Wurfbewegungs-Simulator

Parabelbahn mit Live-Animation

Startwerte — Wurfbewegungs-Simulator

Abwurfgeschwindigkeit (v₀)	20
Abwurfwinkel (θ)	45
Abwurfhöhe (h)	0

Ändere oben einen Regler, und die Ergebnisse werden neu berechnet.

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Fünfundvierzig Grad gewinnen nur auf ebenem Boden 🖖

Der schiefe Wurf ist die kinematische Analyse eines Objekts in einem Gravitationsfeld mit konstanter Beschleunigung g nach unten. Ohne Luftwiderstand bleibt die horizontale Geschwindigkeit konstant, während die vertikale Bewegung gleichmäßig beschleunigt wird, was zu einer Parabelbahn führt. Die maximale Reichweite liegt bei 45°.

Zwei Bewegungen in einer 🖖

Ein Wurfgeschoss macht in Wirklichkeit zwei unabhängige Dinge gleichzeitig: Es driftet mit gleichbleibender Geschwindigkeit zur Seite und fällt zugleich unter der Schwerkraft. Keine der beiden beeinflusst die andere — daraus folgt ein berühmtes Ergebnis: Eine waagerecht abgefeuerte Kugel und eine einfach fallen gelassene treffen aus gleicher Höhe im selben Augenblick auf dem Boden auf. Ändere hier die Abschussgeschwindigkeit und beobachte, wie die seitliche Reichweite wächst, während die Flugzeit allein an der Vertikalbewegung hängt.

Über dem Boden verliert 45° 🖖

Die berühmte 45°-Regel für die maximale Reichweite gilt nur, wenn Abschuss und Landung auf gleicher Höhe liegen. Kommt eine Abschusshöhe h hinzu, sinkt der beste Winkel unter 45° und folgt θ = arctan(v / √(v² + 2gh)). Wirfst du einen Ball von einer Klippe, fliegt er weiter, wenn du etwas flacher als 45° zielst — schiebe den Höhenregler hoch und suche das echte Optimum.

WURFPARABELN — DER WINKEL ENTSCHEIDET ALLES AUSSER DEM, WAS DIE GESCHWINDIGKEIT ENTSCHEIDET

Welchen Abwurffall löst du?

Waagerechte und senkrechte Bewegung sind unabhängig: seitwärts konstante Geschwindigkeit, nach unten konstante Beschleunigung. Alles Weitere folgt aus dieser Trennung. Auf gleicher Höhe gilt R = v²sin(2θ)/g, mit dem Maximum bei 45° und paarweise gleichen Winkeln beiderseits davon. Wirft man aus der Höhe, bricht diese Symmetrie, und der beste Winkel sinkt unter 45°.

45° auf ebenem Boden — die maximale Weite R = v²/g at θ = 45°

Komplementärwinkel — zwei Wege zum selben Punkt R = v²sin(2θ)/g

Senkrecht nach oben — nur Höhe, keine Weite h = v²/2g, R = 0

Abwurf aus der Höhe — die Symmetrie bricht h > 0 ⇒ θ_opt < 45°

45° auf ebenem Boden — die maximale Weite

Was du weißt: Abwurf und Landung liegen auf derselben Höhe, und du willst möglichst weit werfen. sin(2θ) ist am größten, wenn 2θ = 90° ist.

Wurfweite: R = v²/g at θ = 45°

Rechenbeispiel: v = 20 m/s bei 45° → R = v²/g = 400/9,81 = 40,8 m, das Weiteste, was diese Geschwindigkeit schafft

Diesen Fall öffnen: 45° max. Reichweite

45° auf ebenem Boden — die maximale Weite. Bei 45° halten sich Flugzeit und Horizontalgeschwindigkeit die Waage, die Weite ist maximal. Abwurf und Landung liegen auf derselben Höhe, und du willst möglichst weit werfen. sin(2θ) ist am größten, wenn 2θ = 90° ist. — Bei 45° halten sich Flugzeit und Horizontalgeschwindigkeit die Waage, die Weite ist maximal.

Komplementärwinkel — zwei Wege zum selben Punkt

Was du weißt: Jeder Winkel θ und sein Komplement 90° − θ liefern auf ebenem Boden dieselbe Weite, denn sin(2θ) = sin(180° − 2θ).

