El billar de Bayes — El grano sobre tu hombro

Observa cómo una distribución a priori no observada se transforma en una curva beta posterior a medida que llegan los informes de posición.

Ejemplo resuelto — El billar de Bayes — El grano sobre tu hombro

Lanzamientos realizados	0
Reportados izquierda / derecha	0 ← / 0 →
Media a posteriori	0,5000
Cuantil 2,5%	0,0250
Cuantil 97,5%	0,9750
Ancho del intervalo del 95%	0,9500
Lanzamientos para ±5%	385

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

los reportes de orden sin medición son suficientes 🖖

Nunca ves dónde cayó el primer grano, y los siguientes solo reportan si cayeron a la izquierda o a la derecha. Nunca se mide una distancia. Sin embargo, un solo reporte 'izquierda' desplaza la creencia de 50/50 a 0,7500. La evidencia se acumula solo mediante el orden.

la precisión cuesta cuatro veces lo que piensas 🖖

Para reducir el intervalo de credibilidad del 95% a ±5 puntos porcentuales (anchura 0,10) hacen falta 381 lanzamientos si las judías caen por igual a ambos lados y el intervalo se calcula de forma exacta. Duplicar esa precisión hasta ±2,5 puntos (anchura 0,05) exige 1.534 lanzamientos, una razón de 4,03. La precisión varía como 1/√n, así que reducir la anchura a la mitad cuesta cuatro veces más evidencia. El panel utiliza una aproximación normal para su previsión y da 385 para el primero de esos intervalos.

la distribución a priori uniforme aquí es un hecho físico 🖖

En el experimento de Thomas Bayes, el primer grano realmente se lanzó a ciegas sobre una mesa plana, haciendo que la distribución uniforme sea un hecho físico del montaje. En los análisis médicos, la prevalencia cumple el mismo rol, pero es una estimación que debe ganarse.

Problemas resueltos al detalle

Una alubia, un informe de «izquierda» y cuatro respuestas correctas distintas 8 pasos
Se lanza una sola alubia y cae a la izquierda de la marca oculta. El panel indica 0,6667. El primer bloque explicativo de esta página indica 0,7500. La respuesta que la mayoría de la gente da en voz alta es 1, porque una de cada una ha caído a la izquierda. Las tres respuestas son correctas. ¿A qué pregunta responde cada una?
1. Primero el planteamiento, ya que es la razón por la que este experimento mental en particular es famoso. Se deja caer a ciegas una marca sobre una mesa plana en una posición desconocida p, y cada alubia posterior cae a su izquierda con probabilidad p. No se mide nada en ningún momento; cada alubia aporta un bit de información. Richard Price leyó el ensayo ante la Royal Society en diciembre de 1763, dos años después de la muerte de Bayes, y la distribución a priori uniforme sobre p es un hecho físico derivado de cómo se lanzó la marca, más que una elección de modelización. Esto es más raro de lo que parece, y el tercer bloque explicativo de esta página trata sobre lo poco frecuente que resulta encontrarlo en cualquier otro lugar.
  
  $p \sim Uniform (0, 1), π (p) = 1 for 0 \leq p \leq 1$
2. La evidencia. Obtener k a la izquierda en n lanzamientos tiene una probabilidad de p^k(1−p)^n−k, multiplicada por un coeficiente binomial que no contiene p alguna. Al multiplicar por la a priori uniforme y luego normalizar, el coeficiente se simplifica.
  
  $π (p ∣ k, n) \propto p^{k} (1 - p)^{n - k} \cdot 1$
3. Lo que queda es una distribución beta cuyos dos parámetros son esos exponentes más uno. Que el único lanzamiento haya caído a la izquierda da Beta(2, 1), una recta que vale cero en el extremo izquierdo y asciende hasta 2 en el derecho.
  
  $p ∣ k, n \sim Beta (k + 1, n - k + 1) = Beta (2, 1), π (p) = 2 p$
4. Primera pregunta: ¿dónde es más probable que esté la marca? La densidad 2p alcanza su máximo en el extremo derecho, por lo que la moda es p = 1. La respuesta precipitada k/n = 1 llega al mismo punto por un camino distinto, y ambas son respuestas a una pregunta que nadie formuló.
  
  $ar g p max 2 p = 1$
5. Segunda pregunta: ¿está la marca más allá de la mitad? Eso representa un área, por lo que hay que integrar. La función de distribución acumulativa de Beta(2, 1) es p², de modo que la masa por encima de un medio es 1 − ¼. Este es el 0,7500 del primer bloque explicativo.
  
