Kui lähedale murd võib jõuda

Näita, et 355/113 on arvule π lähim murd, mille nimetaja on alla 1000, ja uuri välja, kui kaugele selle ülemvõim tegelikult kestab.

1. Kõigepealt alusta ahelmurrust. π = [3; 7, 15, 1, 292, …], seega lähismurrud on 3, seejärel 22/7, siis 333/106 ja lõpuks 355/113.

   $$\pi =[3;7,15,1,292,\dots ]$$

2. Iga lähismurd arvutatakse kahe eelneva põhjal. Korruta uue liikmega ja liida juurde eelnev. Selles sammus pole π väärtust ennast vaja, piisab vaid selle liikmetest.

   $$\frac{p_n}{q_n}=\frac{a_n{p}_{n-1}+p_{n-2}}{a_n{q}_{n-1}+q_{n-2}}$$

3. 355/113 väärtus on 3,1415929204, π väärtus aga 3,1415926536. Viga on 2,7 × 10⁻⁷, seega annavad kolmekohaline lugeja ja kolmekohaline nimetaja seitse tüvenumbrit.

   $$\frac{355}{113}=3.1415929204\dots ,\pi =3.1415926536\dots$$

4. Nüüd otsingu juurde. Võta iga nimetaja arvust 1 kuni 112, vali igaühele lähim lugeja ja jäta meelde täpseim tulemus. Võitja on 333/106, mille viga on 8,3 × 10⁻⁵. See on 312 korda kaugemal kui 355/113.

   $$\underset{q\le 112}{\min }\left|\pi -\frac{p}{q}\right|=\left|\pi -\frac{333}{106}\right|\approx 8.3\times 10^{-5}$$

5. Laienda otsingut kuni 1000 ja midagi uut ei ilmu. 355/113 jääb ikka lähimaks saadaolevaks murruks.

6. Kui kaugele see siis peab? Ülespoole otsides on esimene murd, mis seda edestab, 52163/16604. See tähendab, et 355/113 on arvule π lähim murd kõigi nimetajate puhul kuni 16 603.

   $$\frac{52163}{16604}\text{first beats it}:q\times 147,\text{error}-0.2\%$$

7. Ja vaata, mida selle ületamine annab. Murru 52163/16604 nimetaja on 147 korda suurem ja see vähendab viga vaid 0,2%. See ongi kogu teema põhiolemus. Head murrud on oma naabritest tohutult paremad ja järgmine tõeline edasiminek asub väga kaugel.