Wurfweite: R = v²sin(2θ)/g

Rechenbeispiel: v = 20 m/s bei 30° → 35,3 m; bei 60° → wieder 35,3 m. Der flache Wurf dauert 2,0 s, der hohe 3,5 s

Diesen Fall öffnen: 30°

Komplementärwinkel — zwei Wege zum selben Punkt. Zwei Bahnen, ein Landepunkt: 30° und 60° ergeben dieselbe Weite in verschiedener Höhe. Jeder Winkel θ und sein Komplement 90° − θ liefern auf ebenem Boden dieselbe Weite, denn sin(2θ) = sin(180° − 2θ). — Zwei Bahnen, ein Landepunkt: 30° und 60° ergeben dieselbe Weite in verschiedener Höhe.

Senkrecht nach oben — nur Höhe, keine Weite

Was du weißt: θ = 90°, die waagerechte Komponente ist also null. Alles, was der Abwurf mitgab, geht ins Steigen und Zurückfallen.

Wurfweite: h = v²/2g, R = 0

Rechenbeispiel: v = 20 m/s senkrecht → maximale Höhe v²/2g = 20,4 m, Weite 0, und der Ball kommt mit 20 m/s zurück in die Hand

Diesen Fall öffnen: 90° senkrecht nach oben

Senkrecht nach oben — nur Höhe, keine Weite. Senkrechter Abwurf: Die Bahn schrumpft zur Linie, die Weite verschwindet. θ = 90°, die waagerechte Komponente ist also null. Alles, was der Abwurf mitgab, geht ins Steigen und Zurückfallen. — Senkrechter Abwurf: Die Bahn schrumpft zur Linie, die Weite verschwindet.

Abwurf aus der Höhe — die Symmetrie bricht

Was du weißt: Der Landepunkt liegt unter dem Abwurfpunkt, der Flug ist also nicht mehr symmetrisch und die 45°-Regel gilt nicht mehr.

Wurfweite: h > 0 ⇒ θ_opt < 45°

Rechenbeispiel: v = 22 m/s bei 35° aus 18 m Höhe → 3,6 s in der Luft und 65 m weit; der optimale Winkel liegt hier bei 37,2°, nicht bei 45°

Diesen Fall öffnen: von einer Klippe

Abwurf aus der Höhe — die Symmetrie bricht. Zusätzliche Höhe kauft zusätzliche Flugzeit, also gewinnt der flachere Wurf. Der Landepunkt liegt unter dem Abwurfpunkt, der Flug ist also nicht mehr symmetrisch und die 45°-Regel gilt nicht mehr. — Zusätzliche Höhe kauft zusätzliche Flugzeit, also gewinnt der flachere Wurf.

Aufgaben vollständig gelöst

Ein Ball, geworfen mit 20 m/s und 45° von ebenem Boden 5 Schritte
Ein Ball wird mit 20 m/s unter 45° auf ebenem Boden abgeschossen. Bestimmen Sie, wie lange er in der Luft bleibt und wie weit entfernt er landet — bestimmen Sie dann, was ein Zielfehler von 5° kostet; das ist die Frage, die darüber entscheidet, ob sich 45° überhaupt lohnen.
1. Zerlegen Sie den Wurf in zwei Bewegungen, die völlig unabhängig voneinander verlaufen. Die Schwerkraft wirkt nur nach unten, sodass die Horizontalgeschwindigkeit beim Landen dieselbe ist wie beim Start, und 45° ist der einzige Winkel, bei dem die beiden Komponenten zu Beginn gleich groß sind.
  
  $v_{x} = v_{0} cos θ = 20 cos 4 5^{\circ} = 14.142 m/s, v_{y} = v_{0} sin θ = 14.142 m/s$
2. Der Flug endet, wenn die Höhe wieder Null erreicht, und nur die Vertikalbewegung ist dafür maßgeblich. Aufstieg und Abstieg dauern auf ebenem Boden gleich lang, sodass die gesamte Flugdauer das Doppelte der Zeit bis zum Scheitelpunkt beträgt.
  
