Ley de Poiseuille y flujo en tuberías

Fija un radio, una longitud y una presión para ver cuánto transporta una tubería y dónde la ley deja de describir lo que ocurre en su interior.

Ejemplo resuelto — Ley de Poiseuille y flujo en tuberías

Caudal	120,4 L/min
Velocidad media	39,9 m/s
Número de Reynolds	318.404
Régimen de flujo	Turbulento
Resistencia hidráulica	9,96 × 10⁷ Pa·s/m³
Radio necesario	3,3605 mm
Régimen con ese radio	Turbulento

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Ley de Poiseuille y flujo en tuberías

La ley de Poiseuille explica lo que consigues con una diferencia de presión en un tubo: Q = πΔp r⁴ / (8ηL). La cuarta potencia es la clave de todo y surge por dos motivos a la vez. Un tubo más ancho tiene mayor sección transversal para llevar fluido, y el líquido de su centro queda más lejos de la pared que va frenando el movimiento. Lo primero aporta un r² y lo segundo te da otro r².

Qué significa cada símbolo

Q: caudal volumétrico, lo que sale por segundo
Δp: la diferencia de presión que lo impulsa
r: el radio del tubo, el término que se eleva a la cuarta potencia
L: su longitud, a la cual el flujo resulta simplemente inversamente proporcional
η: la viscosidad del fluido

Falla cuando: Falla con la sangre, el ejemplo al que todo el mundo acude. La sangre no es newtoniana: se vuelve más fluida cuando la sometes a cizallamiento. Una arteria es elástica en lugar de rígida, y el flujo es pulsátil en vez de constante. El estrechamiento del 30% de esta página ofrece el tipo de resultado correcto, pero el número equivocado para cualquier paciente concreto.

Estrecha una arteria un 30 % y perderás el 76 % del caudal 🖖

El caudal a través de una tubería de sección circular es proporcional a la cuarta potencia del radio. Si reduces el radio a la mitad, el caudal no se reduce a la mitad, ni a la cuarta parte: se divide por 16. Y por 16,0000 en lugar de aproximadamente 16, porque r⁴ es el único término que depende del radio en Q = πΔP·r⁴ / 8ηL y nada más en la fórmula ha cambiado.

Pulsa Tubo fino (medio milímetro de radio, un metro de tubería, 5000 Pa) y la fila del caudal indicará 7,351 mL/min. Pulsa Mitad del radio y leerás 0,459 mL/min, que es la primera cifra dividida por 16 y luego redondeada.

Los pequeños cambios impactan más de lo que parece. Quítale un 10 % a un radio y el 34,4 % del caudal se irá con él. Redúcelo un 30 % y conservarás el 24,0 %, que es exactamente lo que hacen los dos preajustes de sangre de la herramienta: bajar de 2 mm a 1,4 mm a los mismos 200 Pa, una pérdida del 76,0 %.

Una tubería principal de agua estrechada un 10 % por la cal sigue suministrando alrededor de dos tercios de su caudal y nadie llama a nadie. Una arteria estrechada un 10 % opera con la misma aritmética sin tener dos tercios de sobra. Poiseuille era médico. Midió la cuarta potencia en la década de 1840 empujando líquidos a través de tubos finos para entender cómo se mueve la sangre.

Un 18,92 % más de radio vale el doble de presión 🖖

Q es lineal respecto a ΔP y cuártico respecto a r, así que tienes dos formas de duplicar un caudal y cuestan cosas muy diferentes.

Toma el ajuste de agua laminar: 0,5 mm de radio, 1 m de tubería, 5000 Pa. La fila del caudal indica 7,351 mL/min. Sube la presión a 10 000 Pa y marcará 14,703. O bien deja la presión donde está y amplía el radio a 0,5946 mm, un 18,92 % más, y leerás 14,702. La milésima que falta es el resto de 2^1/4 = 1,1892071, que eliminaste al escribir cuatro decimales.

