0. Näherst du dich der Ecke auf der einen Achse, strebt xᵞ gegen 1. Auf der anderen Achse nähert sich der Wert der 0. Ein Grenzwert existiert folglich nicht. Meint ein Text also einen Grenzwert, lässt er das Symbol unangetastet. JavaScript und Python liefern beide 1 als Antwort. Ein leeres Produkt ist schließlich 1, und auch der binomische Lehrsatz benötigt an der Stelle x = 0 für x⁰ zwingend die 1. Sonst funktioniert er nicht. Niemand arbeitet hier unsauber. Man weist dieser Ecke schlichtweg verschiedene Aufgaben zu.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Was ist a½ und wer hat das entschieden? Das Werkzeug rechnet nur mit ganzzahligen Exponenten. Die Regel, die a⁰ erzwingt, macht dort allerdings nicht halt. Finde also heraus, welche Bedeutung sie für ein Halb zwingend vorgibt.

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    1. Geh von dem Rechengesetz aus, das das Werkzeug in seiner dritten Zeile zeigt, und prüfe es an einem Fall, den du direkt sehen kannst: Potenzierst du eine Potenz, so multiplizieren sich die Exponenten.

    2. Setze nun in dasselbe Gesetz den Exponenten ein Halb ein, mit einer äußeren Potenz von 2. Die rechte Seite fällt auf a¹ zusammen, was genau a ergibt.

    3. Lies genau, was das bedeutet. a½ ist eine Zahl, deren Quadrat a ist — was genau einer Quadratwurzel entspricht. Nichts davon wurde neu definiert. Das Gesetz ließ schlicht keinen Raum für etwas anderes.

    4. Derselbe Schritt legt jede weitere Wurzel fest. Eine äußere Potenz von 3 liefert eine Zahl, deren dritte Potenz a ergibt.

    5. Und er klärt auch die gemischten Exponenten ohne eine weitere Regel. 16 hoch drei Halbe ist entweder die dritte Potenz der Quadratwurzel oder die Quadratwurzel der dritten Potenz, und das Gesetz besagt, dass beide übereinstimmen: 4³ und √4096 ergeben beide 64.

    6. Wo das Ganze aufhört, ist nicht die Algebra, sondern die Wahl der Wurzel. −8 besitzt eine reelle dritte Wurzel von −2, hat daneben aber auch zwei komplexe. Frag drei Maschinen und du bekommst drei Antworten: −2 aus der reellen Konvention, NaN von JavaScript und 1 + i√3 von Python, das stattdessen den Hauptwert zieht.

    Antwort

    a^(1/q) wird durch exakt jenes Gesetz zu einer q-ten Wurzel gezwungen, das auch a⁰ = 1 vorschreibt. Nirgendwo zwischen den ganzen Zahlen und den Brüchen wird eine neue Definition eingeführt — deshalb befolgen gebrochene Exponenten jede einzelne Regel, die auch für die ganzen Zahlen gilt. Was tatsächlich frei gewählt wird, ist die Frage, welche q-te Wurzel du meinst, wenn eine Zahl mehrere besitzt. Genau diese Wahl macht die gesamte Uneinigkeit über (−8)^(1/3) aus. Für eine positive Basis existiert genau eine positive Wurzel und es gibt keinen Diskussionsbedarf. Aus diesem Grund geben Lehrbücher die Regel für gebrochene Exponenten für a > 0 an und verlagern den negativen Fall in ein Kapitel über komplexe Zahlen.

Quellen (2)

· Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.