Líneas de absorción y emisión

Ajusta la temperatura de la fuente, la del gas y la profundidad óptica para ver cómo la misma línea espectral se oscurece, brilla o desaparece.

Ejemplo resuelto — Líneas de absorción y emisión

Radiancia del continuo	2,24 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Radiancia propia del gas	7,55 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Transmitida a través del gas	8,25 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Emitida por el gas	4,77 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Radiancia observada de la línea	1,30 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Diferencia de radiancia	-1,49 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Contraste	-9,40 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Contraste, relativo al continuo	-41,9 %

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Líneas de absorción y emisión

Una línea espectral es una longitud de onda donde un gas absorbe y emite luz de forma mucho más intensa que en las longitudes vecinas. Pon este gas delante de un objeto y ocurrirán dos cosas a la vez: atenuará la luz que proviene de atrás mediante un factor e^−τ y aportará su propia luz. Lo que observas es la suma, I = I_sourcee^−τ + B(T_gas)(1 − e^−τ). Es la misma ecuación independientemente de si la línea acaba siendo oscura o brillante.

Qué significa cada símbolo

τ: profundidad óptica: cuánta luz de la que viene por detrás sobrevive al gas, expresada como e a la menos τ
B(T): el brillo que emite un cuerpo a temperatura T en esta longitud de onda

Supone: Una sola línea, una única capa de gas a una temperatura uniforme y equilibrio termodinámico local (el gas emite como un cuerpo a su propia temperatura). La atmósfera de una estrella real tiene una temperatura que varía con la profundidad. Esto es precisamente lo que da a las líneas reales su forma en lugar de una profundidad única.

Lo que hay detrás decide si es oscura o brillante 🖖

La página arranca con el Sol. Tiene una fuente a 5772 K, una nube de hidrógeno a 4500 K por delante, profundidad óptica de 1 y H-alfa a 656,28 nm. El indicador porcentual marca -41,9%. La línea es oscura. Arrastra el deslizador del gas hasta 8000 K. El indicador marca +127,0% y esa misma línea brilla ahora más que el continuo a ambos lados. Nada ha cambiado en el hidrógeno. Fraunhofer cartografió las líneas oscuras del Sol en 1814 sin lograr explicar qué eran. Kirchhoff sí pudo hacerlo en 1859. Las filas de abajo son su respuesta.

Las líneas oscuras del Sol revelan esto y nada más. El gas que las traza ronda los 4500 K. Es un calor capaz de fundir tungsteno, nuestro metal más resistente. Se ve oscuro sencillamente porque la fotosfera subyacente está aún más caliente. Vuelve a fijar el gas a 4500 K y baja la fuente a 4000 K. El valor es +53,4%. La nube que llamabas absorbente ahora resplandece y nadie la ha tocado.

A una temperatura concreta, la línea desaparece por completo 🖖

Hay una única temperatura del gas en la que la línea desaparece por completo: la de la propia fuente. Arrastra el deslizador del gas hasta alcanzarla en 5772 K, o pulsa la muestra de la línea desvanecida. La fila de contraste indica 0. La fila de contraste relativo bajo ella marca 0,0%. No es un residuo en el decimoquinto decimal. Tampoco es un valor demasiado pequeño para graficar. Es cero.

Seguirá siendo cero hagas lo que hagas. Sube τ a 5, un grosor suficiente para que la nube reemplace casi toda la luz trasera. Luego, recorre la longitud de onda por todo el rango desde 100 nm hasta 2000 nm. No aparece nada.

La ley de radiación térmica de Kirchhoff explica por qué. Un gas en equilibrio termodinámico local (la premisa sobre la que se asienta este modelo) emite en cada longitud de onda en proporción exacta a lo mucho que absorbe allí. Una sola temperatura gobierna ambos procesos. Iguala esa temperatura con la de la fuente. La nube devolverá exactamente lo que toma. Absorbe y emite con furia. El espectro que te llega no guarda ninguna prueba de su existencia.

