Actualización bayesiana de biofirmas

cómo la tasa base y la calidad de la prueba determinan la probabilidad posterior tras una señal positiva de biofirma

Ejemplo resuelto — Actualización bayesiana de biofirmas

Proporción de falsas alarmas	83.94%
Fuerza de la evidencia (factor de Bayes)	9.38×
Razón de probabilidades posterior	0.191 : 1
Probabilidad previa de vida P(L)	2%
Sensibilidad P(+\|L)	75%
Tasa de falsos positivos P(+\|¬L)	8%
P(L) → P(L\|+)	2% → 16.06%

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Un telescopio mejor no puede bajar la tasa de falsos positivos 🖖

Es natural suponer que un instrumento más fino hace más fiable una detección, pero la tasa de falsos positivos de este cálculo en su mayor parte no es una propiedad del instrumento. El oxígeno puede acumularse sin vida, a partir de vapor de agua dividido por luz ultravioleta. Para la fosfina se han propuesto rutas abióticas, y por eso la afirmación sobre Venus de 2020 pasó directamente a una disputa sobre geoquímica y no sobre la calidad del telescopio. El metano sale de las rocas con la misma facilidad que de los organismos. Cuando la confusión vive en la química, la resolución y la sensibilidad no la tocan: solo te hacen estar más seguro de que la molécula está ahí, que nunca fue la parte incierta. Lo único que mueve la probabilidad posterior es una segunda línea de evidencia que falle de otra manera.

Por qué un positivo no es una confirmación 🖖

La agudeza del instrumento importa mucho menos que la escasez de vida de partida. Si solo 1 de cada 1000 planetas alberga vida, incluso un detector con una sensibilidad del 90 % y una tasa de falsos positivos del 2 % señalará sobre todo mundos sin vida. La probabilidad posterior apenas rondará el 4 %, porque las falsas alarmas eclipsan los escasos hallazgos reales. Antes de confiar en una señal positiva, pregúntate qué probabilidad había de que existiera vida antes de observar.

El mismo error que encarcela inocentes 🖖

Leer un positivo como "vida confirmada" comete la falacia del fiscal — se confunde P(señal | sin vida) con P(sin vida | señal). Los tribunales han caído justo en esto: en el caso Sally Clark (1999), la ínfima probabilidad de que las pruebas surgieran por azar se presentó erróneamente como la probabilidad de su inocencia, ayudando a condenar a una madre exonerada en 2003. La baja tasa de falsos positivos de tu detector no es la probabilidad de que el mundo esté sin vida.

Problema resuelto al detalle

Prueba de biofirma positiva cuando la probabilidad de vida es del 16% 5 pasos
Un test de biofirmas da positivo — y la probabilidad de que haya vida es del 16%. Averigüe la razón y determine después por cuál de los dos valores del test pagaría realmente por mejorar.
1. La regla de Bayes sopesa las dos formas en que puede darse un positivo: una detección real o una falsa alarma. Ambas son probabilidades de la evidencia, y la a priori determina cuánto hay de cada una desde el principio.
  
  $P (L ∣ +) = \frac{P ( + ∣ L ) P ( L )}{P ( + ∣ L ) P ( L ) + P ( + ∣ \neg L ) P ( \neg L )}$
2. Al sustituir se obtiene un 0,0150 de verdaderos positivos frente a un 0,0784 de falsos positivos. Las falsas alarmas superan a las detecciones reales de cinco a uno, y no hay nada defectuoso en el test: sencillamente, la a priori es pequeña.
  
  $= \frac{0.75 \times 0.02}{0.75 \times 0.02 + 0.08 \times 0.98} = \frac{0.0150}{0.0150 + 0.0784}$
3. Por tanto, un positivo deja un 16,06% para la vida y un 83,94% para una falsa alarma. Se trata de la misma aritmética que la de un cribado médico para una enfermedad rara, y sorprende a la gente exactamente del mismo modo.
  
  $= \frac{0.0150}{0.0934} = 16.06% ⟹ 83.94% false alarms$
4. La forma en odds permite apreciar la estructura: las odds a priori multiplicadas por la razón de verosimilitud. El test aporta un factor de 9,375, lo que constituye evidencia real; simplemente parte de unas odds de 1 entre 49.
  
  $odds : \frac{0.02}{0.98} \times \frac{0.75}{0.08} = 0.0204 \times 9.375 = 0.191$
5. Varíe ahora las dos entradas. Aumentar la sensibilidad de 0,75 hacia 1 puede multiplicar la evidencia a lo sumo por 1,33. Reducir la tasa de falsos positivos de 0,08 a 0,01 la multiplica por ocho, y la a posteriori pasa al 60,5%.
  
  $fpr = 0.01 \Rightarrow 60.5%; 0.005 \Rightarrow 75.4%; 0.001 \Rightarrow 93.9%$
Respuesta

La herramienta muestra una a posteriori del 16,06%, una proporción de falsas alarmas del 83,94% y un factor de Bayes de 9,38. La parte sobre la que se puede actuar es el paso 5. La sensibilidad está acotada superiormente por 1, por lo que mejorarla tiene un techo; la tasa de falsos positivos no tiene suelo, de modo que ahí es donde reside el apalancamiento. Con una tasa de falsos positivos de 0,001, el mismo positivo significaría un 93,9%. Por esa razón, las afirmaciones sobre biofirmas se debaten en torno a descartar explicaciones abióticas más que sobre la fuerza de la detección: el denominador es toda la batalla.

$posterior odds = prior odds \times \frac{sens}{fpr} : the DENOMINATOR is the lever$

Ruta de aprendizaje

Las probabilidades a priori y de dónde provienen

Referencias (2)

Insight block 1 — the phosphine claim that moved straight into a geochemistry dispute: J. S. Greaves et al., "Phosphine gas in the cloud decks of Venus." Nature Astronomy 5, 655–664, 2020.
Insight block 3 — the fallacy by its courtroom name: W. C. Thompson and E. L. Schumann, "Interpretation of statistical evidence in criminal trials: The prosecutor's fallacy and the defense attorney's fallacy." Law and Human Behavior 11(3), 167–187, 1987.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.