A cuál de las dos puedes recurrir no es una cuestión de física. La presión de la red es competencia de la empresa de aguas, y un corazón capaz de duplicar su rendimiento a demanda no sería el que te preocupase.

Re 318 404: el caudal con el que se abre esta página es ficción 🖖

Esta página se abre con agua pasando por una tubería de 4 mm, de 10 m de longitud, empujada por 2 bar. La ley de Poiseuille devuelve 120,4 L/min y la aritmética que lo respalda es indiscutible. Ese caudal implica una velocidad media de 39,9 m/s, unos 144 km/h de agua, y un número de Reynolds de 318 404, unas 138 veces los 2300 por debajo de los cuales se cumple la ley.

Por encima de ese techo, el flujo deja de ser laminar. Pierde energía en remolinos además de por la cizalladura viscosa, así que una tubería real a 2 bar transporta bastante menos de 120,4 L/min. La fórmula no tiene ningún término para darse cuenta de esto.

Por lo tanto, las filas de caudal, número de Reynolds y régimen de flujo se vuelven rojas, y el gráfico sombrea fuera del área verde todo lo que supere los 0,7732 mm. Estrecha la tubería a 0,77 mm y la herramienta volverá a ponerse verde: Re 2271, laminar, una respuesta que puedes quedarte. Todos los demás preajustes de esta página ya están ahí.

Problema resuelto al detalle

Lo que el corazón tendría que pagar 7 pasos
Un segmento de arteria de 10 cm, con 2 mm de radio, transporta sangre (η = 3,5 × 10⁻³ Pa·s, ρ = 1060 kg/m³) con una caída de presión de 200 Pa. Una placa estrecha la sección un 30 %, hasta 1,4 mm. Halla el caudal restante y luego encuentra la caída de presión que devolvería el caudal original a través del vaso estrechado.

Abre este problema en la herramienta
1. Empieza con el vaso sano y mantén todo en el SI. Radio de 2 × 10⁻³ m, longitud de 0,1 m, 200 Pa de diferencia, sangre a 3,5 × 10⁻³ Pa·s. La cuarta potencia del radio es 1,6 × 10⁻¹¹ m⁴, y la expresión completa resulta en 3,590 × 10⁻⁶ m³/s, que son 0,2154 litros por minuto.
  
  $Q_{0} = \frac{π Δ P r _{0}^{4}}{8 η L} = \frac{π \cdot 200 \cdot ( 2 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{4}}{8 \cdot 3.5 \times 1 0 ^{- 3} \cdot 0.1} = 3.590 \times 1 0^{- 6} m^{3} /s$
2. Ahora estréchalo. La longitud, la presión y la sangre quedan intactas, de modo que la proporción entre los dos caudales es la de r⁴ y de nada más en la fórmula. 1,4 dividido por 2 es 0,7, y 0,7⁴ es 0,2401. Una sección que aún parece casi normal transporta el 24,01 % de lo que lo hacía. La fila de caudal marca 51,723 mL/min.
  
  $\frac{Q _{1}}{Q _{0}} = (\frac{r _{1}}{r _{0}})^{4} = 0. 7^{4} = 0.2401 \Rightarrow Q_{1} = 8.621 \times 1 0^{- 7} m^{3} /s = 51.723 mL/min$
3. La velocidad media es ese caudal repartido por la sección. Al dividir Q por πr² se cancelan dos de las cuatro potencias y queda v̄ = ΔP r²/(8ηL), de manera que la velocidad decae con el cuadrado mientras que el caudal cae con la cuarta potencia. Aquí da exactamente 0,140 m/s, y la fila de velocidad media coincide.
  
