Mapa de chi-cuadrado y residuos

Cambia los recuentos de las celdas y observa cómo se actualizan al instante la significancia y los puntos calientes de residuos.

Ejemplo resuelto — Mapa de chi-cuadrado y residuos

Estadístico chi-cuadrado	2.5943
Grados de libertad	2
Valor p	0.2733
Celda esperada mínima	8.5
r1, c2	0.8182
r2, c2	0.8182
r1, c3	0.2647
r2, c3	0.2647

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Los residuos dicen qué casilla rompió el ajuste 🖖

El total de chi-cuadrado resume una tabla entera en un solo número, pero no indica dónde está el desajuste. El mapa de residuos sí. Carga Asociación fuerte: χ² vale 24,3415 con 2 grados de libertad. La mayor contribución individual corresponde a la fila 1, columna 1: se observan 20 casos frente a los 11,20 esperados, y esa celda aporta 6,91 al total. La prueba también presupone que cada frecuencia esperada sea, como mínimo, de unas 5. Carga Datos escasos: ninguna de las nueve lo cumple. La menor es 0,13, esa única celda aporta el 65% del estadístico y el valor p aún muestra un tentador 0,0521.

Dónde vive realmente la asociación 🖖

Un único valor de chi-cuadrado y su valor p solo te dicen si existe alguna relación entre dos variables categóricas: un veredicto de sí o no. Lo verdaderamente revelador está en el mapa de residuos estandarizados. Cada celda coloreada señala qué combinaciones concretas aparecen con mucha más o mucha menos frecuencia de la que cabría esperar si las variables fueran independientes. Un residuo positivo indica una combinación sobrerrepresentada; uno negativo, una combinación infrarrepresentada. Fíjate en las celdas de color más intenso, no en las frecuencias observadas más altas.

La corrección de Fisher que Pearson rechazó 🖖

Los grados de libertad que se muestran aquí, (r−1)(c−1), proceden de una agria disputa estadística. Karl Pearson introdujo la prueba de chi-cuadrado en 1900, pero dedujo sus grados de libertad del simple número de categorías. En 1922 Ronald Fisher demostró que cada frecuencia esperada estimada a partir de los márgenes de la propia tabla cuesta un grado de libertad, por lo que una tabla r×c tiene (r−1)(c−1), no rc−1. Pearson rechazó la corrección el resto de su vida, pero Fisher tenía razón, y es la fórmula que usa cada tabla aquí.

JI CUADRADO — ¿HAY ASOCIACIÓN, Y ES SIQUIERA VÁLIDA LA PRUEBA?

¿En qué caso de ji cuadrado está?

La prueba compara lo observado con lo que habría producido la independencia: esperado = total de fila × total de columna ÷ total general. El estadístico suma las diferencias al cuadrado, y los residuos estandarizados dicen qué celdas lo impulsaron. Hay dos preguntas que responder en orden: primero si las frecuencias esperadas son bastante grandes para que la prueba signifique algo, y solo después si la asociación es real.

Independencia perfecta: el estadístico es exactamente cero E = R_iC_j/n

Un χ² pequeño: el patrón cabe dentro de lo que produce el azar χ² < χ²_α

Un χ² grande: y los residuos nombran las celdas responsables r = (O − E)/√E

Frecuencias esperadas demasiado pequeñas: la prueba no se aplica E ≥ 5

Independencia perfecta: el estadístico es exactamente cero

Lo que sabe: Cada celda coincide con su frecuencia esperada, así que todo residuo es cero y χ² con él. Las filas no dicen nada sobre las columnas.

Estadístico: E = R_iC_j/n

Ejemplo resuelto: Una tabla 3×3 con todas las celdas en 8: cada frecuencia esperada también vale 8, χ² = 0 con 4 grados de libertad, p = 1,000

Abrir este caso: Referencia equilibrada

Independencia perfecta: el estadístico es exactamente cero. Cada frecuencia observada iguala a la esperada, así que ninguna celda aporta nada. Cada celda coincide con su frecuencia esperada, así que todo residuo es cero y χ² con él. Las filas no dicen nada sobre las columnas. — Cada frecuencia observada iguala a la esperada, así que ninguna celda aporta nada.

