Planificador de Tamaño de Muestra y Margen de Error

planifica el tamaño de muestra y la precisión de una encuesta

Ejemplo resuelto — Planificador de Tamaño de Muestra y Margen de Error

Confianza	95% (z* = 1.96)
Margen de error	5,0%

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Una encuesta nacional no necesita más gente que una local 🖖

Cuánta gente necesitas apenas depende de cuánta gente hay. Con 95 % de confianza y ±5 %, esta herramienta pide 385 encuestados tanto si la población es de un millón como si es totalmente ilimitada: las dos dan la misma respuesta. Solo cuando la población baja a algo como 5.000 empieza a morder la corrección por población finita, y aun entonces apenas recorta 385 hasta 357. La intuición que esto derriba es la de que una muestra deba ser un porcentaje del total, lo que haría desesperada cualquier encuesta a un país entero; lo que de verdad le importa a la fórmula es cuánta variación aleatoria estás dispuesto a tolerar, y una población de millones no aporta ninguna propia.

Por qué la precisión cuesta al cuadrado 🖖

Este planificador responde a una pregunta: ¿a cuántas personas hay que encuestar para acotar un porcentaje a un margen de error elegido? Como el margen disminuye con la raíz cuadrada del tamaño de muestra, duplicar la precisión cuesta cuatro veces más encuestados: pasar de ±3% a ±1.5% cuadruplica n aproximadamente. Si no conoces la proporción esperada, usa p = 0.5: eso maximiza p(1−p) y da el tamaño de muestra más grande y seguro.

Cuando 2.4 millones de respuestas fallaron 🖖

La fórmula del margen de error solo mide el error de muestreo aleatorio: supone que cada encuestado fue elegido al azar. En 1936, el Literary Digest encuestó a unos 2.4 millones de personas y predijo con seguridad que Landon vencería a Roosevelt; George Gallup acertó con apenas 50,000. Su lista sobrerrepresentaba a dueños de coche y teléfono durante la Depresión, así que una muestra enorme pero sesgada perdió ante una pequeña y representativa. Ningún tamaño de muestra corrige un marco de muestreo sesgado.

Problema resuelto al detalle

El tamaño de la muestra para una encuesta con precisión de ±5 % al 95 % de confianza 5 pasos
Quieres una encuesta con una precisión de ±5% al 95% de confianza. Deduce el tamaño de la muestra; luego halla cuánto cuesta reducir el error a la mitad y por qué el tamaño de la población nunca aparece.
1. El margen de error es la semi-amplitud del intervalo de confianza para una proporción. Se reduce con la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, de donde procede todo lo sorprendente.
  
  $ME = z^{*} \frac{p ( 1 - p )}{n}$
2. Despeja n. El 1.96 es el valor normal estándar que corta el 2.5% en cada cola —es una propiedad del nivel de confianza, no de tus datos.
  
  $n = \frac{( z ^{*} ) ^{2} p ( 1 - p )}{ME ^{2}}, z^{*} = 1.96 at 95%$
3. Sustituye. El planificador de arriba muestra esta n, y la respuesta de 385 es la razón por la que tantas encuestas citan alrededor de mil encuestados.
  
  $n = \frac{1.9 6 ^{2} \times 0.25}{0.0 5 ^{2}} = \frac{0.9604}{0.0025} = 384.2 \to 385$
4. Observa que se usó p = 0.5 sin conocer la proporción real. Esto es deliberado: p(1−p) alcanza su máximo ahí, por lo que es el peor caso y el tamaño de la muestra es seguro sea cual sea la respuesta final.
  
  $p (1 - p) \leq 0.25 always, maximised at p = 0.5$
5. Ahora reduce el error objetivo a la mitad. El cuadrado en el denominador es el que causa el impacto.
  
  $ME = 2.5% : n = \frac{0.9604}{0.000625} = 1537$
Respuesta

385 personas para ±5%, y 1537 para ±2.5%. Cuatro veces el coste para duplicar la precisión —la ley de la raíz cuadrada funcionando al revés, y la razón por la que las encuestas se estancan en unos pocos miles en lugar de presionar hasta ±1%, lo que requeriría 9604. La otra sorpresa es lo que falta: la población nunca interviene. Una muestra de 385 es tan precisa para una ciudad de 100 000 habitantes como para un país de 100 millones, porque la estimación depende de a cuántos preguntaste, no de a cuántos no.

$n = \frac{( z ^{*} ) ^{2} p ( 1 - p )}{ME ^{2}} = 385 ME halved \Rightarrow n quadrupled$

Ruta de aprendizaje

¿Cuándo es real una diferencia?

Referencias (1)

The 1936 Literary Digest poll, and why 2.4 million responses lost to 50,000: P. Squire, "Why the 1936 Literary Digest Poll Failed." Public Opinion Quarterly 52(1), 125–133, 1988.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-29

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

encuesta rápida 95/5 - 95% de confianza y margen de ±5% -> planificación clásica de una encuesta rápida
ajustada 95/3 - Una precisión más ajustada de ±3% requiere un tamaño de muestra sustancialmente mayor
población finita - La corrección por población finita reduce la n necesaria para poblaciones pequeñas
dado n=1000 - Dado n=1000, calcular el margen de error resultante con 95% de confianza