La profundidad óptica dicta cuánto, nunca hacia dónde 🖖

Devuelve el gas a 4500 K bajo la fuente de 5772 K y mueve el deslizador de τ. En su mínimo, 0,01, el indicador marca -0,7%. En su tope de 5, marca -65,9%. El centro de la línea ha perdido dos tercios del brillo del continuo. Cualquier ajuste intermedio resulta negativo. La línea se hunde cada vez más. Jamás cruza el cero.

La profundidad óptica interviene en el contraste solo como el factor (1 − e^(−τ)). Es la fracción de luz de la fuente que la nube intercepta y reemplaza por la suya. Esta fracción sube desde casi nada hacia 1 y nunca se vuelve negativa. Escala el contraste, pero no puede tocar su signo. Las temperaturas dictan el signo.

Observa la cifra en lugar de la imagen mientras arrastras. El panel del espectro reescala la línea dibujada. La muesca más superficial y la más profunda se verán exactamente del mismo tamaño.

Problema resuelto al detalle

Qué profundidad alcanza la línea y lo frío que debe estar el gas 7 pasos
La luz abandona una fotosfera a 5772 K y cruza una capa de la propia atmósfera de esa estrella a 4500 K. Esta capa tiene un grosor de una profundidad óptica en H-alfa, a 656,28 nm en el aire. Calcula cuánto cae el núcleo de la línea bajo el continuo. Después, interpreta la misma física a la inversa. Una segunda estrella con idéntica superficie a 5772 K y la misma profundidad óptica muestra su núcleo H-alfa un 25,0% por debajo de su continuo. ¿A qué temperatura está el gas absorbente?

Abre este problema en la herramienta
1. La ley de Planck exige un exponente antes de nada. A una longitud de onda fija, ese exponente equivale a una constante dividida por una temperatura. A 656,28 nm, hc/λk da 21923,2 K. Por tanto, el exponente de la fuente es 21923,2/5772 = 3,7982. Introdúcelo en la fórmula. La radiancia del continuo será 2,24 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹. Esta es exactamente la cifra que imprime la fila Radiancia del continuo.
  
  $I_{0} = \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} ( e ^{h c / λk T_{0}} - 1 )} = \frac{1.19104 \times 1 0 ^{- 16}}{( 6.5628 \times 1 0 ^{- 7} ) ^{5} ( e ^{3.7982} - 1 )} = 2.24 \times 1 0^{13}$
2. El gas obedece la misma ley a su propia temperatura. 21923,2/4500 = 4,87183. Un exponente mayor resulta en un denominador mayor y en menor radiancia: 7,55 × 10¹². La fila Radiancia propia del gas cuadra con esto. La línea queda ya sentenciada aquí, antes de que intervenga la profundidad óptica. Una superficie más fría irradia menos en todas las longitudes de onda. El núcleo solo puede terminar más oscuro que el continuo.
  
  $B = \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} ( e ^{h c / λk T} - 1 )} = \frac{1.19104 \times 1 0 ^{- 16}}{( 6.5628 \times 1 0 ^{- 7} ) ^{5} ( e ^{4.87183} - 1 )} = 7.55 \times 1 0^{12}$
3. Una capa de profundidad óptica τ hace dos cosas a la vez. Deja pasar una fracción e^−τ de la luz que tiene detrás, que para τ = 1 es 0,36788. El resto lo sustituye por su propia emisión, 0,63212 de B. Los 8,25 × 10¹² transmitidos más los 4,77 × 10¹² emitidos dan 1,30 × 10¹³ en la fila Radiancia observada de la línea. Esos dos valores engloban toda la transferencia radiativa a través de una capa.
  
  $I = I_{0} e^{- τ} + B (1 - e^{- τ}) = 8.25074 \times 1 0^{12} + 4.77324 \times 1 0^{12} = 1.30 \times 1 0^{13}$
4. El contraste es lo que percibe el observador menos lo que vería sin gas allí. Escríbelo como lo hace la fila Contraste: (B − I₀)(1 − e^−τ). Así la resta ocurre antes del escalado y dos temperaturas iguales se anulan limpiamente a cero. −1,48767 × 10¹³ por 0,63212 da −9,40 × 10¹².
  
