Simulador de refracción — Ley de Snell

La luz incide en el agua a 30°. Encuentra a dónde va y cuánta se refleja — luego halla el ángulo en el que un pez no puede ver nada hacia afuera. n₁ = 1.00 (aire), n₂ = 1.33 (agua).

1. La refracción es una afirmación sobre la componente de la onda a lo largo de la superficie: debe coincidir en ambos lados, o los frentes de onda se romperían. Esa condición de coincidencia es la ley de Snell, y se deduce de igual manera a partir del principio de Fermat.

   $$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$$

2. Despeja el ángulo transmitido. El simulador de arriba imprime esto, y el rayo se desvía hacia la normal porque está entrando en el medio más lento.

   $$\sin {\theta }_2=\frac{1.00\sin 30^{\circ }}{1.33}=0.3759⟹{\theta }_2=22.08^{\circ }$$

3. Cuánto se refleja es una cuestión aparte que la ley de Snell no puede responder; requiere las ecuaciones de Fresnel, que tratan las dos polarizaciones de manera diferente.

   $$R_s={\left|\frac{n_1\cos {\theta }_1-n_2\cos {\theta }_2}{n_1\cos {\theta }_1+n_2\cos {\theta }_2}\right|}^2,R_p={\left|\frac{n_1\cos {\theta }_2-n_2\cos {\theta }_1}{n_1\cos {\theta }_2+n_2\cos {\theta }_1}\right|}^2$$

4. La luz no polarizada es una mezcla equitativa, así que saca el promedio. La herramienta imprime esta cifra, y con un 2% es la razón por la que una ventana es una ventana y no un espejo.

   $$R=\frac{1}{2}(R_s+R_p)=2.11\%$$

5. Ahora invierte el trayecto. Yendo en sentido contrario — del agua al aire — existe un ángulo a partir del cual la ecuación exige sin θ₂ > 1, lo cual no tiene solución.

   $$\text{water}\to \text{air}:{\theta }_c=\arcsin \frac{n_{\text{air}}}{n_{\text{water}}}=\arcsin \frac{1.00}{1.33}=48.75^{\circ }$$

El panel desvía el rayo hasta 22,08° e informa de una reflectancia del 2,11 %. Esa cifra es el promedio de dos números que no muestra por separado — y en un ángulo concreto uno de ellos es exactamente cero. Encuéntralo.

1. Empieza por la refracción que imprime el panel, directamente de la ley de Snell a 30° hacia el agua.

   $$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2:{\theta }_2=\arcsin \left(\frac{1.00}{1.33}\sin 30^{\circ }\right)=22.08^{\circ }$$

2. Mira ahora qué es realmente la reflectancia. La luz tiene dos polarizaciones respecto a la superficie, se reflejan en distinta medida, y 2,11 % es su media. Promediar solo vale la pena cuando las dos son comparables.

   $$R=\frac{R_s+R_p}{2}=2.11\%,R_s\ne R_p$$

3. Escribe el coeficiente de Fresnel de la polarización paralela y pregunta cuándo se anula su numerador. Es una pregunta algebraica honesta con respuesta exacta.

   $$R_p={\left|\frac{n_2\cos {\theta }_1-n_1\cos {\theta }_2}{n_2\cos {\theta }_1+n_1\cos {\theta }_2}\right|}^2=0⟺n_2\cos {\theta }_1=n_1\cos {\theta }_2$$

4. Esa condición se reordena en algo notable: se cumple exactamente cuando los rayos reflejado y refractado salen perpendiculares entre sí. Al sustituir, todo se convierte en una única tangente.

   $${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }⟹\sin {\theta }_2=\cos {\theta }_1⟹\tan {\theta }_B=\frac{n_2}{n_1}$$

5. Mete el agua. A 53,06° la componente paralela no refleja absolutamente nada, y todo lo que rebota en la superficie queda polarizado en la otra dirección.

   $${\theta }_B=\arctan \left(\frac{1.33}{1.00}\right)=53.06^{\circ },{\theta }_2=90^{\circ }-53.06^{\circ }=36.94^{\circ }$$

6. Fíjate en dónde queda eso respecto del otro ángulo especial que la herramienta conoce — la reflexión total interna, que vive al otro lado de la frontera y en un ángulo menor.

   $${\theta }_c=\arcsin \left(\frac{1.00}{1.33}\right)=48.75^{\circ }<{\theta }_B$$