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Das Ziegenproblem

Ein Auto und einige Ziegen hinter geschlossenen Türen. Wähle eine Tür. Lass den Moderator andere öffnen und entscheide, ob du wechselst. Diese Seite berechnet die Chance für jede Tür aus der Regel des Moderators und seinem Zug. Sie simuliert Tausende von Partien, um das Ergebnis zu prüfen, oder lässt dich selbst spielen. Die Tabelle unten zeigt die Mathematik dahinter.

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Lektion

Die Theorie — Das Ziegenproblem

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter einer bestimmten Tür steht, nachdem der Moderator gehandelt hat, folgt aus dem Satz von Bayes: Der Prior für diese Tür, 1 ÷ n, multipliziert mit der Likelihood, dass der Moderator genau das tun würde, was er tat, falls das Auto dort stünde, geteilt durch die Gesamtwahrscheinlichkeit seiner Handlung. Die Regel des Moderators bestimmt die Likelihoods. Daher können die gleichen geöffneten Türen unter verschiedenen Regeln zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. Beim Standardmoderator, der weiß, wo das Auto steht, und immer k zufällig ausgewählte Ziegentüren öffnet, gewinnt das Bleiben mit der Wahrscheinlichkeit 1 ÷ n, unabhängig davon, welche Türen er öffnet.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

n
die Anzahl der Türen
k
die Anzahl der Türen, die der Moderator öffnet
P(H | C_i)
die Likelihood: die Chance, dass der Moderator das tut, was er getan hat, falls das Auto hinter Tür i steht
P(C_i | H)
der Posterior: die Chance, dass das Auto hinter Tür i steht, nachdem man gesehen hat, was der Moderator getan hat

Wechseln gewinnt zwei von drei Mal 🖖

Klick auf Drei Türen. Du wählst Tür 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto dort steht, liegt bei eins zu drei. Nichts, was dieser Moderator tut, kann das ändern. Stünde das Auto hinter deiner Tür, würde er Tür 3 in der Hälfte der Fälle öffnen. Wenn er eine Wahl hat, entscheidet er zufällig. Sein Zug liefert also keine neuen Informationen über Tür 1. Er öffnet Tür 3 und zeigt eine Ziege. Die Zwei-zu-drei-Chance, dass das Auto hinter Tür 2 oder Tür 3 stand, liegt nun komplett auf Tür 2. Wechseln gewinnt somit 2 von 3 Mal. Klick auf 100 Türen und das Prinzip wird offensichtlich. Du hast eine von hundert Türen gewählt. Der Moderator öffnet 98 der restlichen Türen und zeigt dahinter Ziegen. Die einzige Tür, die er geschlossen lässt, ist die, zu der du wechseln solltest, und das 99 von 100 Mal. 1990 erklärte Marilyn vos Savant die Drei-Türen-Lösung in ihrer Parade-Kolumne. Sie erhielt Tausende Briefe, die ihr widersprachen, viele davon von promovierten Lesern verfasst.

Das gleiche Bild liefert eine andere Antwort, wenn der Moderator nichts wusste 🖖

Klick auf Ahnungsloser Moderator. Du siehst exakt das Gleiche wie zuvor: Tür 1 gewählt, Tür 3 offen, eine Ziege. Aber dieser Moderator hat zufällig eine Tür geöffnet und dabei glücklicherweise das Auto verfehlt. Nun gewinnen Bleiben und Wechseln jeweils 1 von 2 Mal. Die Wahrscheinlichkeit hängt von der Regel ab, die das Gesehene hervorgebracht hat, nicht nur von dem, was du siehst. Ein Moderator, der Bescheid weiß, eine Ziege zeigen muss und zufällig auswählt, wenn er kann, verrät dir nichts über deine eigene Tür. Die gesamte Wahrscheinlichkeit, die er von Tür 3 abzieht, geht auf Tür 2 über. Ein Moderator, der Tür 3 rein zufällig geöffnet hat, hätte dort genauso oft eine Ziege gezeigt, wenn das Auto hinter Tür 1 statt hinter Tür 2 stünde. Die Ziege bevorzugt also keines von beiden.

Welche Tür er öffnet, kann die ganze Antwort sein 🖖

Klick auf Voreingenommen: Tür 2. Dieser Moderator öffnet immer die Ziegentür mit der kleinsten Nummer. Er würde Tür 2 öffnen, ganz gleich, ob das Auto hinter Tür 1 oder Tür 3 steht. Sie zu sehen, bevorzugt also keine der beiden Optionen. Bleiben und Wechseln stehen bei 1 von 2. Klick auf Voreingenommen: Tür 3: Er hat Tür 2 übergangen. Das würde er nur tun, wenn das Auto dahinter stünde. Deshalb gewinnt Wechseln jedes Mal. Im Durchschnitt über alle Spiele hinweg, eine Hälfte in zwei Dritteln der Fälle und Gewissheit in einem Drittel der Fälle, gewinnt Wechseln immer noch 2 von 3 Mal. Die Monty-Hölle ist der Moderator, der dir nur dann einen Wechsel anbietet, wenn du das Auto bereits gefunden hast. Bekommst du ein Angebot, verliert das Wechseln ausnahmslos.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Die drei Türen, nach dem Satz von Bayes 4 Schritte

    Du wählst Tür 1. Der Moderator, der weiß, wo das Auto steht, und immer eine Ziegentür öffnet, wobei er zufällig wählt, wenn er die Wahl hat, öffnet Tür 3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 1 oder hinter Tür 2 steht. Klick auf Drei Türen, um das zu prüfen.

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    1. Bevor er handelt, ist jede Tür gleich wahrscheinlich:

    2. Wie wahrscheinlich ist es, dass er Tür 3 öffnet, für jeden möglichen Ort des Autos?

    3. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass er Tür 3 öffnet:

    4. Teile für jede Tür das Produkt aus Prior und Likelihood durch diese Summe:

    Antwort

    Das Auto steht mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 hinter Tür 1 und mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 hinter Tür 2. Die gesamte Antwort liegt im zweiten Schritt: Steht das Auto hinter Tür 2, ist er gezwungen, Tür 3 zu öffnen. Steht es jedoch hinter Tür 1, öffnet er Tür 3 nur in der Hälfte der Fälle. Sein Öffnen von Tür 3 ist also doppelt so wahrscheinlich, wenn das Auto hinter Tür 2 steht.

· Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.