  $P (p > \frac{1}{2}) = 1 - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4} = 0.7500$
6. Tercera pregunta: ¿caerá la siguiente alubia a la izquierda? Esta pregunta no trata en absoluto de dónde está p: versa sobre lo que sucederá a continuación, y promedia p sobre todo lo que ahora se cree acerca de p. Esa media es la media a posteriori.
  
  $P (next left) = \int_{0}^{1} p \cdot π (p) d p = \frac{k + 1}{n + 2}$
7. Con n = 1 y k = 1, la media es dos tercios. Laplace dedujo esto en una memoria de 1774, y desde entonces se ha conocido como la regla de sucesión. El +1 y el +2 no son un parche para muestras pequeñas; son lo que resulta de integrar respecto a una a priori uniforme.
  
  $\frac{k + 1}{n + 2} = \frac{1 + 1}{1 + 2} = \frac{2}{3} = 0.6667$
8. Hay un cuarto número que la herramienta no muestra. La mediana está en 1/√2, entre la media y la moda, en ese orden. Todas las distribuciones posteriores que puede producir esta herramienta son beta. Cuando una beta se inclina hacia la derecha, sus tres centros mantienen exactamente ese orden; las distancias vuelven a acortarse conforme la evidencia concentra la curva. Equilibra los lanzamientos y los tres coincidirán.
  
  $mode 1 > median \frac{1}{2} = 0.7071 > mean \frac{2}{3} = 0.6667$
Respuesta

Los tres valores son correctos, pero cada uno responde a una pregunta distinta. 1 indica dónde es más probable que esté el marcador. 0,7500 es la probabilidad de que esté más allá de la mitad. 0,6667 es la probabilidad de que la próxima judía caiga a la izquierda; el panel destaca este valor porque es el único de los tres que dice algo sobre el siguiente lanzamiento. El intervalo de credibilidad del 95% va de 0,1581 a 0,9874: un solo resultado apenas ha reducido la incertidumbre, y el panel calcula que harán falta 341 lanzamientos más para que ese intervalo tenga una anchura de ±5 puntos.

Laplace llevó esta misma fórmula hasta sus últimas consecuencias. En el Essai philosophique sur les probabilités, de 1814, tomó n = 1.826.213, cinco mil años de amaneceres registrados, y calculó que la probabilidad de que el sol no saliera al día siguiente era de 1 entre 1.826.215. Desde entonces no han faltado las burlas, casi siempre de quienes dejaron de leer demasiado pronto. En ese mismo pasaje aclara que la cifra corresponde a alguien que no sabe nada sobre el mecanismo que hace sucederse los días, y que quien lo comprenda debe asignar una probabilidad mucho mayor a que el sol salga. Esa salvedad es el paso 1, formulado por el propio inventor del cálculo.
De qué es una promesa el 95% del intervalo 6 pasos
Ejecuta el ajuste de 400 lanzamientos. El panel sitúa la marca entre 0,4512 y 0,5488 con una credibilidad del 95%, y la marca está realmente en 0,4913. Demuestra que ese 95% es exacto y no aproximado, y calcula después qué queda de él si la mesa no es plana.
1. Vuelve a contar las alubias, incluida la que nadie mira. La marca se lanzó a ciegas sobre la mesa, y también las 400 que vinieron después; las 401 salieron del mismo hombro hacia la misma superficie plana. No hay nada estadístico que distinga la marca de un lanzamiento. Solo tiene nombre.
  
  $p, x_{1}, \dots, x_{400} \sim iid Uniform (0, 1) (401 draws, one labelled)$
2. Así que toma las 401 posiciones y ordénalas. La marca tiene la misma probabilidad de ser la primera, la séptima o la última, porque una etiqueta no puede cambiar un puesto, y el número que el panel llama k no es más que su puesto menos uno. Cada recuento de «a la izquierda» que la herramienta puede imprimir, los 401, de 0 a 400, tiene probabilidad 1/401. Eso no se parece a un recuento de caras y cruces, y la integral lo confirma: el coeficiente binomial se cancela contra la función beta y n desaparece salvo como n + 1.
  
  $P (k = j) = \int_{0}^{1} (j n) p^{j} (1 - p)^{n - j} d p = (j n) B (j + 1, n - j + 1) = \frac{1}{n + 1}$
3. La misma simetría resuelve el intervalo. Introduce la posición real de la marca en su propia función de distribución a posteriori y el resultado es uniforme en el intervalo unidad: eso es lo que significa que una a posteriori sea la ley condicional honesta de p. Por tanto, la probabilidad de que la verdad caiga entre los percentiles 2,5 y 97,5 es 0,95, y no hay aproximación alguna en esa frase. Simular diez lanzamientos cien mil veces da 0,94967.
  
