Calculateur de période orbitale

T = 2π√(a³/GM) — la troisième loi de Kepler relie la taille de l'orbite à sa période

Exemple résolu — Calculateur de période orbitale

Période orbitale	1.54 h

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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L’altitude ne fixe pas la période 🖖

Le champ s’appelle demi-grand axe pour une raison : l’excentricité n’apparaît nulle part dans T = 2π√(a³/GM). Saisissez 42 164 km et l’outil renvoie 23,94 h, le cercle géostationnaire. Une ellipse qui descend à 6 771 km au périgée et s’élance jusqu’à 77 557 km à l’apogée possède le même demi-grand axe, donc les mêmes 23,94 h — alors qu’elle franchit le point bas à 10,41 km/s et rampe au point haut à 0,91 km/s. L’ISS, circulaire à ces mêmes 6 771 km, revient au bout de 1,54 h.

La masse de l'objet en orbite disparaît 🖖

Dans la formule T = 2π√(a³/GM) figure M, la masse du corps central, mais pas celle du satellite. Une plume et une station spatiale pleine à la même altitude font le tour de la Terre en exactement le même temps. La période orbitale ne dépend que de la taille de l'orbite et du corps autour duquel on tourne, jamais de son propre poids.

Un tunnel à travers la Terre garde le temps orbital 🖖

Lâchez une bille dans un tunnel sans frottement traversant la Terre de part en part : elle atteint l'autre côté et revient en environ 84.5 minutes. C'est exactement la période d'un satellite frôlant la surface terrestre. Les deux obéissent au même √(R³/GM), si bien que le « train gravitationnel » et l'orbite la plus basse possible partagent une seule horloge.

Problème entièrement résolu

Temps d'un tour de l'ISS à 400 km d'altitude 5 étapes
L'ISS vole à 400 km au-dessus du sol. Déterminez la durée d'un tour complet, puis la plus courte orbite que la Terre permette. Il s'agit de l'état ISS — demi-grand axe de 6771 km autour de la Terre — avec G = 6,674 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻², M = 5,972 × 10²⁴ kg et le rayon terrestre R = 6371 km.
1. Une orbite circulaire est un équilibre : la gravité fournit exactement la force centripète nécessaire au cercle, ni plus ni moins. La masse propre du satellite se simplifie dans cette équation, c'est pourquoi un boulon détaché et la station dont il est tombé restent côte à côte.
  
  $\frac{GM m}{a ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{a} ⟹ v = \frac{GM}{a}$
2. La période s'obtient en divisant la distance par la vitesse une fois la vitesse connue. Aucune caractéristique du satellite ne subsiste dans le résultat — seules interviennent la taille de l'orbite et la masse de la planète, et ces deux grandeurs apparaissent multipliées l'une par l'autre sous la forme GM. Ce produit est ce que mesurent les orbites ; G et M séparément sont loin d'être connus avec la même précision.
  
  $T = \frac{2 π a}{v} = 2 π \frac{a ^{3}}{GM}, GM = (6.674 \times 1 0^{- 11}) (5.972 \times 1 0^{24}) = 3.986 \times 1 0^{14} m^{3} s^{- 2}$
3. 6771 km correspondent au rayon de la Terre de 6371 km plus 400 km d'altitude, car a se mesure depuis le centre et jamais depuis le sol. Quinze tours et demi de ce type tiennent dans une journée — 86 400/5545 = 15,58 — et ce reste de 0,58 explique pourquoi la station survole une bande de terrain différente à chaque passage au lieu de repasser par le même chemin.
  
  $T = 2 π \frac{( 6.771 \times 1 0 ^{6} ) ^{3}}{3.986 \times 1 0 ^{14}} = 5545 s = 1 h 32 m 25 s = 1.54 h$
4. Le seul lien qu'entretient la formule avec la distance passe par a^3/2, de sorte qu'un rapport de deux périodes ne nécessite ni G ni M. C'est la troisième loi de Kepler, et c'est la raison pour laquelle le tableau d'échelle ci-dessus peut être construit à partir de simples facteurs de multiplication : quatre fois le demi-grand axe donne exactement huit fois la période, pour n'importe quel satellite de n'importe quelle planète.
  
  $T \propto a^{3/2} : 2^{3/2} = 2.83, 4^{3/2} = 8 ⟹ 8 \times 1.54 = 12.32 h$
5. Faisons maintenant descendre l'orbite. En dessous de a = R, il n'y a plus d'orbite possible, ce rayon fixe donc un plancher pour la période — et la démarche utile consiste à exprimer la masse comme le produit du volume par la masse volumique avant de l'évaluer. R³ apparaît alors à la fois au numérateur et à l'intérieur de M, et se simplifie.
  
  $M = \frac{4}{3} π R^{3} ρ ⟹ T_{m i n} = 2 π \frac{R ^{3}}{GM} = \frac{3 π}{Gρ} : ρ_{\oplus} = \frac{5.972 \times 1 0 ^{24}}{\frac{4}{3} π ( 6.371 \times 1 0 ^{6} ) ^{3}} = 5513 kg m^{- 3} \Rightarrow 5061 s = 84.4 min$
Réponse

L'outil affiche 1,54 h pour l'ISS et 12,32 h pour quatre fois le demi-grand axe, soit un facteur d'exactement 8 car 4^3/2 = 8, avec ×2,83 pour un doublement car 2^3/2 = 2,828. L'étape 5 est la partie qu'il ne calcule pas : rien ne peut tourner autour de la Terre en moins de 84,4 minutes, et ce plancher est déterminé par la masse volumique moyenne de la Terre de 5513 kg/m³ et par rien d'autre. Saturne est neuf fois plus large que la Terre, pourtant un engin spatial rasant le sommet de ses nuages met 4,0 heures plutôt qu'une journée, parce que la masse volumique moyenne de Saturne est de 687 kg/m³ — un huitième de celle de la Terre. L'orbite la plus rapide possible est donc une mesure du sol situé en dessous : mesurez la période d'un satellite bas et vous aurez pesé la planète par unité de volume, sans avoir jamais besoin de savoir quelle est sa taille.

$T_{m i n} = \frac{3 π}{Gρ} ρ = 687 kg m^{- 3} \Rightarrow T_{m i n} = 3.98 h$

Parcours

Des orbites à partir de deux nombres

Mène à Transfert de Hohmann le temps nécessaire pour boucler une orbite, calculé uniquement avec le demi-grand axe.

Références (1)

Insight block 3 — the gravity train sharing a clock with the lowest orbit: P. W. Cooper, "Through the Earth in Forty Minutes." American Journal of Physics 34(1), 68–70, 1966.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

ISS - ISS à ~400 km d'altitude : T ≈ 92 min — fait le tour de la Terre 16 fois par jour
Satellite GPS - Satellites GPS : T ≈ 12 h — chaque satellite effectue deux orbites par jour
Géostationnaire - Orbite géostationnaire : T ≈ 24 h — paraît fixe au-dessus d'un point de la Terre
Lune - Lune autour de la Terre : T ≈ 27.3 jours — à l'origine du mot « mois »
Mercure - Mercure autour du Soleil : T ≈ 88 jours — la planète la plus rapide
Terre (autour du Soleil) - Terre autour du Soleil : T ≈ 365.25 jours — définit l'année
Mars (autour du Soleil) - Mars autour du Soleil : T ≈ 687 jours — près de deux années terrestres