  $y (t_{f}) = 0 : t_{f} = \frac{2 v _{y}}{g} = \frac{2 ( 14.142 )}{9.81} = 2.8832 s$
3. Die horizontale Distanz ergibt sich aus einer konstanten Geschwindigkeit über diese Flugdauer. Durch Einsetzen der Komponenten vereinfacht sich alles auf den doppelten Winkel, und da sin 2θ unverändert bleibt, wenn θ durch 90° − θ ersetzt wird, landet der Ball bei einem Abwurfwinkel von 30° wie auch bei 60° jeweils bei 35,312 m.
  
  $R = v_{x} t_{f} = 14.142 \times 2.8832 = 40.775 m = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g} = \frac{400}{9.81}$
4. Der Scheitelpunkt ergibt sich allein aus der Vertikalkomponente, die durch die Schwerkraft bis zum Stillstand abgebremst wird. Bei 45° erreicht er genau ein Viertel der Wurfweite als Höhe, und dieses Viertel gilt bei 45° für jede beliebige Abwurfgeschwindigkeit.
  
  $y_{m a x} = \frac{v _{y}^{2}}{2 g} = \frac{200}{19.62} = 10.194 m = \frac{R}{4}$
5. Nun zum Zielfehler. sin 2θ ist bei 45° stationär, sodass eine Abweichung um 5° ein Fehler zweiter Ordnung ist und auf 40,775 m lediglich 62 cm kostet. Dieselbe Abweichung um 5° bei 30° ist erster Ordnung und verändert die Wurfweite um 8,5 %, was etwa 3 m entspricht.
  
  $\frac{R ( 5 0 ^{\circ} )}{R ( 4 5 ^{\circ} )} = sin 10 0^{\circ} = 0.9848 (- 0.62 m), \frac{R ( 3 5 ^{\circ} )}{R ( 3 0 ^{\circ} )} = \frac{sin 7 0 ^{\circ}}{sin 6 0 ^{\circ}} = 1.085$
Antwort

Das Werkzeug liefert 2,8832 s Flugzeit, eine Wurfweite von 40,775 m und eine Scheitelhöhe von 10,194 m. Die letzten beiden Werte stehen in einem Verhältnis von genau 4, und sie bleiben bei 45° unabhängig von der Geschwindigkeit in diesem Verhältnis — eine 45°-Trajektorie ist immer vier-mal so breit wie hoch, sodass es nur eine Form gibt und sich lediglich die Größe ändert. Schritt 5 ist der entscheidende Punkt: Das Maximum ist flach, weshalb sich 45° als Faustregel hält, die niemand genau prüft. Die Flachheit schneidet jedoch nach beiden Seiten, denn ein flaches Maximum ist schwer zu finden — wer den besten Winkel durch Ausprobieren sucht, erhält einen breiten Bereich von Winkeln, die alle gleich gut erscheinen.

$R = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g}, \frac{R}{y _{m a x}} = 4 (θ = 4 5^{\circ})$
Der Winkel, der aus 18 m Höhe am weitesten trägt 7 Schritte
Die Tafel löst den Wurf, den du ihr gibst: 35° aus 18 m Höhe tragen 64,764 m. Ob 35° überhaupt eine gute Wahl war, sagt sie nicht. Finde den Winkel, der von dieser Klippe am weitesten trägt — und frage dann, wie viel die Antwort wirklich wert ist.
1. Zerlege den Abwurf. Alles nach dieser Zeile ist eine konstante Horizontalgeschwindigkeit und ein freier Fall, der zufällig 18 m über dem Aufschlagboden beginnt.
  
  $v_{x} = v_{0} cos θ = 22 cos 3 5^{\circ} = 18.021 m s^{- 1}, v_{y} = v_{0} sin θ = 22 sin 3 5^{\circ} = 12.619 m s^{- 1}$
2. Der Flug endet, wenn die Höhe wieder null erreicht — eine quadratische Gleichung in t. Nimm die positive Wurzel; die andere wäre der Zeitpunkt, zu dem der Körper den Boden verlassen hätte, wäre er dort gestartet.
  
  $h + v_{y} t - \frac{1}{2} g t^{2} = 0 ⟹ t_{f} = \frac{v _{y} + v _{y}^{2} + 2 g h}{g} = \frac{12.619 + 159.24 + 353.16}{9.81} = 3.5938 s$
3. Die Weite ist die Horizontalgeschwindigkeit mal die gesamte Flugzeit, denn horizontal wirkt überhaupt nichts. Drei der bisherigen vier Zahlen stehen oben auf der Tafel.
  
