Hii-ruut ja jääkide kaart

Muuda lahtrite väärtusi ja jälgi, kuidas olulisus ja jääkide kuumkohad kohe uuenevad.

Näidisarvutus — Hii-ruut ja jääkide kaart

Hii-ruut statistik	2.5943
Vabadusastmed	2
p-väärtus	0.2733
Väikseim oodatav lahter	8.5
r1, c2	0.8182
r2, c2	0.8182
r1, c3	0.2647
r2, c3	0.2647

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Jäägid ütlevad, milline lahter sobivuse lõhkus 🖖

Hii-ruut-statistiku koguväärtus on kogu tabeli kohta üksainus arv ega näita, kus hälve paikneb. Seda näitab jääkide kaart. Laadi Tugev seos: χ² on 2 vabadusastme korral 24,3415 ning suurima panuse annab 1. rea ja 1. veeru lahter — vaadeldud sagedus on 20, sõltumatuse korral oodatav sagedus 11,20 ning selle lahtri panus koguväärtusse on 6,91. Test eeldab ka, et kõik oodatavad sagedused on vähemalt ligikaudu 5. Laadi Hõre: üheksast oodatavast sagedusest ei vasta sellele tingimusele ükski. Väikseim on 0,13, üks lahter annab 65% statistiku väärtusest, ent p-väärtus on siiski ahvatlev 0,0521.

Kus seos tegelikult peitub 🖖

Hii-ruut-statistiku väärtus ja p-väärtus näitavad üksnes seda, kas kaks kategoorilist tunnust on üldse seotud. Vastus on jah või ei. Tegelik pilt avaneb standardiseeritud jääkide kaardil: iga värviline lahter näitab, milliseid kombinatsioone esineb sõltumatuse korral oodatust märksa rohkem või vähem. Positiivne jääk tähistab üleesindatud, negatiivne jääk alaesindatud kombinatsiooni. Uuri kõige eredamaid lahtreid, mitte suurimaid vaadeldud sagedusi.

Fisheri parandus, mille Pearson tagasi lükkas 🖖

Siin näidatud vabadusastmed (r−1)(c−1) pärinevad tulisest statistikatülist. Karl Pearson tutvustas hii-ruut-testi 1900. aastal, kuid tuletas selle vabadusastmed pelgalt kategooriate arvust. 1922. aastal näitas Ronald Fisher, et iga tabeli enda ääresummadest hinnatud oodatav sagedus maksab ühe vabadusastme — seetõttu on r×c tabelil (r−1)(c−1), mitte rc−1. Pearson lükkas paranduse kuni elu lõpuni tagasi, kuid Fisheril oli õigus ja tema valemit kasutab siin iga tabel.

HII-RUUT — KAS SEOS ON OLEMAS JA KAS TEST ÜLDSE KEHTIB?

Millise hii-ruudu juhtumiga on tegemist?

Test võrdleb vaadeldut sellega, mida sõltumatus oleks andnud: oodatav = reasumma × veerusumma ÷ üldsumma. Statistik liidab kokku ruudustatud vahed ja standarditud jäägid ütlevad, millised lahtrid seda vedasid. Kaks küsimust tuleb vastata järjekorras — kõigepealt see, kas oodatavad sagedused on piisavalt suured, et test üldse midagi tähendaks, ja alles siis see, kas seos on tõeline.

Täielik sõltumatus — statistik on täpselt null E = R_iC_j/n

Väike χ² — muster mahub sinna, mida juhus niikuinii tekitab χ² < χ²_α

Suur χ² — ja jäägid nimetavad süüdlaslahtrid r = (O − E)/√E

Oodatavad sagedused liiga väikesed — test ei kehti E ≥ 5

Täielik sõltumatus — statistik on täpselt null

Mida te teate: Iga lahter langeb oma oodatava sagedusega kokku, seega on iga jääk null ja χ² koos sellega. Read ei ütle veergude kohta midagi.