Un χ² pequeño: el patrón cabe dentro de lo que produce el azar

Lo que sabe: Las frecuencias se apartan de las esperadas, pero no más de lo que daría el ruido de muestreo. χ² se queda por debajo del valor crítico y todos los residuos son pequeños.

Estadístico: χ² < χ²_α

Ejemplo resuelto: Una tabla 2×3 con 60 observaciones → χ² = 2,594 con 2 grados de libertad, p = 0,273. El mayor residuo estandarizado es −0,90.

Abrir este caso: Dependencia débil

Un χ² pequeño: el patrón cabe dentro de lo que produce el azar. Las celdas se desvían un poco de lo esperado, pero ninguna destaca. Las frecuencias se apartan de las esperadas, pero no más de lo que daría el ruido de muestreo. χ² se queda por debajo del valor crítico y todos los residuos son pequeños. — Las celdas se desvían un poco de lo esperado, pero ninguna destaca.

Un χ² grande: y los residuos nombran las celdas responsables

Lo que sabe: El estadístico supera el valor crítico con holgura. Lo que importa después no es el valor p sino qué celdas lo produjeron, y la tabla de residuos responde directamente a eso.

Estadístico: r = (O − E)/√E

Ejemplo resuelto: La misma forma 2×3 con 60 observaciones → χ² = 24,342 con 2 grados de libertad, p = 0,000005, con un residuo estandarizado de +2,63 en la celda mayor

Abrir este caso: Asociación fuerte

Un χ² grande: y los residuos nombran las celdas responsables. Dos celdas quedan muy por encima de lo esperado y dos muy por debajo: la asociación tiene dirección. El estadístico supera el valor crítico con holgura. Lo que importa después no es el valor p sino qué celdas lo produjeron, y la tabla de residuos responde directamente a eso. — Dos celdas quedan muy por encima de lo esperado y dos muy por debajo: la asociación tiene dirección.

Frecuencias esperadas demasiado pequeñas: la prueba no se aplica

Lo que sabe: Ji cuadrado es una aproximación que necesita frecuencias esperadas razonablemente grandes. Cuando son minúsculas, el valor p que informa no es de fiar, diga lo que diga.

Estadístico: E ≥ 5

Ejemplo resuelto: Una tabla 3×3 con solo 8 observaciones → las 9 frecuencias esperadas están por debajo de 5, y la menor vale 0,13. χ² = 9,389 da p = 0,052, y ese número no debería usarse.

Abrir este caso: Caso de advertencia por escasez

Frecuencias esperadas demasiado pequeñas: la prueba no se aplica. Nueve celdas, ocho observaciones: las frecuencias esperadas son demasiado pequeñas para aproximar. Ji cuadrado es una aproximación que necesita frecuencias esperadas razonablemente grandes. Cuando son minúsculas, el valor p que informa no es de fiar, diga lo que diga. — Nueve celdas, ocho observaciones: las frecuencias esperadas son demasiado pequeñas para aproximar.

Referencias (2)

Insight block 3 — where the test came from: K. Pearson, "On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling." Philosophical Magazine 50(302), 157–175, 1900.
And the correction Pearson never accepted, which is the (r−1)(c−1) used here: R. A. Fisher, "On the Interpretation of χ² from Contingency Tables, and the Calculation of P." Journal of the Royal Statistical Society 85(1), 87–94, 1922. The DOI resolves to the publisher's 2018 digitisation of that volume.