  $U = I_{p} (k + 1, n - k + 1) \sim Uniform (0, 1) ⟹ P (0.025 < U < 0.975) = 0.95$
4. Se cumple con cualquier tamaño de muestra, y ahí conviene detenerse. El intervalo de 400 lanzamientos mide 0,0976 de ancho y la marca cae holgadamente dentro. El intervalo de un solo lanzamiento va de 0,1581 a 0,9874, y no excluye casi nada, pero es exactamente igual de válido. Ser inútil y ser incorrecto son fallos distintos.
  
  $n = 400 : [0.4512, 0.5488], width 0.0976; n = 1 : [0.1581, 0.9874]$
5. Ahora rompe lo único en lo que se apoya. Supón que la mesa no es plana sino abombada, de modo que la marca tiende a rodar hacia una banda, mientras el panel sigue calculando con una a priori uniforme. Integra la cobertura sobre esa distribución real y la etiqueta del 95% vale un 68,7% tras un lanzamiento, un 78,7% tras diez y un 87,1% tras cien.
  
  $p \sim Beta (0.3, 0.3), interval still from π (p) = 1 : 0.687, 0.787, 0.871 (n = 1, 10, 100)$
6. Fíjate en el sentido del fallo y en lo despacio que la evidencia lo repara. Multiplicar los datos por cien cerró algo más de la mitad de la brecha. Y una mesa abombada al revés, que junta la marca cerca del centro, deja en cambio el intervalo demasiado ancho: 99,9%, 95,8%, 95,1%. Lo que hace daño son los bordes, porque ahí es donde una a priori uniforme está más segura y más equivocada.
  
  $p \sim Beta (6, 6) : 0.999, 0.958, 0.951$
Respuesta

Exactamente el 95%, con cualquier n, por la razón que da el tercer bloque explicativo: aquí la a priori uniforme es un hecho sobre el lanzamiento y no una elección de modelización. Es raro poder decir eso, y hace de este el único sitio donde un intervalo bayesiano y un intervalo de confianza frecuentista son el mismo objeto en lugar de dos cosas que suelen coincidir.

El 1/401 es la mitad más limpia de esa misma simetría, y es la línea que hay que retener. Antes de lanzar una sola alubia, todos los recuentos posibles de «a la izquierda» son igual de probables: la a priori plana no solo está debajo del cálculo, también aplana los datos. Por eso el +1 y el +2 de la regla de sucesión son exactos y no un parche para muestras pequeñas.

Lo que deja pendiente la pregunta que la mesa no puede responder para nada más. La prevalencia en un programa de cribado, la tasa base de un fallo raro, la fracción de una población con un rasgo: cada una desempeña el papel estructural de p y ninguna se lanzó a ciegas sobre nada. Equivócate en esa distribución por los bordes y el 95% del informe es un 69%, y ningún muestreo adicional a tu alcance te lo dirá, porque cien lanzamientos solo recuperaron la mitad de lo que costaba una mesa abombada.

$π (p) \equiv 1 ⟹ coverage = 0.95 \forall n; Beta (0.3, 0.3) : 0.95 - 0.687 = 0.263 \to 0.079 (n : 1 \to 100)$

Ruta de aprendizaje

Las probabilidades a priori y de dónde provienen

Lleva a Biofirmas un a priori uniforme que no tuviste que suponer.

Referencias (2)

Bayes' original paper presenting the billiard thought experiment and uniform prior formulation: T. Bayes, "LII. An essay towards solving a problem in the doctrine of chances." Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 370–418, 1763.
The 1958 Biometrika reprint accessible to modern readers: T. Bayes, "An essay towards solving a problem in the doctrine of chances." Biometrika, 45(3–4):296–315, 1958.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-09-03

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

1.er lanzamiento - 1 lanzamiento a la izquierda: P(primer grano en la mitad derecha) pasa de 50/50 a 0,7500.
10 lanzamientos - 10 lanzamientos, 5 a la izquierda: el intervalo de credibilidad del 95% se reduce a 0,5324.
100 lanzamientos - 100 lanzamientos, 50 a la izquierda: el intervalo de credibilidad del 95% se reduce a 0,1927.
400 lanzamientos (±5%) - 400 lanzamientos, 200 a la izquierda: el intervalo alcanza 0,0976 (±5 puntos porcentuales).