  $Δ I = (B - I_{0}) (1 - e^{- τ}) = - 1.48767 \times 1 0^{13} \cdot 0.63212 = - 9.40 \times 1 0^{12}$
5. Divide por el continuo y la profundidad será del 41,9%. La fila de abajo, La línea desaparece a, indica 5772 K. Esta cifra no es aproximada, es exacta. A la propia temperatura de la fuente, B − I₀ es un número menos sí mismo. El contraste vale cero en cualquier longitud de onda y profundidad óptica. Una nube densa con la temperatura justa sigue siendo invisible. Por eso la profundidad y el sentido son dos preguntas independientes.
  
  $\frac{Δ I}{I _{0}} = \frac{- 9.40386 \times 1 0 ^{12}}{2.24278 \times 1 0 ^{13}} = - 0.419, Δ I = 0 ⟺ T = T_{0} = 5772 K$
6. Pensemos en la medida real que extraes de un telescopio: una profundidad y nada más. Llama d a la profundidad fraccional, de modo que d = −ΔI/I₀ = (1 − B/I₀)(1 − e^−τ). Ahora despeja la radiancia del gas en vez de la profundidad: B = I₀(1 − d/(1 − e^−τ)). Con d = 0,250 y τ = 1, el paréntesis vale 1 − 0,395495 = 0,604505, y B = 1,3558 × 10¹³. La herramienta no dará este paso por ti.
  
  $d = (1 - \frac{B}{I _{0}}) (1 - e^{- τ}) \Rightarrow B = I_{0} (1 - \frac{d}{1 - e ^{- τ}}) = 2.24278 \times 1 0^{13} \times 0.604505 = 1.3558 \times 1 0^{13}$
7. Una inversión más y la temperatura saldrá a la luz. Reorganiza B = 2hc²/(λ⁵(eˣ − 1)) hasta obtener eˣ = 1 + 2hc²/(λ⁵B), lo que equivale a 73,158. Por tanto, x = ln 73,158 = 4,2926. El exponente siempre fue 21923,2/T, así que T = 21923,2/4,2926 = 5107 K. Sitúa ahí el deslizador de temperatura del gas. La fila Contraste, relativo al continuo marcará −25,0%.
  
  $e^{x} = 1 + \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} B} = 73.158 \Rightarrow x = 4.2926, T = \frac{h c}{λk x} = \frac{21923.2}{4.2926} = 5107 K$
Respuesta

La capa a 4500 K hunde el núcleo de H-alfa un 41,9% bajo el continuo. Llega a 1,30 × 10¹³ frente a un continuo de 2,24 × 10¹³. Analiza la segunda estrella al revés y su núcleo al 25,0% exigirá un gas a 5107 K. Es apenas 665 K más frío que la superficie que tiene detrás. La inversión matemática te indica también cuándo dejar de fiarte. Deja caer el gas hacia el cero absoluto y B se irá a cero con él. Así, el núcleo más profundo que puede producir una profundidad óptica de 1 es 1 − e⁻¹, es decir, el 63,2% del continuo. Mide una línea con un 70% de profundidad y ninguna temperatura del gas encajará. La nube tendrá que ser necesariamente más gruesa.

$T = \frac{h c / λk}{ln ( 1 + \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} I _{0} ( 1 - d / ( 1 - e ^{- τ} ) )} )} = 5107 K$

Referencias (1)

Who drew the Sun's dark lines, and who explained them: J. Fraunhofer, "Bestimmung des Brechungs- und des Farbenzerstreuungs-Vermögens verschiedener Glasarten." Denkschriften der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu München 5, 1814–15, pp. 193–226. G. Kirchhoff, "Über den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von Licht und Wärme." Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1859, pp. 783–787.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.