Problema resuelto al detalle

La prueba completa y el valor p para una tabla 2×3 a mano 5 pasos
Una tabla de 2×3 da χ² = 2,5943 con 2 grados de libertad y un valor p de 0,2733. Resuelva la prueba completa a mano —incluido el valor p, que para esta cantidad de grados de libertad no requiere tabla alguna—.
1. Las frecuencias esperadas presuponen que las dos variables son independientes, por lo que cada casilla es el total de su fila multiplicado por el total de su columna dividido entre el total general. La menor es 8,5, holgadamente por encima de la regla empírica de 5 por debajo de la cual la aproximación no resulta fiable.
  
  $E_{ij} = \frac{R _{i} C _{j}}{N} : \frac{30 \times 21}{60} = 10.5, \frac{30 \times 22}{60} = 11, \frac{30 \times 17}{60} = 8.5$
2. Cada casilla aporta su desviación al cuadrado dividida entre su valor esperado. Dividir entre E es lo que convierte una discrepancia absoluta en una magnitud comparable —diferir en 3 sobre 11 importa más que diferir en 3 sobre 1100—.
  
  $χ^{2} = \sum \frac{( O - E ) ^{2}}{E} = 2 (0.2143 + 0.8182 + 0.2647) = 2.5943$
3. Los grados de libertad cuentan las casillas que se pueden rellenar libremente una vez fijados los márgenes. Dados los totales de filas y columnas, la elección de dos casillas determina las demás.
  
  $df = (r - 1) (c - 1) = 1 \times 2 = 2$
4. Dos grados de libertad es el caso especial: la distribución chi-cuadrado es entonces simplemente una exponencial, y el valor p es e elevado a menos la mitad del estadístico. Sin necesidad de tablas ni de programas.
  
  $df = 2 ⟹ p = e^{- χ^{2} /2} = e^{- 1.29717} = 0.2733$
5. Observar de dónde procede el estadístico resulta más informativo que ver solo el total. La columna central aporta el 63,1 % del mismo —las casillas de 8 frente a 11 y de 14 frente a 11—, de modo que si algo está ocurriendo, es ahí.
  
  $\frac{2 \times 0.8182}{2.5943} = 63.1% of χ^{2} is one column$
Respuesta

La herramienta muestra χ² = 2,5943, gl = 2, p = 0,2733 y una frecuencia esperada mínima de 8,5. Un valor p de 0,27 no aporta indicios de asociación. Tampoco demuestra independencia: una tabla con 60 observaciones puede ocultar fácilmente un efecto moderado. Conviene fijarse en el último paso. El valor total de chi-cuadrado dice muy poco por sí solo; las contribuciones de cada celda señalan dónde mirar. Pulsa el preajuste de asociación fuerte y observa cómo desaparece la contribución de la columna central, mientras que las cuatro celdas de las esquinas reúnen el 99,5 % de la suma.

$p = e^{- χ^{2} /2} when df = 2; p = 0.27 ⟹ no evidence of association$

Ruta de aprendizaje

¿Cuándo es real una diferencia?

Lleva a Tamaño de la muestra la misma partición allí donde no hay nada que promediar, solo recuentos por categorías.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-29

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

Todas las lecciones de Estadística y Finanzas →

Problemas de ejemplo

Dependencia débil - chi² = 2,5943 con 2 grados de libertad da p = 0,2733, y el mayor residuo estandarizado es -0,905. No hay aquí indicios de que las variables dejen de ser independientes.
Asociación fuerte - chi² = 24,3415 con 2 grados de libertad; p es inferior a 0,00001. La mayor contribución individual corresponde a la fila 1, columna 1: se observan 20 casos donde la independencia predice 11,20, con un residuo de +2,63.
Caso de advertencia por escasez - p = 0,0521, rozando la significación, pero sin valor. Las nueve frecuencias esperadas son inferiores a 5; la menor es 0,13 y esa única celda aporta el 65% del estadístico.
Referencia equilibrada - Cada celda contiene 8, de modo que todas las frecuencias esperadas son 8, todos los residuos son 0 y chi² vale exactamente 0, con p = 1. Es el único ajuste perfecto de la herramienta.