Trazador de Rayos con Lente Delgada

Ajusta la distancia focal y la distancia del objeto para ver cómo una lente delgada forma imágenes reales o virtuales.

Ejemplo resuelto — Trazador de Rayos con Lente Delgada

Distancia de la imagen	166.7 mm
Aumento	-0.67×
Altura de la imagen	26.7 mm

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

El objeto y la imagen pueden intercambiarse 🖖

La ecuación de la lente delgada 1/v = 1/f − 1/u es simétrica en u y v, y esta herramienta lo demuestra. Carga el ejemplo convergente —f = 100 mm, objeto a 250 mm— y la distancia imagen marca 166,7 mm con −0,67×. Ahora escribe 166,7 en el campo de la distancia objeto: la imagen se va a 250 mm con −1,50×. Los dos aumentos multiplicados dan exactamente 1. Toda lente tiene, por tanto, dos posiciones del objeto que enfocan sobre la misma pantalla, una que amplía y otra que reduce, y la distancia entre ellas proporciona f sin necesidad de localizar nunca el centro de la lente: el clásico método de desplazamiento de Bessel.

Con dos rayos basta 🖖

Una lente delgada desvía todos los rayos que salen de un punto del objeto para que vuelvan a reunirse en un único punto imagen, así que solo hace falta seguir dos sencillos. El rayo paralelo sale horizontal de la punta y luego pasa por el foco; el rayo central atraviesa el centro de la lente sin desviarse. Donde ambos se cruzan está la imagen. Si solo coinciden al prolongarlos hacia atrás, la imagen es virtual: el caso de la lupa.

La imagen que vuela por el infinito 🖖

Acerca el objeto al foco y observa cómo la distancia imagen v se dispara hacia +∞, desaparece y reaparece a la izquierda como −∞: una imagen virtual. Nada se teletransporta; la ecuación de las lentes 1/v = 1/f − 1/u es una transformación de Möbius (homográfica), y esas transformaciones tratan el infinito como un punto más. Al cruzar u = f, la imagen simplemente pasa suavemente por ese punto en el infinito y cambia de real a virtual.

Problemas resueltos al detalle

Un objeto de 40 mm a 250 mm por delante de una lente convergente 5 pasos
Un objeto de 40 mm se encuentra a 250 mm delante de una lente convergente de distancia focal 100 mm. Halle la imagen —dónde, de qué tamaño y en qué orientación— y determine después la única cosa que esta lente no puede hacer.
1. Una sola ecuación rige toda la página. Despéjela para obtener la distancia de la imagen antes de introducir ningún número, de modo que el cálculo aritmético se realice una sola vez.
  
  $\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}} ⟹ \frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}}$
2. Sustituya. Ambos inversos comparten un denominador de 250, que abarca la totalidad del cálculo; la herramienta muestra este valor.
  
  $\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{100} - \frac{1}{250} = \frac{2.5 - 1}{250} = \frac{1.5}{250} ⟹ d_{i} = 166.7 mm$
3. El aumento es el cociente de las dos distancias, negativo porque una imagen real está invertida. El objeto se halla más allá de 2f, por lo que la imagen tenía que resultar más pequeña: es el proyector funcionando a la inversa.
  
  $m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{166.7}{250} = - 0.67, h^{'} = m h = - 0.67 \times 40 = - 26.7 mm$
4. La forma de Newton de esta misma ley mide ambas distancias desde los puntos focales en lugar de desde la lente. Su producto es exactamente f² para cualquier posición del objeto, una afirmación más potente de lo que la forma recíproca parece capaz de expresar.
  
  $x = d_{o} - f = 150, x^{'} = d_{i} - f = 66.7, x x^{'} = 150 \times 66.7 = 10000 = f^{2}$
5. Pregúntese ahora cuán cerca pueden llegar a estar el objeto y la imagen. Minimizar su separación conduce a una disposición simétrica, y la respuesta no depende de nada más que de la propia lente.
  
  $D = d_{o} + d_{i}, \frac{d D}{d d _{o}} = 0 \Rightarrow d_{o} = d_{i} = 2 f \Rightarrow D_{m i n} = 4 f = 400 mm (here 416.7)$
Respuesta

La imagen se forma 166,7 mm detrás de la lente, invertida y de 26,7 mm de altura. La última línea es la verdaderamente útil. El objeto y la imagen distan aquí 416,7 mm entre sí, y ningún ajuste de la distancia al objeto los acerca jamás a menos de 4f = 400 mm: a medida que se desplaza el objeto hacia el foco, la imagen se aleja más rápido de lo que el objeto se aproxima. Por tanto, un proyector que deba proyectar una imagen real sobre una pantalla tiene una distancia mínima de proyección estricta, determinada exclusivamente por su distancia focal; razón por la cual una habitación corta requiere una lente corta, no una más ingeniosa.

