Interaktiivsed matemaatika- ja teadusõppetunnid (ﾉ◕ヮ◕)ﾉ*:･ﾟ✧
Katse 1 · Geomeetria · ranged tõkked
Ühikdiameetriga ringi sees oleva hulknurga ümbermõõt on liiga väike ja välise oma liiga suur. Nende poolümbermõõdud piiravad arvu π.
Järeldus: Mõlemad tõkked lähenevad samale piirväärtusele; pigistuslause järgi on see π.
Katse 2 · Mõõtmine · ümbermõõt
π on suhe C/d. Diameetriga 1 ratas kannab ühe täispöördega maapinnale täpselt ühe ümbermõõdu.
Järeldus: Üks pööre annab vahemaa C; kui d = 1, võrdub see vahemaa arvuga π.
Katse 3 · Analüüs · pindala
Õhukese rõnga pikkus raadiusel x on 2πx. Kõigi rõngaste lahtilõikamisel järjestuvad pikkused nullist kuni 2πr-ni.
Järeldus: Kolmnurga alus on 2πr ja kõrgus r, seega pindala ½(2πr)r = πr².
Katse 4 · Füüsika · faasiruum
Impulsi ja kineetilise energia jäävus seob kaks kiirust ellipsiga. Pärast skaleerimist on iga põrge peegeldus ringil.
Järeldus: Kui M/m = 100^d, on arv floor(π·10^d), mis paljastab järjest arvu π kümnendkohti.
Katse 5 · Tõenäosus · suund
Nõel ületab joone vaid siis, kui selle keskpunkt on piisavalt lähedal ja suunaprojektsioon ulatub jooneni. Juhuslik nurk toob arvutusse sin θ integraali.
Järeldus: Kui nõela pikkus võrdub joonte vahega, siis P(ületus) = 2/π ja π ≈ 2N/C.
Katse 6 · Tõenäosus · pindala
Ühtlaselt juhusliku punkti piirkonda sattumise tõenäosus võrdub selle piirkonna osaga ruudu pindalast.
Järeldus: Vaadeldud osa neljakordne väärtus annab Monte Carlo hinnangu π ≈ 4H/N.
Katse 7 · Analüüs · koondumine
Lõpmatud read võivad kirjeldada arvu π ilma ringi joonistamata. Eri samasused lähenevad samale piirile väga erineva kiirusega.
Järeldus: Osasumma on lähend; absoluutne viga näitab selle kaugust arvust π.
Iga jaotis käsitleb üht ideed, tuletab vajaliku võrrandi ja selgitab, mida joonis tegelikult tõestab.
Kõigil Eukleidilise geomeetria ringidel on sama ümbermõõdu ja diameetri suhe.
C / d = π
Suurendamine teguriga k korrutab nii C kui d teguriga k, mistõttu C/d ei muutu. See invariant on π: C = πd = 2πr.
Arvu π universaalsus tuleneb sarnasusest, mitte ühest kindlast mõõdust.
Archimedes kasutas üht ümbermõõdust väiksemat ja teist suuremat kujundit.
n sin(π/n) < π < n tan(π/n)
Kui d = 1, annab sissejoonestatud korrapärane n-nurk n sin(π/n) ja ümberjoonestatud n tan(π/n). Ebavõrdsus n sin(π/n) < π < n tan(π/n) annab kontrollitud veapiirid.
Tõke annab korraga nii lähendi kui ka suurima võimaliku vea.
Ratta keskpunkt liigub ühtlaselt, ent märgitud äärepunkt kiireneb ja aeglustub.
x = r(θ − sin θ), y = r(1 − cos θ)
Pöördenurga θ korral on x = r(θ − sin θ) ja y = r(1 − cos θ). Igas teravikus puudutab punkt maad ja on hetkeks paigal.
Libisemiseta veeremine seob sirgjoonelise teepikkuse nurgaga valemi s = rθ kaudu.
Iga õhuke rõngas lisab ligikaudu ümbermõõt × paksus.
∫₀ʳ 2πx dx = πr²
Raadiusel x ja paksusega dx rõnga pindala on dA = 2πx dx. Summa kõigist rõngastest annab A = ∫₀ʳ 2πx dx = πr².
Mida rohkem ja õhemad rõngad, seda sirgemaks muutub astmeline serv.
Energia jäävus muudab kiiruste oleku liikumiseks ellipsil.
N = floor(π√(M/m)), M/m = 100ᵈ
Koordinaadid (√m·v₁, √M·v₂) muudavad energiaellipsi ringiks ning põrked peegeldusteks. Suhe M/m = 100^d annab enne eemaldumist ligikaudu π·10^d peegeldust.
Numbrid tekivad ringgeomeetriast kiiruste ruumis, mitte salapärasest jõust.
Ületustõenäosus keskmistab trigonomeetrilise projektsiooni üle kõigi nurkade.
P = 2L/(πD)
Kui L ≤ D, saadakse ühtlaste keskpunktide ja nurkade θ ∈ [0, π] keskmistamisel P = 2L/(πD). Simulatsioonis L = D, seega P = 2/π.
Juhuslikkus hindab arvu π, sest aluseks olev tõenäosus on täpselt tuletatud.
Rohkem punkte parandab hinnangut, kuid juhuvalimil on ruutjuurkiiruse piir.
π ≈ 4H/N
Iga punkt on Bernoulli katse tõenäosusega p = π/4. Standardviga kahaneb nagu 1/√N, mistõttu üks lisakümnendkoht vajab tavaliselt umbes 100 korda rohkem punkte.
Kõikumine on ootuspärane; koondumine ei tähenda, et iga uus partii on parem.
Sama piirväärtus võib varjata väga erinevaid koondumiskiirusi.
Σ 1/n² = π²/6
Leibnizi rida vajab paljude numbrikohtade jaoks tohutult liikmeid. Nilakantha koondub kiiremini. Baseli samasus Σ1/n² = π²/6 seob arvu π täisarvude aritmeetikaga.
Graafik võrdleb osasummasid; π ise ei muutu.
Vana konstruktsiooniülesande lahendas arvu π algebraline olemus.
π ∉ Q̄
Ühikringiga võrdse pindalaga ruudu külg oleks √π. Sirkel ja joonlaud annavad vaid konstrueeritavaid algebralisi arve, kuid Lindemann tõestas 1882. aastal, et π on transtsendentne.
Lähendeid on lihtne teha; võimatu on just reeglitega nõutud täpne konstruktsioon.