Decimales periódicos

¿Cuántas cifras tiene el periodo de 1/13? Puedes responder a esto antes de hacer ninguna división.

1. ¿Llega siquiera a ser periódico? El trece es primo y no divide a diez, de manera que no comparte factores con la base. Al no haber factores que se anulen, carece de anteperiodo y la repetición comienza desde la primera cifra.

   $$13\nmid 10,10=2\times 5$$

2. Su longitud equivale a la menor potencia de diez que deja un resto de 1. Sube por las potencias de diez módulo 13 y detente en el instante en que lo alcances.

   $$10^1\equiv 10,10^2\equiv 9,10^3\equiv 12,10^4\equiv 3,10^5\equiv 4,10^6\equiv 1(\mathrm{mod}13)$$

3. Seis. El ciclo tiene seis cifras de longitud y todavía no hemos dividido nada. Efectúa ahora la división para comprobar cómo esos mismos seis números regresan en forma de restos.

   $$k=6$$

4. Son los mismos números dispuestos en el mismo orden, porque justamente eso es lo que son: el resto tras k pasos equivale a 10 elevado a k, módulo 13. Las cifras situadas encima de ellos conforman la respuesta.

   $$\frac{1}{13}=0.\overline{076923}$$

5. La antigua comprobación sigue funcionando. Un bloque periódico puro de seis cifras, multiplicado por su denominador, da como resultado seis nueves.

   $$076923\times 13=999999$$

6. El trece disponía de doce restos y utilizó seis. Pero no podía ser cualquier cantidad. Si q es primo, el período siempre divide a q − 1; por tanto, las únicas respuestas posibles para 13 eran 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

   $$k\mid q-1:6\mid 12,12=13-1$$

7. El divisor concreto sobre el que aterriza un primo marca el límite tanto de esta herramienta como del conocimiento matemático actual. Nueve de los veintitrés primos elegibles por debajo de 100 alcanzan el máximo de q − 1 en base 10, alrededor del 39 %, muy cerca de la constante 0,3739 que conjeturó Artin en 1927. Sigue siendo una conjetura. Nadie ha logrado demostrar siquiera que existan infinitos primos que tengan al 10 como raíz primitiva.

   $$\frac{9}{23}\approx 39\%\text{vs}A\approx 0.3739558$$

Carga 1/5 en base 12 y averigua cuánto dura el periodo. Decide después si a un mundo que contase de doce en doce le iría mejor o peor en la aritmética corriente.

1. En base diez, un quinto es la fracción más fácil que hay: 0,2, resuelta en una sola cifra. Doce es 2 × 2 × 3 y no lleva ningún cinco dentro, así que no se simplifica nada y la división nunca puede quedarse sin resto. La tarjeta del veredicto cambia a Se repite infinitamente y el anteperiodo marca 0. No hay ninguna parte que termine antes, de modo que el ciclo empieza en la primera cifra.

   $$5\nmid 12=2^2\times 3⟹\text{repeats};5\mid 10=2\times 5⟹\frac{1}{5}=0.2$$

2. La longitud es la menor potencia de doce que deja resto 1 al dividirla entre 5. Doce son dos más que un múltiplo de cinco, así que puedes recorrer las potencias de dos en su lugar, que es más rápido: 2, 4, 3, 1.

   $$12\equiv 2(\mathrm{mod}5):2,4,3,1⟹k={\mathrm{ord}}_5(12)=4$$

3. Cuatro pasos, y cuatro es q − 1. Es todo lo que un quinto puede llegar a repetir, porque la división larga solo dispone de cuatro restos no nulos y este recorrido los visita todos. La insignia que aparece es la que 1/7 se gana en base diez.

   $$k=4=q-1⟹\text{full reptend};\frac{1}{5}=0.{\overline{2497}}_{12}$$

4. La comprobación de los nueves sobrevive al cambio. Un ciclo puro multiplicado por su denominador llena todas las posiciones del ciclo: 2497 en base doce es 4.147, cinco veces eso son 20.735, y 20.735 es 12⁴ − 1, que en base doce se escribe bbbb. Cuatro onces donde la base diez daría cuatro nueves.

   $$2497_{12}=4147,4147\times 5=20,735=12^4-1={\mathrm{bbbb}}_{12}$$

5. Ahora el intercambio, contado en lugar de discutido. Toma los denominadores de 2 a 12 y pregunta cuáles terminan. El binario y el hexadecimal consiguen tres, ya que su único primo es el 2. Esa es la razón de que 0,1 no tenga forma binaria exacta y la razón de que el dinero no se guarde en coma flotante. La base diez consigue cinco. La base doce consigue siete: compra tercios, sextos, novenos y doceavos, y los paga con quintos y décimos.

   $$q\in \{2,\dots ,12\}\text{that terminate}:b=2,16:3;b=10:5;b=12:7$$

6. La regla resuelve además una base que la herramienta no ofrece. El sesenta lleva los tres primos pequeños, así que todo de 2 a 12 termina salvo los séptimos y los onceavos: nueve de once. No hace falta ejecutar nada para verlo. Basta con los factores primos de sesenta.

   $$b=60=2^2\times 3\times 5:\text{all but }7\text{ and }11⟹9\text{of}11$$