Ley de Darcy y flujo de aguas subterráneas

Elige un material y una diferencia de carga para ver cuánta agua lo atraviesa, a qué velocidad se mueve realmente y en qué punto deja de cumplirse la ley.

Ejemplo resuelto — Ley de Darcy y flujo de aguas subterráneas

Gradiente hidráulico	0,0010
Flujo de Darcy	1,000 × 10⁻⁸ m/s
Caudal	1,000 × 10⁻⁸ m³/s
Velocidad del agua en el poro	2,857 × 10⁻⁸ m/s
El agua supera al flujo por	2,86×
Tiempo de tránsito en la trayectoria	1109 años
Número de Reynolds de poro	1,4949 × 10⁻⁶
Gradiente máximo para mantener Re ≤ 1	668,9374

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Ley de Darcy y flujo de aguas subterráneas

La ley de Darcy establece que el caudal a través de un medio poroso es proporcional a la carga perdida a través de él e inversamente proporcional a la distancia sobre la que se pierde: Q = K A Δh/L. La constante K es la conductividad hidráulica. Pertenece al medio y al fluido conjuntamente, y no a la roca sola. Si retiras el fluido con k = Kμ/(ρg), lo que queda es la permeabilidad intrínseca, una propiedad que depende únicamente de la geometría de los poros. Por eso un hidrogeólogo mide la misma arenisca en m/s y un ingeniero de petróleos lo hace en darcys: están midiendo los mismos poros con distintos fluidos en su interior.

Supone: Asume un flujo saturado, estacionario y laminar a través de un medio que es uniforme a la escala de la trayectoria de flujo. Las seis conductividades aquí mostradas son números redondos representativos en lugar de mediciones reales. Cada uno de estos materiales abarca al menos dos órdenes de magnitud en las recopilaciones publicadas, porque la arena nombra un tamaño de grano y no una roca. Las porosidades son porosidades totales, lo que hace que la velocidad en los poros sea la más lenta que permiten los datos. El transporte sigue a la fracción conectada, y esta es menor.

324 días por la grava, 634 millones de años por el granito 🖖

Pulsa Acuífero de arena, 1 km: un metro de carga a través de un kilómetro de arena fina, y la fila del tiempo de tránsito marca 1.109 años. Ahora haz clic en los distintos botones de materiales y no cambies nada más. La grava cubre el mismo kilómetro en 324,1 días. El limo tarda 1,426 × 10⁵ años, la arcilla 1,584 × 10⁷ y el granito sin fracturar 6,338 × 10⁸.

Una sola columna hace todo eso. La conductividad hidráulica va desde 10⁻² m/s en la grava hasta 10⁻¹² m/s en el granito, diez órdenes de magnitud. El flujo, la velocidad, el tiempo de tránsito y el número de Reynolds se derivan todos de ella. Henry Darcy no estaba buscando una ley cuando descubrió la relación. Estaba construyendo el suministro municipal de agua de Dijon y necesitaba saber a qué velocidad funcionarían sus filtros de arena. El hallazgo terminó en un apéndice del informe de 1856 sobre las fuentes de la ciudad.

Este rango explica por qué un ingeniero de vertederos y un perforador de pozos utilizan la misma ecuación y no necesitan hablar nunca. Uno paga para reducir la K al mínimo que permita la compactación. El otro paga para encontrar la K más alta que pueda perforar.

El agua supera al flujo en 2.060 años 🖖

Pulsa Acuífero de arena, 1 km de nuevo. El tiempo de tránsito marca 1.109 años. La fila Flujo de Darcy que hay justo encima indica 1,000 × 10⁻⁸ m/s, y un kilómetro dividido por esa cifra son 3.169 años. Ambos cálculos aritméticos son correctos y solo uno de ellos es un tiempo de tránsito.

El flujo es el caudal dividido por toda la sección transversal, granos incluidos. Así que es un caudal por unidad de terreno y no la velocidad de nada: la mayor parte de esa sección es cuarzo. Si haces pasar ese mismo caudal por el 35% que corresponde a los poros, el agua se mueve 1/n veces más rápido, que es lo que imprime la fila El agua supera al flujo por. Aquí dice 2,86, y 2,86 es exactamente la proporción entre los dos tiempos de tránsito.

Donde el factor es mayor no es donde imaginarías. La grava tiene la porosidad más baja de los cinco sedimentos con 0,28, así que su agua viaja a 3,57 veces el flujo. La arcilla, que es la que retiene más agua con 0,50, solo lo duplica. El caso extremo es el granito, donde un 2% de porosidad hace que la poca agua que hay viaje cincuenta veces más rápido de lo que implica el flujo.

El tiempo de tránsito aquí es la estimación más tardía, a propósito. El transporte sigue el espacio poroso conectado en lugar del total. En la arcilla, una gran parte del agua queda retenida contra las superficies minerales y no se mueve nunca. Un trazador no absorbente como el cloruro llega antes de lo que indica esta página. Algo que se adhiera a la arcilla puede tardar décadas más. Aquí no se calcula ninguna de las dos correcciones.

