Líneas espectrales del hidrógeno y fórmula de Rydberg

Elige una serie y una transición para ver dónde coloca el hidrógeno sus líneas y cuántas de ellas puede captar realmente tu ojo.

Ejemplo resuelto — Líneas espectrales del hidrógeno y fórmula de Rydberg

Longitud de onda (vacío)	656,47 nm
Energía del fotón	1,889 eV
Longitud de onda en el aire	656,29 nm
Banda	Visible
Límite de la serie (vacío)	364,71 nm
Energía límite	3,400 eV
Líneas en esta ventana (todas las series)	7

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Líneas espectrales del hidrógeno y fórmula de Rydberg

El electrón del hidrógeno solo puede ocupar ciertas energías. Un salto entre dos de ellas emite o absorbe un fotón que transporta exactamente la diferencia: E = hc/λ. Una serie agrupa todos los saltos que terminan en el mismo nivel inferior. Fíjate en Lyman para n = 1, Balmer para n = 2 y Paschen para n = 3. Por eso las líneas forman familias que se apiñan hacia un límite en lugar de distribuirse uniformemente.

Qué significa cada símbolo

n₁: el nivel inferior, el que da nombre a la serie
n₂: el nivel superior desde el que cae el electrón
R∞: la constante de Rydberg, el único valor medido en toda la fórmula

Supone: Un solo electrón y un núcleo en reposo. Por eso la misma fórmula necesita una corrección para el deuterio y una constante distinta para el helio. Verás que la página imprime por separado una longitud de onda en el vacío y otra en el aire, ya que este último frena la luz en aproximadamente una parte en 3.700. Una línea catalogada desde tierra y otra catalogada desde un satélite son la misma línea con números diferentes.

Dos enteros y una constante te dan todo el espectro 🖖

Las cuatro líneas brillantes que un espectroscopio escolar extrae del hidrógeno son un electrón cayendo a n₁ = 2 desde n₂ = 3, 4, 5 y 6. En el vacío se sitúan en 656,47, 486,27, 434,17 y 410,29 nm: rojo, cian, azul y violeta. La constante de Rydberg fija la escala y los dos enteros eligen la línea. No interviene nada más. Un espectrógrafo terrestre lee 656,29 nm para la primera de ellas, ya que el índice de refracción del aire acorta la longitud de onda, y la fila Longitud de onda en el aire también muestra ese valor.

Pulsa n₁ = 1 y no toques nada más. Con un solo entero diferente, la línea que estabas mirando salta de 656,47 nm a 102,57 nm: es el mismo átomo, la misma fórmula, pero no queda nada en el visible. La fila Banda indica Ultravioleta para cualquier n₂ que puedas elegir. Baja n₂ a 2 y tendrás Lyman-alfa en 121,57 nm, la línea más larga que tiene esta serie y aún a 258 nm del violeta. La fila Longitud de onda en el aire permanece vacía en todo momento: el oxígeno molecular absorbe toda la serie de Lyman, así que no hay longitud de onda en el aire que ofrecer y esas líneas se miden desde por encima de la atmósfera.

Cuántas líneas puedes ver depende de tu ojo 🖖

Cinco líneas, con el borde de la ventana en 390 nm. Arrastra ese borde a 380 y la fila de recuento dirá 7. Empújalo a 370, sube "mostrar líneas hasta n₂" a 16 y conseguirás 14. Todas son de Balmer: ninguna otra línea del hidrógeno cae en esa ventana, porque Lyman termina en 91,18 nm y ninguna de Paschen baja de los 820,59 nm.

Las líneas se van apilando contra el límite de Balmer en 364,71 nm, y no hay una última. Entre 365 y 750 nm el hidrógeno concentra 68 líneas, necesitando n₂ hasta 70; la herramienta dibuja 40 como máximo, así que su recuento se para en 38. Las demás siguen ahí, agolpadas en el nanómetro final.

El límite de la serie es una energía de ionización 🖖

Con Balmer seleccionado, la fila Energía límite indica 3,400 eV. Pulsa n₁ = 1 y leerás 13,598 eV, que es la energía de ionización del hidrógeno desde el estado fundamental: el trabajo de llevar el electrón desde n = 1 hasta liberarlo. El límite de la serie es esa misma cantidad, leída como un fotón.

El factor entre ambas es de cuatro, y es exacto en lugar de medido. La energía límite es hcR_H/n₁², por lo que pasar de n₁ = 2 a n₁ = 1 la multiplica por 2². La fila muestra tres decimales, así que dividir lo que ves da 3,9994; la exactitud reside en la fórmula, no en el redondeo.

