Dispersión y desviación

El ajuste one outlier contiene siete valores entre 4 y 7 y uno en 20. Calcula la puntuación z de ese último a partir de la desviación típica muestral y decide después si una regla que señala todo lo que pase de tres desviaciones típicas habría podido cazarlo alguna vez.

1. Suma los ocho valores y repártelos: 60 entre 8 son 7,50. Siete de los ocho quedan por debajo, así que el único valor alto ya está moviendo el centro antes de tocar la dispersión.

   $$\bar{x}=\frac{4+5+5+6+6+7+7+20}{8}=\frac{60}{8}=7.50$$

2. Resta 7,50 a cada uno. Los siete valores apiñados quedan a distancias de entre 0,5 y 3,5; el octavo queda a 12,5. El panel imprime esa columna, y suma cero, como hace toda columna de desviaciones.

   $$x_i-\bar{x}:-3.5,-2.5,-2.5,-1.5,-1.5,-0.5,-0.5,12.5$$

3. Al elevar al cuadrado, el total se desequilibra. Los siete juntos aportan 29,75, y el valor en 20 aporta 156,25 él solo, más de cinco veces todo el resto de la muestra. Ahí está el cuadrado haciendo el trabajo para el que está.

   $$\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=\underset{i\le 7}{\underbrace{29.75}}+\underset{i=8}{\underbrace{156.25}}=186.00$$

4. Este ajuste carga el modo muestral, de modo que el divisor es 7 y no 8. El panel imprime la fracción además del resultado: 186,00 entre 7 da una varianza de 26,57 y una desviación típica de 5,15. Lleva esa división un decimal más allá y s es 5,1547, que es lo que necesita el paso siguiente.

   $$s^2=\frac{186.00}{8-1}=26.57,s=\sqrt{26.57}=5.1547$$

5. Una puntuación z cuenta desviaciones típicas desde la media, así que aquí es 12,5 entre 5,1547, es decir, 2,4249. El valor más llamativo del conjunto no llega a tres, y no anda cerca.

   $$z_8=\frac{20-7.50}{5.1547}=2.4249$$

6. Pregúntate ahora si eso es un hecho sobre esta lista o sobre ocho números en general. Lo decide una sola cosa: las desviaciones suman cero, así que sean cuales sean las otras siete, suman exactamente el opuesto de la octava.

   $$d_k=x_k-\bar{x},\sum _i{d}_i=0⟹\sum _{i\ne k}{d}_i=-d_k$$

7. Unos números con suma fija alcanzan la menor suma de cuadrados posible cuando son todos iguales. Por tanto, las siete desviaciones restantes no pueden ser todas pequeñas: lo más económico que pueden hacer es repartirse la carga por igual, y eso pone un suelo al total de cuadrados.

   $$\begin{array}{rl}\sum _{i\ne k}{d}_i^2& \ge \frac{{\left({\sum }_{i\ne k}{d}_i\right)}^2}{n-1}=\frac{d_k^2}{n-1}\\ \sum _i{d}_i^2& \ge d_k^2+\frac{d_k^2}{n-1}=\frac{n}{n-1}{d}_k^2\end{array}$$

8. Un suelo al total de cuadrados es un suelo a s, y un suelo a s es un techo para z. Ningún valor de una lista de n puede estar a más de (n − 1)/√n desviaciones típicas muestrales de la media. Con n = 8 ese techo es 2,4749. Sube el 20 hasta 100 y el panel da una desviación de 82,50 frente a una desviación típica de 33,35, con lo que z es 2,474. Súbelo a un millón y z llega a 2,4749 con cuatro decimales, y ahí se detiene.

   $$\begin{array}{rl}{s}^2& =\frac{{\sum }_i{d}_i^2}{n-1}\ge \frac{n{d}_k^2}{(n-1{)}^2}\\ |z_k|& =\frac{|d_k|}{s}\le \frac{n-1}{\sqrt{n}}=\frac{7}{\sqrt{8}}=2.4749\end{array}$$

9. El techo depende de n y de nada más, y supera el 3 por primera vez con once valores: diez llegan a 2,846, once llegan a 3,015. Aquí la lista admite doce, así que el caso extremo está a tu alcance. Escribe diez ceros y un 1000, todavía en modo muestral. El panel da una media de 90,91 y una desviación típica de 301,51, y la mayor desviación, 909,09, dividida entre 301,51 da 3,015, que es el techo mismo.

   $$\frac{n-1}{\sqrt{n}}\ge 3⟺n\ge 11;n=10:2.846,n=11:3.015$$