Un drenaje de grava con un desnivel de uno en veinte ya queda fuera de la ley 🖖

Pulsa Drenaje de grava, 1 en 20: un metro de carga sobre veinte metros de grava limpia, lo que supone un drenaje de tierras nada excepcional. La fila de Reynolds marca 4,9830 frente a un techo de 1, y el panel de la derecha sombrea todo lo que supera el gradiente donde cae ese techo.

La ley de Darcy es lineal. Esta linealidad es una suposición con un precio de entrada. Si sustituimos q = Ki en Re = ρqd/μ nos queda Re(i) = ρKdi/μ, que es lineal en i. Por tanto, el gradiente al que se alcanza cualquier umbral se puede escribir directamente en lugar de buscarlo: i_max = Re_maxμ/(ρKd). Para esta grava, la fila indica 0,0100, un desnivel de un metro en cien. Haz pasar ese mismo metro de carga sobre 100 m y el Re es 0,9966, justo dentro del límite. Sobre 20 m es 4,9830. Sobre 1 m, 99,6605.

La grava es el único de los seis materiales cuyo techo se sitúa en un gradiente que alguien construiría. La arena gruesa alcanza Re = 1 a un gradiente de 2,0068, que encuentras en una columna de laboratorio pero no en un acuífero; la arena fina a 668,9374; la arcilla a 5,0170 × 10⁸, una cifra cuya única lectura honesta es que la arcilla nunca abandonará la ley de Darcy.

Más allá de ese límite, el caudal sigue subiendo con el gradiente pero deja de subir en proporción a él, porque la inercia en los poros empieza a asumir una parte de la presión que antes la resistencia viscosa soportaba en solitario. Así que el caudal que imprime esta página para el drenaje de grava es demasiado grande. La ecuación de Forchheimer añade un término cuadrático al término lineal de Darcy, y a ella recurre en su lugar un ingeniero de drenajes.

Problema resuelto al detalle

Qué atraviesa el revestimiento de un vertedero 7 pasos
Un vertedero tiene un revestimiento de arcilla compactada de 600 mm: conductividad hidráulica 10⁻⁹ m/s, porosidad 0,50. El sistema de recolección retiene 300 mm de lixiviado en la parte superior y la base del revestimiento drena libremente. Calcula cuánto tarda el agua en atravesar la arcilla y después halla cuánta cantidad sale de una hectárea durante una vida útil de treinta años.

Abre este problema en la herramienta
1. El gradiente es donde se gana o se pierde este problema. La carga es la elevación más la presión, así que mide ambas desde la base del revestimiento. La parte superior del lixiviado se sitúa 0,6 m de arcilla más 0,3 m de líquido por encima de esa referencia, lo que supone 0,9 m de carga. La base drena libremente a presión atmosférica, que es nada. Así que se pierden 0,9 m de carga en una trayectoria de 0,6 m de largo. Escribe 0,3 dividido entre 0,6 en su lugar, y habrás contado el líquido pero desechado el peso del agua que reposa en la propia arcilla, que constituye dos tercios de lo que impulsa el flujo.
  
  $i = \frac{Δ h}{L} = \frac{0 . 3 + 0 . 6}{0 . 6} = \frac{0 . 9 m}{0 . 6 m} = 1.5$
2. La ley de Darcy en su forma de flujo: multiplica la conductividad por el gradiente. La fila del Flujo de Darcy indica 1,500 × 10⁻⁹ m/s. Es un número que nadie puede visualizar, así que dale un año. Multiplicado por 3,15576 × 10⁷ segundos se convierte en 0,047336 m de agua al año por cada metro cuadrado, lo que equivale a 47,34 litros por metro cuadrado al año. Un regulador redacta la especificación en forma de conductividad; esto es lo que se obtiene con dicha especificación.
  
  $q = K i = 1 0^{- 9} \cdot 1.5 = 1.500 \times 1 0^{- 9} m s^{- 1} ⟹ q \cdot 3.15576 \times 1 0^{7} = 0.047336 m y r^{- 1} = 47.34 L m^{- 2} y r^{- 1}$
3. Ese flujo no es una velocidad. Divide el caudal por todo el metro cuadrado, sólido incluido, y la mitad de una arcilla tan porosa es sólida. El agua es empujada por la mitad que corresponde a los poros y se mueve al doble del flujo: la Velocidad del agua en el poro indica 3,000 × 10⁻⁹ m/s y la fila de debajo marca 2,00×. La arcilla da el factor más pequeño de cualquier material de esta página. Esto ocurre porque tiene el mayor espacio poroso para repartir el mismo caudal.
  
  $v = \frac{q}{n} = \frac{1 . 500 \times 1 0 ^{- 9}}{0 . 50} = 3.000 \times 1 0^{- 9} m s^{- 1}, \frac{v}{q} = \frac{1}{n} = 2.00$
4. Ahora el cruce. Seiscientos milímetros a 3 × 10⁻⁹ m por segundo son 2 × 10⁸ segundos, y el Tiempo de tránsito en la trayectoria lo convierte en 6,34 años. Usa el flujo en lugar de la velocidad en los poros y obtendrás 12,68 años. Es el mismo error de antes y vale exactamente el doble de la respuesta correcta.
  