  $R = v_{x} t_{f} = 18.021 \times 3.5938 = 64.764 m$
4. Der Scheitel liegt dort, wo die Vertikalgeschwindigkeit aufgebraucht ist, und die Klippe hebt das Ganze nur an: 18 m Vorsprung plus genau der Anstieg, den ein Abwurf vom Boden geschafft hätte.
  
  $y_{m a x} = h + \frac{v _{y}^{2}}{2 g} = 18 + \frac{159.24}{19.62} = 26.116 m$
5. Nun die Frage, die die Tafel nicht beantwortet. Schreibe die Weite als Funktion allein des Winkels, bei festem v₀ und h. Die Flugzeit hängt jetzt ebenfalls von θ ab — genau deshalb ist das nicht die handliche Meereshöhen-Formel.
  
  $R (θ) = \frac{v _{0} cos θ}{g} (v_{0} sin θ + v_{0}^{2} sin^{2} θ + 2 g h)$
6. Ableiten und null setzen. Alles fällt zu einer einzigen Bedingung an sin θ zusammen, und die Klippe geht nur über die dimensionslose Größe 2gh/v₀² ein. Setzt man h = 0, kommt sin θ = 1/√2 heraus, die vertrauten 45°. Hier kommen 37,248° heraus.
  
  $\frac{d R}{d θ} = 0 ⟹ sin θ^{*} = \frac{1}{2 + 2 g h / v _{0}^{2}} = \frac{1}{2.72967} = 0.60526 ⟹ θ^{*} = 37.24 8^{\circ}$
7. Stelle nun die drei Winkel nebeneinander und lies die Größenordnungen, nicht bloß die Reihenfolge.
  
  $R (37.24 8^{\circ}) = 64.887, R (3 5^{\circ}) = 64.764, R (4 5^{\circ}) = 63.355 (m)$
Antwort

Der beste Winkel von dieser Klippe ist 37,248°, und das Nachzielen ist bei einem 65-m-Wurf 12 cm wert. Das ist die eigentliche Lehre, und sie steckt nicht im Optimum selbst: ein Maximum ist flach, also kostet ein Fehler von 2,2° fast nichts. Teuer ist das falsche Modell — 45° ist nur vom Boden aus optimal, und hier verschenkt es 1,532 m, das Zwölffache des Zielfehlers. Erhöhe die Klippe, und θ* sinkt weiter; im Grenzfall einer sehr hohen Klippe ist der weiteste Wurf beinahe waagerecht.

$sin θ^{*} = (2 + \frac{2 g h}{v _{0}^{2}})^{- 1/2} ⟹ θ^{*} = 37.24 8^{\circ}; R^{*} - R (3 5^{\circ}) = 0.123 m, R^{*} - R (4 5^{\circ}) = 1.532 m$

Lernpfad

Wurfbewegungen

Führt zu Luftwiderstand und Wind den zweidimensionalen Fall, in dem diese Bedingung weiterhin gilt.

Quellen (1)

Insight block 2 stacks two motions. Arriving at that decomposition took Galileo most of a career: S. Drake, "Galileo’s Discovery of the Parabolic Trajectory", in Essays on Galileo and the History and Philosophy of Science, 160–170. University of Toronto Press, 1999.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

45° max. Reichweite - v=20 m/s, θ=45°, h=0 → Reichweite≈40.8 m (Maximum für diese Geschwindigkeit)
30° - v=20 m/s, θ=30° → Reichweite≈35.3 m (gleich wie bei 60° aus Symmetriegründen)
60° - v=20 m/s, θ=60° → Reichweite≈35.3 m (gleich wie bei 30°)
90° senkrecht nach oben - v=20 m/s, θ=90° → senkrecht nach oben, Reichweite=0, maximale Höhe≈20.4 m
Flacher Schuss - v=55 m/s, θ=12° → flache Flugbahn, Reichweite≈125 m
von einer Klippe - v=22 m/s, θ=35°, h=18 m → Reichweite≈65 m, Flugzeit≈3.6 s