Monty Halli probleem

Üks auto ja mõned kitsed suletud uste taga. Valige uks, laske saatejuhil avada teised ja otsustage, kas vahetada. See lehekülg arvutab saatejuhi reegli ja tema tegevuse põhjal välja iga ukse taga peituva tõenäosuse, mängib selle kontrollimiseks tuhandeid mänge või laseb teil endal proovida. Alljärgnev tabel selgitab arvutusi.

Näidisarvutus — Monty Halli probleem

Aprioorne tõenäosus	1/3
Tõepära, Uks 1 · teie valik	1/2
Tõepära, Uks 2 · suletud	1
Tõepära, Uks 3 · avatud	0 · näidatud kits
Kogutõenäosus	1/2
Aposterioorne tõenäosus, Uks 1 · teie valik	1/3
Aposterioorne tõenäosus, Uks 2 · suletud	2/3
Aposterioorne tõenäosus, Uks 3 · avatud	0

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Monty Halli probleem

Tõenäosus, et auto asub pärast saatejuhi tegutsemist kindla ukse taga, tuleneb Bayesi valemist: selle ukse aprioorne tõenäosus, 1 ÷ n, korrutatud tõepäraga, et saatejuht teeks täpselt seda, mida ta tegi, kui auto asuks seal, ning jagatud tema tegevuse kogutõenäosusega. Saatejuhi reegel määrab tõepärad, mistõttu võivad samad avatud uksed anda erinevate reeglite korral erinevaid vastuseid. Tavalise saatejuhiga, kes teab auto asukohta ja avab nende hulgast alati k juhuslikult valitud kitseust, võidab paigalejäämine tõenäosusega 1 ÷ n, olenemata sellest, millised uksed ta avab.

Mida iga sümbol tähendab

n: uste arv
k: saatejuhi avatud uste arv
P(H | C_i): tõepära: tõenäosus, et saatejuht teeb oma tehtud valiku juhul, kui auto on ukse i taga
P(C_i | H): aposterioorne tõenäosus: tõenäosus, et auto asub ukse i taga pärast saatejuhi tegutsemist

Vahetamine võidab kahel korral kolmest 🖖

Klõpsake valikul Kolm ust. Valite ukse 1, mille taga on auto ühekolmandikulise tõenäosusega. Ükski selle saatejuhi tegevus ei saa seda muuta: ta avaks ukse 3 pooltel kordadel, kui auto asuks teie ukse taga, ja valikuvõimaluse korral teeb ta valiku juhuslikult, seega ei anna tema käik ukse 1 kohta uut teavet. Ta avab ukse 3 ja näitab kitse. Kahekolmandikuline tõenäosus, et auto oli ukse 2 või ukse 3 taga, koondub nüüd täielikult uksele 2, mistõttu vahetamine võidab 2 korral 3-st. Klõpsake valikul 100 ust ja pilt on selge: valisite ühe ukse sajast, saatejuht avab ülejäänutest 98, et näidata kitsi, ning ainus, mille ta suletuks jätab, on just see õige, 99 korral 100-st. Aastal 1990 avaldas Marilyn vos Savant kolme ukse ülesande lahenduse oma ajakirja Parade veerus ja sai tuhandeid kirju, milles väideti, et ta eksib, kusjuures paljudele neist olid alla kirjutanud doktorikraadiga inimesed.

Sama pilt annab teistsuguse vastuse, kui saatejuht ei teadnud 🖖

Klõpsake valikul Teadmatu saatejuht. Näete täpselt sama, mida varem: valitud on uks 1, uks 3 on avatud, taga kits. Kuid see saatejuht avas ukse täiesti juhuslikult ja läks autost mööda, mistõttu nüüd võidavad paigalejäämine ja vahetamine mõlemad 1 korral 2-st. Tõenäosus sõltub nähtava olukorra loonud reeglist, mitte ainult sellest, mida te silmaga näete. Saatejuht, kes teab, peab näitama kitse ja teeb võimalusel juhusliku valiku, ei ütle teile teie enda ukse kohta midagi; kogu tõenäosuse, mille ta eemaldab ukselt 3, tõstab ta uksele 2. Juhuslikult ukse 3 avanud saatejuht oleks näidanud seal kitse sama sageli olukorras, kus auto on ukse 1 taga, kui siis, kui see on ukse 2 taga, seega ei soosi kits kumbagi valikut.

See, millise ukse ta avab, võib anda terve vastuse 🖖

Klõpsake valikul Erapoolek, avab ukse 2. See saatejuht avab alati vähima numbriga kitseukse, mis võimalik. Uks 2 on see, mille ta avaks olenemata sellest, kas auto on ukse 1 või ukse 3 taga, seega selle nägemine ei soosi kumbagi valikut ning paigalejäämise ja vahetamise tõenäosus on 1 2-st. Klõpsake valikul Erapoolek, avab ukse 3: ta jättis ukse 2 vahele, mida ta teeks vaid siis, kui auto asuks selle taga, mistõttu vahetamine võidab iga kord. Kõigi mängude peale keskmisena arvestades, kus poole tõenäosus esineb kahel kolmandikul kordadest ja kindel võit ühel kolmandikul kordadest, võidab vahetamine endiselt 2 korral 3-st. Monty põrgu on saatejuht, kes pakub vahetust vaid siis, kui olete juba auto leidnud, ja pakkumise korral kaotab vahetamine eranditult alati.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kolm ust Bayesi valemi järgi 4 sammu
Valite ukse 1. Saatejuht, kes teab auto asukohta ja avab alati kitseukse, tehes võimalusel juhusliku valiku, avab ukse 3. Leidke tõenäosus, et auto asub ukse 1 taga ja et see on ukse 2 taga. Kontrollimiseks klõpsake valikul Kolm ust.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Enne tema tegutsemist on iga uks võrdselt tõenäoline:
  
  $P (C_{1}) = P (C_{2}) = P (C_{3}) = \frac{1}{3}$
2. Kui tõenäoline on ukse 3 avamine iga võimaliku auto asukoha korral?
  
  $P (H_{3} ∣ C_{1}) = \frac{1}{2}, P (H_{3} ∣ C_{2}) = 1, P (H_{3} ∣ C_{3}) = 0$
3. Kogutõenäosus, et ta avab ukse 3:
  
  $P (H_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{1}{2}$
4. Jagage iga ukse aprioorse tõenäosuse ja tõepära korrutis selle kogutõenäosusega:
  
  $P (C_{1} ∣ H_{3}) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}, P (C_{2} ∣ H_{3}) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$
Vastus

Auto asub ukse 1 taga tõenäosusega 1/3 ja ukse 2 taga tõenäosusega 2/3. Kogu vastus peitub teises sammus: kui auto on ukse 2 taga, on ta sunnitud avama ukse 3, kuid kui see on ukse 1 taga, avab ta ukse 3 vaid pooltel kordadel, mistõttu ukse 3 avamine on kaks korda tõenäolisem olukorras, kus auto asub ukse 2 taga.

$P (C_{1} ∣ H_{3}) = \frac{1}{3}, P (C_{2} ∣ H_{3}) = \frac{2}{3}$

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.