Calculadora de corrimiento al rojo cosmológico

Estira un fotón a través del universo en expansión. Fija z, elige una longitud de onda emitida y observa cómo se desplaza el espectro.

Ejemplo resuelto — Calculadora de corrimiento al rojo cosmológico

Definición del corrimiento al rojo	0.1000
Longitud de onda observada	721.6 nm
Velocidad de recesión	28487 km/s (9.50% of c)
Factor de escala a	0.9091

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Tres horizontes distintos, y solo en uno v = c 🖖

El corrimiento al rojo cosmológico se describe a menudo como un efecto Doppler, pero es más sutil. Una galaxia no se mueve por el espacio: el espacio entre ella y nosotros se estira, y la longitud de onda del fotón crece en proporción al factor de escala a(t). A z bajo la distinción es académica, porque ambas imágenes dan v ≈ H₀d. Pasado z ≈ 1,5 la velocidad de recesión supera c, algo imposible para el movimiento por el espacio y nada llamativo para el espacio mismo: el límite de velocidad de la relatividad rige el desplazamiento por el espacio-tiempo, no su expansión. Aquí se confunden tres distancias distintas. La recesión alcanza c en el radio de Hubble, c/H₀ ≈ 14 500 millones de años luz — y observamos rutinariamente galaxias mucho más allá, la prueba más simple de que la recesión superlumínica no oculta nada. Lo que no podemos ver más allá es el horizonte de partículas, a unos 46 000 millones de años luz, la distancia que la luz ha tenido tiempo de recorrer. Y lo permanentemente inalcanzable lo fija una tercera superficie, el horizonte de sucesos, cerca de los 16 000 millones de años luz: la luz que hoy sale de una galaxia más lejana no llegará nunca.

Qué mide realmente el corrimiento al rojo 🖖

La luz de una galaxia lejana llega con sus longitudes de onda estiradas hacia el rojo. Divide la longitud de onda observada entre la emitida, resta 1 y obtienes z. Cuanto mayor es z, más tiempo lleva viajando la luz, así que z es a la vez el reloj y la regla del cosmos. Con z = 1 la luz salió de su galaxia hace unos 8 mil millones de años, cuando el universo tenía la mitad de su tamaño actual (factor de escala a = 1/(1+z) = 0.5).

El corrimiento al rojo también estira el tiempo 🖖

La expansión estira cada longitud de onda en un factor (1+z), pero estira la duración de los sucesos en ese mismo factor. Una supernova de tipo Ia con z = 1 se observa brillar y apagarse a lo largo del doble de días que una idéntica cercana. Se midió justo ese estiramiento, lo que descartó la vieja idea de la 'luz cansada': solo una expansión real frena el reloj además de enrojecer la luz.

Problema resuelto al detalle

Velocidad de recesión cuando la línea Hα del hidrógeno llega a 721,6 nm 5 pasos
La línea Hα del hidrógeno sale de una galaxia a 656 nm y llega a 721,6 nm. Halle la velocidad de recesión. La fórmula obvia se desvía unos 1500 km/s aquí, y a desplazamientos al rojo mayores falla por completo.
1. El desplazamiento al rojo se define como el estiramiento fraccionario de la longitud de onda, de modo que se deduce directamente de ambos números. z = 0,1: la luz llegó un 10% más roja de lo que salió.
  
  $z = \frac{λ _{obs} - λ _{0}}{λ _{0}} = \frac{721.6 - 656}{656} = 0.1000$
2. La fórmula a la que recurre casi todo el mundo es v = cz, heredada del desplazamiento Doppler a bajas velocidades. Devuelve 29 979 km/s, una décima parte de la velocidad de la luz.
  
  $v_{naive} = cz = 0.1 \times 299792 = 29979 km/s$
3. Pero una décima parte de la velocidad de la luz no es una velocidad baja. La relación Doppler relativista vincula 1 + z con la raíz cuadrada de (1 + β)/(1 − β); despejar β requiere una línea de álgebra y da 0,09502, no 0,1.
  
  $1 + z = \frac{1 + β}{1 - β} ⟹ β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1} = \frac{0.21}{2.21} = 0.09502$
4. Eso son 28 487 km/s. La cifra ingenua lo sobreestima en un 5,2%: aproximadamente 1500 km/s, lo cual es mayor que las diferencias de velocidad sobre las que los astrónomos debaten habitualmente.
  
  $v = 0.09502 c = 28487 km/s (\frac{29 979}{28 487} = 1.052)$
5. Lleve z a 1 y la discrepancia deja de ser una mera corrección. v = cz devuelve exactamente c; la fórmula relativista devuelve tres quintas partes.
  
  $a = \frac{1}{1 + z} = 0.9091; z = 1 : v_{naive} = c, β = \frac{3}{5} = 0.600$
Respuesta

La herramienta muestra 721,6 nm, 28 487 km/s y 9,50% de c, con un factor de escala de 0,9091; el universo tenía el 91% de su tamaño actual cuando esa luz partió. La conclusión principal es el paso 5: en z = 1 el atajo devuelve exactamente la velocidad de la luz, mientras que la respuesta es 0,600c. Haga clic en el preajuste de campo profundo y compruébelo. Las galaxias se catalogan en z = 7 y más allá, donde cz le daría siete veces la velocidad de la luz, lo cual no es una paradoja sobre la relatividad, sino una fórmula utilizada muy fuera del régimen en el que fue derivada.

$β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1} : z = 0.1 \Rightarrow 0.0950 c, z = 1 \Rightarrow 0.600 c (not c)$

Referencias (2)

The distinction between the three horizons the first block separates: T. M. Davis and C. H. Lineweaver, "Expanding Confusion: Common Misconceptions of Cosmological Horizons and the Superluminal Expansion of the Universe." Publications of the Astronomical Society of Australia 21(1), 97–109, 2004.
The H₀ value the Hubble radius is computed from: N. Aghanim et al. (Planck Collaboration), "Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters." Astronomy & Astrophysics 641, A6, 2020.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.