Empaquetamiento cristalino: ¿cuánto espacio llena un metal?

Elige un metal, o introduce una estructura, un parámetro de red y una masa molar. La página halla dónde se tocan los átomos, obtiene el radio a partir de ahí y calcula qué proporción del cristal llenan los átomos, cuánto espacio corresponde a cada uno y la densidad resultante. Los átomos se tratan como esferas duras, una suposición que dos de las tres explicaciones de abajo desmontan.

Ejemplo resuelto — Empaquetamiento cristalino: ¿cuánto espacio llena un metal?

Átomos en una celda	4
Vecinos más cercanos	12
Distancia al vecino más cercano	2,5562 Å
Radio de las esferas en contacto	1,2781 Å
Volumen de la celda	47,240 Å³
Fracción de espacio lleno	74,05%
Volumen que posee cada átomo	11,810 Å³
Densidad a partir de la red	8,935 g/cm³

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Empaquetamiento cristalino: ¿cuánto espacio llena un metal?

Un cristal repite una celda unidad. Contar sus átomos tiene en cuenta el uso compartido: un átomo de esquina pertenece a ocho celdas, uno de cara a dos. La fracción de empaquetamiento es la porción de la celda dentro de los átomos, siendo cada átomo una esfera que apenas toca a sus vecinos más cercanos: φ = n · (4/3)πr³ / V, donde el radio r es la mitad de la distancia al vecino más cercano. La misma celda da la densidad, ρ = nM / (N_AV), ya que contiene n átomos de masa conocida.

Qué significa cada símbolo

a: el parámetro de red: la arista de la celda cúbica, o la arista de la base hexagonal, medida por difracción de rayos X o de neutrones
n: átomos por celda, contando un átomo de esquina como ⅛ y un átomo de cara como ½
r: el radio de las esferas en contacto, la mitad de la distancia más corta entre los centros de dos átomos
φ: la fracción de empaquetamiento, la parte del volumen de la celda dentro de las esferas

Supone: Los átomos son esferas duras de un solo radio, que se tocan a lo largo de la distancia más corta en la red. Los parámetros de red son valores a temperatura ambiente de la recopilación de Wyckoff de 1963, excepto el hierro a 912 °C y el polonio a 283 K. El cristal es perfecto: sin átomos faltantes, sin impurezas, una sola mezcla de isótopos, el peso atómico estándar. Cada densidad que imprime la página es la densidad de rayos X de un cristal así; los poros y las vacantes en una muestra real solo pueden reducirla.
Falla cuando: Allí donde el átomo no sea una esfera dura, lo cual la página misma muestra dos veces: el radio del hierro cambia un 2,52% con sus vecinos, y el c/a del zinc indica que sus enlaces entre capas difieren de los de dentro de una capa. Para los compuestos, cuyos dos tipos de ion tienen dos radios y se empaquetan con otra regla. Y al nivel de partes por mil millones, donde las vacantes, las impurezas y la mezcla isotópica se tienen que medir, como hizo el proyecto Avogadro.

El empaquetamiento cúbico centrado en las caras y el hexagonal llenan el mismo 74,05%, y ningún empaquetamiento de esferas iguales llena más 🖖

Coloca esferas en una capa plana y cada una tocará a seis. La siguiente capa se asienta en los huecos, y la tercera tiene una opción: directamente sobre la primera, ABAB, que es el empaquetamiento hexagonal compacto, o sobre los huecos que la segunda dejó abiertos, ABCABC, que es el cúbico centrado en las caras. De cualquier forma, cada esfera toca a doce, y las esferas llenan π/(3√2) = 74,05% del espacio. Pulsa Cobre y luego cambia la estructura a hexagonal, que la página inicia en el c/a ideal: la misma cifra. Kepler supuso en 1611 que nada lo supera. La demostración de Thomas Hales apareció en 2005 y se ejecutó en parte en un ordenador, y en 2017 le siguió una versión formal, con cada paso comprobado por máquina. La cúbica centrada en el cuerpo parece casi tan compacta, con ocho vecinos y seis más a solo un 15% más de distancia, y llena un 68,02%.

El hierro se vuelve un 1% más denso al calentarse a más de 912 °C, mientras que las esferas duras indican un 8% 🖖

Pulsa Hierro bajo 912 °C, luego Hierro sobre 912 °C. El hierro centrado en el cuerpo tiene a = 2,9058 Å y da a cada átomo 12,268 Å³; el hierro centrado en las caras a la misma temperatura tiene a = 3,6487 Å y da a cada átomo 12,143. Eso es un 1,02% menos de espacio, así que calentar el hierro a través del cambio lo hace más denso, y un dilatómetro ve la barra acortarse mientras el horno se sigue calentando. Esferas de un tamaño fijo se habrían encogido un 8,14%, la diferencia entre 68,02% y 74,05%. No lo hacen porque el átomo no tiene un tamaño fijo: deducido de cada red, el radio del hierro es 1,2583 Å en la forma centrada en el cuerpo y 1,2900 Å en la centrada en las caras, un 2,52% mayor con doce vecinos que con ocho. Las mediciones de rayos X de 1955 dan el mismo salto, 1,04%.