Statistik: E = R_iC_j/n

Näidisarvutus: 3×3 tabel, kus kõik lahtrid on 8: ka iga oodatav sagedus on 8, χ² = 0 nelja vabadusastme juures, p = 1,000

Ava see juhtum: Tasakaalustatud lähtejuht

Täielik sõltumatus — statistik on täpselt null. Iga vaadeldud sagedus võrdub oma oodatavaga, seega ei panusta ükski lahter midagi. Iga lahter langeb oma oodatava sagedusega kokku, seega on iga jääk null ja χ² koos sellega. Read ei ütle veergude kohta midagi. — Iga vaadeldud sagedus võrdub oma oodatavaga, seega ei panusta ükski lahter midagi.

Väike χ² — muster mahub sinna, mida juhus niikuinii tekitab

Mida te teate: Sagedused erinevad oodatavatest, aga mitte rohkem, kui valimimüra annaks. χ² jääb kriitilisest väärtusest allapoole ja kõik jäägid on väikesed.

Statistik: χ² < χ²_α

Näidisarvutus: 2×3 tabel 60 vaatlusega → χ² = 2,594 kahe vabadusastme juures, p = 0,273. Suurim standarditud jääk on −0,90.

Ava see juhtum: Nõrk seos

Väike χ² — muster mahub sinna, mida juhus niikuinii tekitab. Lahtrid triivivad oodatavast pisut eemale, aga ükski neist ei paista silma. Sagedused erinevad oodatavatest, aga mitte rohkem, kui valimimüra annaks. χ² jääb kriitilisest väärtusest allapoole ja kõik jäägid on väikesed. — Lahtrid triivivad oodatavast pisut eemale, aga ükski neist ei paista silma.

Suur χ² — ja jäägid nimetavad süüdlaslahtrid

Mida te teate: Statistik ületab kriitilise väärtuse mugava varuga. Edasi ei loe mitte p-väärtus, vaid see, millised lahtrid selle tekitasid, ja jääkide tabel vastab täpselt sellele.

Statistik: r = (O − E)/√E

Näidisarvutus: Sama 2×3 kuju 60 vaatlusega → χ² = 24,342 kahe vabadusastme juures, p = 0,000005, suurimas lahtris standarditud jääk +2,63

Ava see juhtum: Tugev seos

Suur χ² — ja jäägid nimetavad süüdlaslahtrid. Kaks lahtrit on ootusest kaugelt üleval ja kaks kaugelt all — seosel on suund. Statistik ületab kriitilise väärtuse mugava varuga. Edasi ei loe mitte p-väärtus, vaid see, millised lahtrid selle tekitasid, ja jääkide tabel vastab täpselt sellele. — Kaks lahtrit on ootusest kaugelt üleval ja kaks kaugelt all — seosel on suund.

Oodatavad sagedused liiga väikesed — test ei kehti

Mida te teate: Hii-ruut on lähendus, mis vajab mõistlikult suuri oodatavaid sagedusi. Kui need on imepisikesed, ei ole tema esitatud p-väärtus usaldusväärne, ükskõik mida ta ütleb.

Statistik: E ≥ 5

Näidisarvutus: 3×3 tabel ainult 8 vaatlusega → kõik 9 oodatavat sagedust jäävad alla viie, väikseim 0,13. χ² = 9,389 annab p = 0,052 ja seda arvu ei tohiks kasutada.

Ava see juhtum: Hõre hoiatusjuht

Oodatavad sagedused liiga väikesed — test ei kehti. Üheksa lahtrit, kaheksa vaatlust: oodatavad sagedused on lähendamiseks palju liiga väikesed. Hii-ruut on lähendus, mis vajab mõistlikult suuri oodatavaid sagedusi. Kui need on imepisikesed, ei ole tema esitatud p-väärtus usaldusväärne, ükskõik mida ta ütleb. — Üheksa lahtrit, kaheksa vaatlust: oodatavad sagedused on lähendamiseks palju liiga väikesed.

Allikad (2)

Insight block 3 — where the test came from: K. Pearson, "On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling." Philosophical Magazine 50(302), 157–175, 1900.
And the correction Pearson never accepted, which is the (r−1)(c−1) used here: R. A. Fisher, "On the Interpretation of χ² from Contingency Tables, and the Calculation of P." Journal of the Royal Statistical Society 85(1), 87–94, 1922. The DOI resolves to the publisher's 2018 digitisation of that volume.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kogu test ja p-väärtus 2×3 tabelile käsitsi 5 sammu
2×3 tabel annab 2 vabadusastme juures χ² = 2,5943 ja p-väärtuseks 0,2733. Tee kogu test läbi käsitsi — sealhulgas p-väärtus, mis sellise vabadusastmete arvu korral ei vaja üldse tabelit.
1. Oodatavad sagedused eeldavad kahest muutujast sõltumatust, mistõttu iga lahtri sagedus on selle rea summa korrutatud veeru summaga ja jagatud kogusummaga. Väikseim neist on 8,5, mis on tublisti üle rusikareegliks oleva väärtuse 5, millest allpool on aproksimatsioon ebausaldusväärne.
  