  $\overset{v}{ˉ} = \frac{Q _{1}}{π r _{1}^{2}} = \frac{Δ P r _{1}^{2}}{8 η L} = \frac{200 \cdot ( 1.4 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{8 \cdot 3.5 \times 1 0 ^{- 3} \cdot 0.1} = 0.140 m/s$
4. Antes de fiarte de nada de esto, comprueba que la ley tenga permiso para hablar. La deducción de Poiseuille asume flujo laminar, y la prueba es el número de Reynolds construido sobre el diámetro: 119, frente a un tope de 2300. La fila de régimen de flujo dice Laminar. Fíjate en qué dirección lo empujó el estrechamiento. Vuelve a poner un 2 en el campo del radio y Re será 346, por lo que asfixiar el caudal hizo que los cálculos fuesen más seguros en lugar de más inestables.
  
  $Re = \frac{ρ v ˉ D}{η} = \frac{1060 \cdot 0.140 \cdot 2.8 \times 1 0 ^{- 3}}{3.5 \times 1 0 ^{- 3}} = 118.7 < 2300$
5. La misma cuarta potencia rige la resistencia. R = 8ηL/πr⁴ es la presión que exige un vaso por unidad de caudal, y la fila de resistencia hidráulica indica 2,32 × 10⁸ Pa·s/m³ donde la arteria sana marcaba 5,57 × 10⁷. El factor entre ambas es de 4,1649, que es 0,2401 a la inversa.
  
  $R = \frac{8 η L}{π r ^{4}} : R_{0} = 5.57 \times 1 0^{7}, R_{1} = 2.32 \times 1 0^{8} Pa s/ m^{3}, \frac{R _{1}}{R _{0}} = \frac{1}{0.2401} = 4.1649$
6. Q = ΔP/R es la ley de Poiseuille reorganizada, y es el límite en el que la circulación tiene que vivir. Mantener Q en los 3,590 × 10⁻⁶ m³/s del vaso sano a través de la nueva resistencia cuesta ΔP = Q₀R₁ = 833 Pa. El caudal es lineal respecto a la presión, así que la caída de presión tiene que aumentar exactamente en el factor que aumentó la resistencia: 200 × (10/7)⁴, y (10/7)⁴ es 10 000/2401.
  
  $Δ P_{1} = Q_{0} R_{1} = 3.590 \times 1 0^{- 6} \cdot 2.320 \times 1 0^{8} = 833 Pa$
7. Comprueba la respuesta con su propia suposición. A 833 Pa, la velocidad media en el vaso estrechado es de 0,583 m/s y el número de Reynolds es 494, todavía muy por debajo de 2300, así que la ley que produjo la cifra sigue vigente en el estado que predice. Escribe 833 en el campo de presión con el radio a 1,4 mm y la fila de caudal volverá a 0,22 L/min, donde empezó la arteria sana.
  
  $\overset{v}{ˉ}_{1} = 0.583 m/s, Re_{1} = \frac{1060 \cdot 0.583 \cdot 2.8 \times 1 0 ^{- 3}}{3.5 \times 1 0 ^{- 3}} = 494 < 2300$
Respuesta

833 Pa, frente a los 200 Pa que necesitaba el vaso sano. Cuatro veces y un sexto la presión de bombeo para mover los mismos litros por minuto a través de una sección 0,6 mm más estrecha. La herramienta te resolverá la otra inversión: escribe 0,2154 en la casilla de caudal objetivo y la fila del radio necesario dirá 1,9999 mm, que es de nuevo la arteria sana, y que es la respuesta de un cirujano y no la de un corazón. Nada en la página despeja la presión, y la presión es la mitad que un cuerpo tiene que conseguir.

$Δ P_{1} = Δ P_{0} (\frac{r _{0}}{r _{1}})^{4} = 200 \cdot \frac{1 0 ^{4}}{2401} = 833 Pa$

Referencias (1)

The measurements the fourth power came out of, made by a physician looking for how blood moves: J. L. M. Poiseuille, "Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très petits diamètres." Mémoires présentés par divers savants à l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France 9, 1846, pp. 433–544.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.