$d_{i} = 166.7 mm, m = - 0.67, h^{'} = 26.7 mm$
La lupa y por qué en el mango pone 5× 7 pasos
Sostén una lente de 50 mm a 30 mm por encima de un escarabajo de 40 mm. ¿Dónde está la imagen, cuál es su orientación y qué tamaño tiene? Explica después por qué la herramienta muestra 2,50× para una lupa en cuyo mango está grabado 5×.

Abre este problema en la herramienta
1. El método no cambia: usas la misma ecuación del problema 1, pero con una lente más corta. Lo que varía es que ahora el objeto se ubica dentro de la distancia focal, en lugar de muy por fuera de ella.
  
  $\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}} = \frac{1}{50} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 5}{150} = - \frac{1}{75} ⟹ d_{i} = - 75.0 mm$
2. La distancia imagen resulta negativa, y esa es toda la respuesta a «dónde». Un valor negativo significa que los rayos emergen de la lente divergiendo aún, por lo que nunca se cruzan y ninguna pantalla podrá recoger nada. Prolongados hacia atrás, parecen provenir de un punto situado a 75 mm en el mismo lado que el escarabajo, que es donde tu ojo localiza la imagen.
3. El aumento conserva el signo. Un valor de m positivo significa que la imagen es derecha, de modo que el escarabajo se ve en su posición natural con 100 mm de altura, y la herramienta cataloga la imagen como virtual y derecha.
  
  $m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{- 75.0}{30} = + 2.50, h^{'} = m h = 2.50 \times 40 = 100.0 mm$
4. Resuelve la ecuación de forma general en vez de para un solo caso, y el comportamiento de toda lupa se deducirá de una única fracción. A una distancia menor que la focal, el aumento es mayor que uno y positivo, para cualquier lente y a cualquier distancia, sin excepciones que memorizar.
  
  $m = \frac{f}{f - d _{o}} ⟹ d_{o} < f \Rightarrow m > 1 and m > 0 always$
5. Vale la pena comprobar los dos casos extremos con tus propias manos. Acerca la lente hasta apoyarla sobre el escarabajo y el aumento pasa a ser 1, que es lo que hace una lente posada directamente sobre una página. Elévala hacia el foco y el aumento se dispara, aunque al mismo tiempo la imagen huye hacia el infinito y tu ojo la pierde. Por eso el preajuste «Objeto en el foco» muestra ∞ en lugar de un número.
  
  $d_{o} \to f^{-} : m \to + \infty, d_{o} \to 0 : m \to 1$
6. ¿De dónde sale entonces el 5×? No de este cálculo. Lo que ofrece una lupa es aumento angular, no lineal: lo grande que parece el escarabajo en comparación con observarlo a la distancia más próxima a la que puede enfocar un ojo relajado, fijada por convenio en 250 mm. Coloca el objeto en el foco, deja que los rayos salgan paralelos y la comparación se reduce al cociente de dos ángulos.
  
  $M = \frac{h / f}{h / D} = \frac{D}{f} = \frac{250}{50} = 5 \times (D = 250 mm)$
7. Si en su lugar acercas la imagen hasta ese punto próximo de 250 mm, la misma lente alcanza 6×. Ambas convenciones están en uso, y por eso una lupa de 5× de un fabricante y una de 6× de otro pueden ser exactamente la misma pieza de cristal. La herramienta indica el aumento lineal a la distancia concreta que has elegido, y ese es el número que percibe tu ojo.
  
  $M_{d_{i} = - D} = 1 + \frac{D}{f} = 1 + 5 = 6 \times$
Respuesta

A 75 mm de la lente, en el mismo lado que el escarabajo, derecha, de 100 mm de altura y virtual. El 2,50× que muestra la página y el 5× del mango miden magnitudes distintas: uno es el cociente entre la altura de la imagen y la del objeto en la posición en la que sostienes la lente; el otro, una relación entre ángulos aparentes según un convenio de observación preestablecido.

$d_{i} = - 75.0 mm, m = + 2.50, h^{'} = 100.0 mm (virtual, upright)$

Ruta de aprendizaje

Desviar la luz

Referencias (2)

The thin-lens conjugate relation and the two-position focal-length method: Eugene Hecht, Optics, 5th edition, ch. 5. Pearson, 2017. ISBN 978-0-13-397722-6.
Gaussian optics and conjugate planes, in full: M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 7th (expanded) edition, ch. 4. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-64222-4.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.