Más allá del límite no hay líneas. Observa el borde discontinuo ámbar en la franja mientras subes n₂: las barras se amontonan hacia él desde el lado de las longitudes de onda largas y nunca lo cruzan. Un fotón con más de 3,400 eV aún puede ser absorbido por un átomo situado en n = 2, pero lo ioniza en vez de excitarlo, y el excedente se convierte en la energía cinética del electrón libre, que puede tomar cualquier valor. Allí, la empalizada se transforma en una banda continua.

Problema resuelto al detalle

Una línea, y el fotón que va un paso más allá 7 pasos
El espectro de hidrógeno de un laboratorio muestra una línea en 486,13 nm, medida en el aire. Identifica la transición. Después, decide si un fotón de 3,00 eV podría ionizar un átomo de hidrógeno que ya estuviera en ese mismo nivel inferior, y explica qué haría en su lugar un fotón de 4,00 eV.

Abre este problema en la herramienta
1. La fórmula de Rydberg contiene dos enteros y tú ya conoces uno de ellos. Una línea visible en el hidrógeno significa que el electrón aterrizó en n₁ = 2, así que la única incógnita es desde dónde cayó.
  
  $\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{1}^{2}} - \frac{1}{n _{2}^{2}}), n_{1} = 2$
2. Antes de invertir nada, ocúpate del medio. Esos 486,13 nm se midieron a través del aire, y el aire frena la luz, por lo que la línea llega más corta de lo que salió. La fórmula está escrita para el vacío. Multiplica por el índice de refracción, 1,0002763, y obtendrás 486,266 nm. Si omites este paso, la aritmética de abajo te devuelve 4,0018, que no es un entero y no es una transición.
  
  $λ = n_{air} λ^{'} = 1.0002763 \times 486.13 = 486.266 nm$
3. Ahora reordena. 1/λ = R_H(1/4 − 1/n₂²) se convierte en 1/n₂² = 0,25 − 1/(λR_H), y la longitud de onda en el vacío te devuelve n₂ = 4,0000989.
  
  $\frac{1}{n _{2}^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{λ R _{H}} = 0.25 - \frac{1}{486.266 \times 1 0 ^{- 9} \times 1.09677576 \times 1 0 ^{7}}$
4. Es 4, y la cola decimal merece un momento de atención porque no es lo que parece. No es que el modelo de Rydberg se quede corto: pasa el valor del aire sin redondear de la propia herramienta, 486,138 nm, por estas mismas tres líneas y n₂ devuelve 4,0000000. Ese 0,0000989 es el redondeo a dos decimales de los 486,13 que te dieron. El modelo sí tiene su propio límite, cerca de una parte en 10⁵, procedente de la estructura fina y del desplazamiento de Lamb, de los cuales no sabe nada. A esta precisión no lo puedes ver.
  
  $n_{2} = 4.0000989 \Rightarrow n_{2} = 4 (λ^{'} = 486.138 \Rightarrow n_{2} = 4.0000000)$
5. Ahora la energía. E = hc/λ sobre la longitud de onda en el vacío da 2,550 eV, y la fila Energía del fotón coincide. Ese es un fotón de esta línea: lo que emite el átomo al caer de n = 4 a n = 2, o lo que absorbe al ir en sentido contrario. No es lo que cuesta arrancar el electrón.
  
  $E = \frac{h c}{λ} = 2.550 eV$
6. Arrancarlo es el límite de la serie. Haz que n₂ tienda a infinito, el 1/n₂² desaparece y lo que queda es hcR_H/n₁², que para n₁ = 2 es 3,400 eV. La fila Energía límite lo muestra. Toda línea de Balmer transporta menos que eso, y se amontonan hacia dicho valor sin llegar nunca a alcanzarlo.
  
  $E_{\infty} (n_{1} = 2) = \frac{h c R _{H}}{2 ^{2}} = 3.400 eV$
7. Así que el fotón de 3,00 eV fracasa, y fracasa por 0,400 eV. No hay ningún estado a esa energía para que aterrice el electrón, y tampoco hay energía suficiente para liberarlo. El átomo se queda donde está y el fotón pasa de largo.
  
  $3.00 eV < 3.400 eV$
Respuesta

La línea es n = 4 → 2, la segunda de la serie de Balmer, H-beta a 486,27 nm en el vacío y 486,14 nm en el aire, que transporta 2,550 eV. Un fotón de 3,00 eV no puede ionizar desde n = 2, porque eso cuesta 3,400 eV. Uno de 4,00 eV sí puede, y los 0,600 eV sobrantes se convierten en la energía cinética del electrón liberado. Aquí es donde termina el espectro de líneas y comienza un continuo, ya que ese remanente puede adoptar cualquier valor.

$E_{kin} = 4.00 - 3.400 = 0.600 eV$

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.