  $E_{ij} = \frac{R _{i} C _{j}}{N} : \frac{30 \times 21}{60} = 10.5, \frac{30 \times 22}{60} = 11, \frac{30 \times 17}{60} = 8.5$
2. Iga lahter annab panuse oma ruutvõetud hälbega, mis on jagatud selle oodatava sagedusega. Jagamine E-ga muudab absoluutse lahknevuse võrreldavaks — 3 11-st on olulisem kui 3 1100-st.
  
  $χ^{2} = \sum \frac{( O - E ) ^{2}}{E} = 2 (0.2143 + 0.8182 + 0.2647) = 2.5943$
3. Vabadusastmed näitavad lahtrite arvu, mida saab vabalt täita pärast seda, kui ääresagedused on fikseeritud. Kui rea- ja veerusummad on antud, määrab kahe lahtri valimine ülejäänud.
  
  $df = (r - 1) (c - 1) = 1 \times 2 = 2$
4. Kaks vabadusastet on erijuhtum: hii-ruutjaotus on sel juhul lihtsalt eksponentsiaaljaotus ning p-väärtus on e astmel miinus pool teststatistikust.
  
  $df = 2 ⟹ p = e^{- χ^{2} /2} = e^{- 1.29717} = 0.2733$
5. Teststatistiku päritolu uurimine on informatiivsem kui selle üldsumma. Keskmine veerg moodustab sellest 63,1% — lahtrid 8 11 vastu ja 14 11 vastu —, seega kui midagi toimub, siis just seal.
  
  $\frac{2 \times 0.8182}{2.5943} = 63.1% of χ^{2} is one column$
Vastus

Tööriist kuvab χ² = 2,5943, df = 2, p = 0,2733 ja vähima oodatava sageduse 8,5. p-väärtus 0,27 ei anna alust seost väita. Samas ei tõesta see ka sõltumatust, sest 60 vaatlusega tabelis võib mõõdukas mõju kergesti varju jääda. Kõige kasulikum on viimane samm: hii-ruut-statistiku koguväärtus üksi ütleb väga vähe, lahtrite panused aga näitavad, kuhu vaadata. Klõpsa tugeva seose eelseadistusel ja jälgi, kuidas keskmise veeru panus kaob ning neli nurgalahtrit annavad 99,5% summast.

$p = e^{- χ^{2} /2} when df = 2; p = 0.27 ⟹ no evidence of association$

Õpitee

Millal on erinevus tegelik?

Viib edasi Valimi suurus sama jaotuse olukorras, kus puudub igasugune keskmine ning on vaid sagedused kategooriates.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-29

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Statistika & rahandus õppetunnid →

Näiteülesanded

Nõrk seos - chi² = 2,5943 annab 2 vabadusastme korral p = 0,2733 ning suurim standardiseeritud jääk on -0,905. Siin ei ole vähimatki kõrvalekallet sõltumatusest.
Tugev seos - chi² = 24,3415 on 2 vabadusastme korral, p alla 0,00001. Suurim panus tuleb 1. rea ja 1. veeru lahtrist: vaadeldud sagedus on 20, sõltumatuse korral oodatav sagedus 11,20 ning jääk +2,63.
Hõre hoiatusjuht - p = 0,0521 jääb napilt olulisuse piirist kõrgemale, kuid tulemus ei ole usaldusväärne. Kõik üheksa oodatavat sagedust on alla 5, väikseim neist 0,13, ning üks lahter annab 65% statistiku väärtusest.
Tasakaalustatud lähtejuht - Igas lahtris on 8, seega on ka kõik oodatavad sagedused 8, kõik jäägid 0 ning chi² täpselt 0 ja p = 1. See on tööriista ainus täiusliku sobivuse näide.