El zinc se denomina hexagonal compacto, y se empaqueta menos que el hierro 🖖

Las capas hexagonales solo son compactas cuando la altura de la celda es √(8/3) = 1,6330 veces su anchura, para que los seis vecinos de un átomo en la capa siguiente estén tan cerca como los seis de la suya. El magnesio se acerca, con 1,6235, y llena un 73,62%. Pulsa Zinc: su c/a es 1,8563. Las capas están separadas, los átomos en la siguiente se sitúan a 2,9128 Å frente a los 2,6648 Å dentro de la capa, un 9,31% más lejos, y como esferas que se tocan en la capa el zinc llena un 65,14%. Eso es menos que el 68,02% del hierro centrado en el cuerpo, una estructura que nadie llama compacta. El cadmio es igual, 64,12%. El nombre registra el orden de apilamiento, ABAB. Que el apilamiento sea compacto lo determina c/a, y el del zinc indica que sus enlaces entre capas no son iguales a los enlaces dentro de una, algo que una esfera no tiene forma de expresar.

Problema resuelto al detalle

Contar el número de Avogadro con una esfera de silicio 4 pasos
En 2017 la Coordinación Internacional de Avogadro presentó una esfera de 1 kg de silicio enriquecido al 99,9985% con silicio-28. Su masa molar era 27,976942674 g/mol, su parámetro de red 543,0996218 pm y su densidad 2320,068748 kg/m³. El silicio tiene la estructura del diamante. ¿Cuántos átomos hay en un mol?

Abre este problema en la herramienta
1. La celda de diamante contiene ocho átomos: ocho esquinas a ⅛, seis caras a ½ y cuatro dentro.
  
  $n = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} + 4 = 8$
2. Su volumen es a³, con a = 5,430996218×10⁻⁸ cm: 1,6019114×10⁻²² cm³.
  
  $a^{3} = (5.430996218 \times 1 0^{- 8} cm)^{3} = 1.6019114 \times 1 0^{- 22} c m^{3}$
3. Su masa es la densidad multiplicada por el volumen, 2,320068748 g/cm³ × 1,6019114×10⁻²² cm³ = 3,7165447×10⁻²² g, así que un átomo pesa un octavo de eso, 4,6456808×10⁻²³ g.
  
  $m_{cell} = ρ a^{3} = 2.320068748 \times 1.6019114 \times 1 0^{- 22} = 3.7165447 \times 1 0^{- 22} g m_{atom} = \frac{m _{cell}}{8} = 4.6456808 \times 1 0^{- 23} g$
4. Un mol de estos átomos pesa 27,976942674 g. Dividir entre la masa de un átomo los cuenta.
  
  $N_{A} = \frac{M}{m _{atom}} = \frac{8 M}{ρ a ^{3}} = \frac{27 . 976942674}{4 . 6456808 \times 1 0 ^{- 23}}$
Respuesta

N_A = 6,022140516×10²³ por mol, la cifra del propio artículo para todos los diez dígitos que da para esta esfera. La página hace la misma aritmética hacia adelante: pulsa Silicio y los 5,4307 Å del silicio natural, ocho átomos y 28,085 g/mol dan 2,329 g/cm³. Desde 2019, la constante de Avogadro está fijada por definición en 6,02214076×10²³, por lo que ahora la medición va en sentido contrario, desde átomos contados hasta una masa, y es uno de los dos métodos más exactos con los que se materializa el kilogramo.

$N_{A} = 6.022140516 \times 1 0^{23} mo l^{- 1}$

Referencias (3)

Every room-temperature lattice parameter on the page, entry by entry, from Wyckoff's compilation as the Crystallography Open Database transcribes it: R. W. G. Wyckoff, Crystal Structures, vol. 1, 2nd edition. Interscience, New York, 1963; entries 9008460-9008565 of the Crystallography Open Database (crystallography.net). Polonium: W. H. Beamer and C. R. Maxwell, J. Chem. Phys. 17, 1293 (1949), COD 1509138.
Iron's two lattice parameters at 912 °C, from neutron diffraction in the furnace: M. Onink, C. M. Brakman, F. D. Tichelaar, E. J. Mittemeijer, S. van der Zwaag, J. H. Root and N. B. Konyer, "The lattice parameters of austenite and ferrite in Fe-C alloys as functions of carbon concentration and temperature." Scripta Metallurgica et Materialia 29(8), 1993, pp. 1011-1016. DOI 10.1016/0956-716X(93)90169-S
The silicon-28 sphere of the worked problem, and the Avogadro constant it gave: G. Bartl, P. Becker, B. Beckhoff et al. (33 authors), "A new ²⁸Si single crystal: counting the atoms for the new kilogram definition." Metrologia 54(5), 2017, pp. 693-715. DOI 10.1088/1681-7575/aa7820

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.