Ensanchamiento de líneas espectrales

Una estrella de tipo A a 9600 K gira lo bastante rápido como para que v sin i = 150 km/s. Toma su línea H-gamma, a 434,05 nm en el aire, y calcula la anchura a media altura que medirías. Después haz lo que un espectro te invita silenciosamente a hacer: interpreta toda esa anchura como movimiento térmico y mira qué temperatura te devuelve.

Abre este problema en la herramienta

1. El ensanchamiento térmico comienza con la velocidad de un átomo a lo largo de la línea de visión. Un gas de Maxwell-Boltzmann confiere a la línea un perfil gaussiano de anchura λ√(2kT/(Auc²)), y esa anchura es la semianchura 1/e. No es la desviación estándar, más pequeña por un factor de √2, ni la FWHM, mayor por un factor de 1,6651, y la fila lleva la etiqueta Semianchura térmica (1/e) para que no haya equivocación posible sobre cuál se ofrece. Para el hidrógeno a 9600 K el radicando es 1,76211 × 10⁻⁹, su raíz cuadrada 4,19775 × 10⁻⁵, y 434,05 nm multiplicado por eso da 1,8220 × 10⁻² nm.

   $$\Delta {\lambda }_{\mathrm{th}}=\lambda \sqrt{\frac{2kT}{Au{c}^2}}=434.05\mathrm{nm}\times \sqrt{1.76211\times 10^{-9}}=1.8220\times 10^{-2}\mathrm{nm}$$

2. La rotación ensancha esa misma línea por un mecanismo completamente distinto. El limbo que se acerca se desplaza al azul en λ v sin i / c y el que se aleja se desplaza al rojo en la misma proporción, de modo que el perfil se difumina a lo largo de todo ese rango. 150 km/s dividido por c = 2,99792458 × 10⁵ km/s es 5,00346 × 10⁻⁴, y 434,05 nm multiplicado por eso resulta en 2,1718 × 10⁻¹ nm. Fíjate en lo que la herramienta asume por ti: i = 90°, de canto, sin i = 1. Una estrella que se vea más desde el polo oculta parte de su giro, y la medición de una sola línea nunca te dirá ante qué caso te encuentras.

   $$\Delta {\lambda }_{\mathrm{rot}}=\frac{\lambda v\sin i}{c}=\frac{434.05\mathrm{nm}\times 150km/s\times \sin 90^{\circ }}{2.99792458\times 10^{5}km/s}=2.1718\times 10^{-1}\mathrm{nm}$$

3. Suma ambas en cuadratura. Eso es exacto para un par de gaussianas. Como el núcleo rotacional no es una gaussiana, la herramienta pone en su lugar una gaussiana con la misma semianchura 1/e y es franca sobre el pequeño porcentaje que eso cuesta. √((1,8220 × 10⁻²)² + (2,1718 × 10⁻¹)²) = 2,1794 × 10⁻¹ nm. Mira lo que ha aportado el término térmico: la anchura combinada es un 0,35 % mayor que la de la rotación por sí sola.

   $$\Delta \lambda =\sqrt{\Delta {\lambda }_{\mathrm{th}}^2+\Delta {\lambda }_{\mathrm{rot}}^2}=\sqrt{{\left(1.8220\times 10^{-2}\right)}^2+{\left(2.1718\times 10^{-1}\right)}^2}=2.1794\times 10^{-1}\mathrm{nm}$$

4. La cifra que cita un espectroscopista es la FWHM, y para un perfil escrito como exp(−(x/Δλ)²) equivale a 2√(ln 2) veces la semianchura. 1,6651 × 2,1794 × 10⁻¹ = 3,6289 × 10⁻¹ nm, impresa en la fila FWHM combinada. Arrastra la velocidad de rotación a cero y esa misma fila cae a 3,0339 × 10⁻² nm, doce veces más estrecha, que es la línea que mostraría esta estrella si dejara de girar.

   $$\mathrm{FWHM}=2\sqrt{\ln 2}\Delta \lambda =1.6651\times \left(2.1794\times 10^{-1}\right)=3.6289\times 10^{-1}\mathrm{nm}$$

5. La fila Cociente de anchuras térmicas se mantiene en 7,443 hagas lo que le hagas a la temperatura o a la longitud de onda, porque √(A_Fe/A_H) es lo único que sobrevive una vez que se cancela el resto. Pulsa ahora Hierro con la rotación todavía a 150 km/s. La anchura térmica del hierro es realmente 7,443 veces menor, 2,4479 × 10⁻³ nm, y su anchura combinada es de 2,1719 × 10⁻¹ nm frente a los 2,1794 × 10⁻¹ del hidrógeno. Dos átomos que difieren en masa por un factor de 55, y las líneas que realmente medirías difieren en un tercio de un por ciento.

   $$\frac{\Delta {\lambda }_{\mathrm{H}}}{\Delta {\lambda }_{\mathrm{Fe}}}=\sqrt{\frac{A_{\mathrm{Fe}}}{A_{\mathrm{H}}}}=\sqrt{\frac{55.845}{1.008}}=7.443$$

6. Vuelve a poner la anchura térmica en unidades de velocidad para ver dónde se sitúa el punto de cruce. Δλ_th/λ es v_th/c con v_th = √(2kT/(Au)), que para el hidrógeno a 9600 K es 12,58 km/s. La superficie de la estrella se mueve 11,92 veces más rápido de lo que se mueven sus propios átomos a lo largo de la línea de visión. Por debajo de unos 12,6 km/s el término térmico es el mayor de los dos y la anchura aún mide la temperatura; por encima de él, la rotación toma el control y ya no lo suelta.

   $$v_{\mathrm{th}}=\sqrt{\frac{2kT}{Au}}=12.58km/s,\frac{v\sin i}{v_{\mathrm{th}}}=\frac{150}{12.58}=11.92$$