  $t = \frac{L}{v} = \frac{0 . 6}{3 . 000 \times 1 0 ^{- 9}} = 2.000 \times 1 0^{8} s = 6.34 yr$
5. Pregúntate si la ley podía responder, porque lo hará de todos modos. El número de Reynolds de poro se basa en el flujo de Darcy y en un diámetro de grano representativo, 2 × 10⁻⁶ m para la arcilla. El resultado es 2,9898 × 10⁻⁹ frente a un techo de 1. El gradiente que alcanzaría ese techo es de 5,0170 × 10⁸: quinientos millones de metros de carga por metro de revestimiento. Nada de lo que le hagas a una arcilla en esta página la saca de la ley de Darcy.
  
  $Re = \frac{ρ q d}{μ} = \frac{998 . 2 \cdot 1 . 500 \times 1 0 ^{- 9} \cdot 2 \times 1 0 ^{- 6}}{1 . 0016 \times 1 0 ^{- 3}} = 2.9898 \times 1 0^{- 9} ≪ 1$
6. Intercambia el relleno y no cambies nada más. Los mismos 600 mm bajo los mismos 0,9 m de carga, rellenados con cada material que ofrece la página, da como resultado la columna de abajo. El limo es un grado más grueso que la arcilla, sigue sin ser algo que alguien llamaría permeable, y se cruza en tres semanas. La proporción de conductividad entre ambos es exactamente de cien. La proporción del tiempo de tránsito es de 111, y esa décima adicional se debe a que la arcilla retiene más agua por metro cúbico que empujar. La grava lo consigue en once segundos, y lo hace a un Re = 149,49, donde la cifra no significa nada.
  
  $fill gravel coarse sand fine sand silt clay granite q (m s^{- 1}) 1.50 \times 1 0^{- 2} 7.50 \times 1 0^{- 4} 1.50 \times 1 0^{- 5} 1.50 \times 1 0^{- 7} 1.50 \times 1 0^{- 9} 1.50 \times 1 0^{- 12} t 11.2 s 4.3 min 3.9 h 20.8 d 6.34 yr 254 yr Re 149.49 0.747 2.24 \times 1 0^{- 3} 2.99 \times 1 0^{- 6} 2.99 \times 1 0^{- 9} 1.49 \times 1 0^{- 12}$
7. La página ya te ha contado todo lo que puede, y un diseñador sigue sin tener una cifra, porque el flujo se mide por metro cuadrado y un vertedero no tiene un metro cuadrado. Una hectárea de ese revestimiento equivale a 10⁴ m², así que deja pasar 1,5 × 10⁻⁵ m³ cada segundo, 473,4 m³ al año y 14.200 m³ a lo largo de una vida útil de treinta años. Eso se acerca a seis piscinas olímpicas de lixiviado, que llegan a través de un revestimiento que rinde exactamente según las especificaciones.
  
  $V = q A t = 1.500 \times 1 0^{- 9} \cdot 1 0^{4} \cdot 30 \cdot 3.15576 \times 1 0^{7} = 1.42 \times 1 0^{4} m^{3}$
Respuesta

El agua atraviesa el revestimiento de 600 mm en 6,34 años, y una hectárea del mismo deja pasar 14.200 m³ en treinta años. Ninguna de las dos cifras es un fracaso. El revestimiento cumple su especificación al milímetro, y 47 litros por metro cuadrado al año es lo que significa esa especificación cuando alguien la convierte a una unidad que una persona puede visualizar.

Lo que la aritmética no resistirá es la carga. Pon 3 m de lixiviado sobre el revestimiento en lugar de 0,3 m, que es lo que hace una capa de recolección obstruida, y el gradiente pasa de 1,5 a 6. El flujo es lineal respecto al gradiente, así que todas las cifras anteriores se multiplican por cuatro: 6,34 años se convierten en 1,58, y el volumen de treinta años pasa a ser de 56.800 m³. El límite de 300 mm de la normativa no es realmente una declaración sobre el revestimiento en absoluto. Una vez que la arcilla está en el suelo, la carga es el único término de la ecuación que alguien puede seguir cambiando.

$Δ h : 0.9 \to 3.6 m ⟹ i : 1.5 \to 6, t = \frac{6 . 34}{4} = 1.58 yr, V = 4 V_{0} = 5.68 \times 1 0^{4} m^{3}$

Referencias (3)

The experiment itself, in an appendix to a report about a city's water supply: H. Darcy, Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon. Victor Dalmont, Paris, 1856.
Where the conductivity and porosity ranges for real materials are compiled: R. A. Freeze and J. A. Cherry, Groundwater. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1979.
The Reynolds-number convention used here, and where the linear law stops: J. Bear, Dynamics of Fluids in Porous Media. American Elsevier, New York, 1972. Reprinted by Dover, 1988.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.