Calculateur de transfert de Hohmann

Un satellite de 1 tonne doit être transféré d'une orbite d'attente de 300 km vers l'altitude géostationnaire. Trouvez les deux impulsions, puis déterminez quelle fraction du véhicule quittant l'orbite d'attente doit être de l'ergol. Prenez r₁ = 6671 km, r₂ = 42164 km, et le paramètre gravitationnel de la Terre μ = 398600 km³/s².

1. Un transfert de Hohmann est la moitié d'une ellipse qui tangente exactement les deux cercles — le périgée sur le cercle intérieur, l'apogée sur le cercle extérieur. Cela fixe son demi-grand axe avant même de calculer la moindre vitesse, car le grand axe s'étend simplement d'une orbite à l'autre.

   $$a_t=\frac{r_1+r_2}{2}=\frac{6671+42164}{2}=24417.5\mathrm{km}$$

2. Tout le reste découle d'une seule équation, l'équation de la force vive, qui donne la vitesse à n'importe quel rayon sur n'importe quelle orbite : v² = μ(2/r − 1/a). Sur un cercle a = r, et elle se réduit à la vitesse circulaire familière. C'est la vitesse à laquelle le satellite se déplace déjà.

   $$v_{c1}=\sqrt{\frac{\mu }{r_1}}=\sqrt{\frac{398600}{6671}}=7.730km/s$$

3. Appliquez maintenant la même équation au même rayon mais sur l'ellipse de transfert, où a = a_t. Le satellite se trouve au point le plus bas d'une orbite beaucoup plus grande, il doit donc se déplacer plus vite. La première impulsion fournit exactement cette différence — le moteur modifie l'orbite, pas la position.

   $$v_p=\sqrt{\mu \left(\frac{2}{r_1}-\frac{1}{a_t}\right)}=10.158km/s⟹\Delta v_1=v_p-v_{c1}=2.428km/s$$

4. Poursuivez en vol libre jusqu'à l'apogée et l'ellipse s'est nettement ralentie : le moment cinétique est conservé, donc monter coûte de la vitesse. Mais une orbite circulaire à cette hauteur nécessite plus que ce qu'il reste à l'ellipse, c'est pourquoi la seconde impulsion est aussi une accélération, pas un freinage. Sans elle, le satellite retombe tout droit vers le périgée.

   $$v_a=\sqrt{\mu \left(\frac{2}{r_2}-\frac{1}{a_t}\right)}=1.607km/s,v_{c2}=\sqrt{\frac{\mu }{r_2}}=3.075km/s⟹\Delta v_2=1.468km/s$$

5. Une fusée ne peut pas dépenser de Δv directement ; elle dépense de la masse, à un taux d'échange fixé par la vitesse d'éjection. Pour un étage supérieur à ergols stockables avec une impulsion spécifique de 320 s, v_e = 320 × 9.80665 = 3.138 km/s, et Tsiolkovski convertit le tout.

   $$\frac{m_0}{m_f}=e^{\Delta v/v_e}=e^{3.895/3.138}=3.46⟹\text{propellant}=1-\frac{1}{3.46}=0.711$$

Vous planifiez une mission vers Mars. Calculez la durée de la traversée, puis ce qui détermine réellement la date de lancement : où doit se trouver Mars lorsque vous partez, et à quelle fréquence cela se produit. Prenez l'orbite de la Terre égale à 1.000 AU, celle de Mars à 1.523 AU, et l'année de Mars égale à 687 jours.

1. Même construction qu'auparavant, à une échelle supérieure : l'ellipse de transfert tangente l'orbite de la Terre au périhélie et celle de Mars à l'aphélie, de sorte que son demi-grand axe est la moyenne des deux.

   $$a_t=\frac{r_1+r_2}{2}=\frac{1.000+1.523}{2}=1.262\mathrm{AU}$$

2. La troisième loi de Kepler donne alors directement la période — en unités astronomiques et en années, les constantes disparaissent et l'équation se réduit à T = a^3/2. Vous ne parcourez que la moitié de l'ellipse, il faut donc la diviser par deux. Vérifiez cela avec le calculateur ci-dessus : il indique 258.8 jours pour ce transfert, à partir de la même géométrie.

   $$T=a_t^{3/2}=1.262^{3/2}=1.417\mathrm{yr}⟹t_{\text{transfer}}=\frac{T}{2}=0.709\mathrm{yr}=258.8\mathrm{d}$$

3. Voici à quoi sert réellement la durée du transfert. Mars n'attend pas au point d'arrivée — elle doit y être amenée elle aussi, par sa propre orbite, exactement pendant le temps que vous mettez à faire la traversée. Calculez donc le chemin parcouru par Mars pendant votre vol.

   $${\theta }_{\text{Mars}}=360^{\circ }\times \frac{258.8}{687}=135.6^{\circ }$$

4. Vous arrivez à 180° de votre point de départ. Mars parcourt 135.6° pendant le même intervalle, donc à l'instant du départ, elle doit se trouver en arrière du point d'arrivée d'une quantité égale à la différence. Visez l'endroit où se trouve Mars et vous arriverez des mois derrière elle.

   $$\varphi =180^{\circ }-{\theta }_{\text{Mars}}=180^{\circ }-135.6^{\circ }=44.4^{\circ }$$

5. Cet alignement n'est pas une date, c'est une fréquence de battement : les deux planètes retrouvent la même géométrie relative à la période synodique, qui est la différence de leurs vitesses angulaires.

   $$\frac{1}{S}=\frac{1}{365.25}-\frac{1}{687}⟹S=780\mathrm{d}$$