Équation de vis-viva

L'équation de vis-viva relie la vitesse à la position et à la forme de l'orbite. Choisissez un corps central et saisissez les paramètres orbitaux.

Exemple résolu — Équation de vis-viva

Période orbitale	1.62 h

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Même demi-grand axe, même énergie, même période 🖖

L'équation de vis-viva exprime la conservation de l'énergie sous forme orbitale. En tout point, l'énergie mécanique spécifique totale vaut ε = ½v² − GM/r = −GM/(2a) — une constante fixée uniquement par le demi-grand axe a. Deux orbites de même a mais d'excentricités différentes ont la même énergie et la même période ; l'excentricité façonne la trajectoire sans modifier le budget énergétique. La vitesse est maximale au périapse (énergie potentielle minimale) et minimale à l'apoapse. La trajectoire de libération est le cas limite a → ∞, donnant v_esc = √(2GM/r) = √2 · v_c — exactement √2 fois la vitesse circulaire au même rayon.

Deux nombres suffisent pour la vitesse 🖖

L'équation de vis-viva affirme que la vitesse d'un objet en orbite ne dépend que de deux grandeurs : sa distance actuelle r au corps central et la taille globale de l'orbite, le demi-grand axe a. Reportez les deux dans v = √(GM(2/r − 1/a)) et vous obtenez la vitesse. La masse de l'objet lui-même n'apparaît jamais : un trombone et une station spatiale sur la même orbite se déplacent exactement à la même vitesse.

Le nom signifie 'force vive' 🖖

Vis viva est le latin pour 'force vive', le terme que Leibniz forgea dans les années 1680 pour la quantité mv² — l'ancêtre de l'énergie cinétique. Il déclencha une querelle de plusieurs décennies avec les partisans de Newton, qui tenaient la quantité de mouvement mv pour la vraie 'mesure du mouvement'. Les deux camps avaient en partie raison, et le v² qui subsiste dans cette équation est un écho direct de la force vive de Leibniz.

Problème entièrement résolu

Période et deux vitesses extrêmes d'une orbite de Molniya autour de la Terre 5 étapes
Une orbite Molniya : demi-grand axe de 26 560 km, excentricité de 0,74, autour de la Terre. Trouvez sa période et ses deux vitesses extrêmes, puis le nombre au cœur même de la conception de cette orbite — quelle proportion de chaque passage est passée au loin. Il s'agit de l'état Molnia (HEO), avec μ = GM = 3,986 × 10¹⁴ m³/s².
1. Le demi-grand axe est la moyenne des deux rayons extrêmes, de sorte que l'excentricité les sépare de façon symétrique. Cette orbite frôle le sol à 535 km d'altitude à une extrémité et atteint 39 843 km à l'autre, plus loin que l'orbite géostationnaire.
  
  $r_{p} = a (1 - e) = 26560 \times 0.26 = 6905.6 km, r_{a} = a (1 + e) = 26560 \times 1.74 = 46 214.4 km$
2. La période ne tient compte de rien de tout cela. La troisième loi de Kepler ne voit que le demi-grand axe, cette ellipse prend donc exactement le même temps qu'une orbite circulaire à 26 560 km — et la réponse est le point clé de la conception, car 11,97 h correspondent à la moitié d'un jour sidéral. Le satellite repasse donc sur la même trace au sol deux fois par jour et peut être transféré à une station terrestre selon un horaire fixe.
  
  $T = 2 π \frac{a ^{3}}{μ} = 2 π \frac{( 2.656 \times 1 0 ^{7} ) ^{3}}{3.986 \times 1 0 ^{14}} = 43079 s = 11.97 h$
3. L'équation de la force vive n'a besoin que du rayon actuel et de la taille de l'orbite, et le périastre fournit les deux. Le résultat représente 93 % de la vitesse qui lui permettrait de quitter la Terre depuis cette altitude : une orbite très excentrique est une libération manquée de peu au point le plus bas.
  
  $v_{p} = μ (\frac{2}{r _{p}} - \frac{1}{a}) = 3.986 \times 1 0^{14} (\frac{2}{6.906 \times 1 0 ^{6}} - \frac{1}{2.656 \times 1 0 ^{7}}) = 10.021 km/s$
4. La même équation à l'autre extrémité, en ne modifiant que le rayon, donne une vitesse près de sept fois plus faible. Ce facteur n'est pas une information nouvelle — le moment cinétique rv est conservé, les deux vitesses doivent donc être inversement proportionnelles aux deux rayons, et le rapport des rayons était déjà fixé par e à l'étape 1.
  
  $v_{a} = μ (\frac{2}{r _{a}} - \frac{1}{a}) = 1.497 km/s, \frac{v _{p}}{v _{a}} = \frac{r _{a}}{r _{p}} = \frac{1 + e}{1 - e} = 6.69$
5. Lent au sommet signifie longtemps au sommet, et la deuxième loi de Kepler rend cela exact : aires égales en temps égaux, de sorte qu'une fraction de la période correspond à une fraction de l'aire. Le petit axe coupe l'ellipse en deux moitiés égales et croise l'orbite précisément là où r = a, de sorte que l'aire balayée depuis la Terre du côté éloigné est cette moitié plus le triangle entre le foyer et l'axe. a et b se simplifient tous deux dans le rapport, ce qui laisse l'excentricité seule.
  
  $\frac{t _{r > a}}{T} = \frac{\frac{1}{2} π ab + ab e}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π} = 0.5 + 0.2356 = 0.7355 ⟹ 0.7355 \times 11.97 = 8.80 h$
Réponse

L'outil affiche une période de 11,97 h, 10,021 km/s au périastre et 1,497 km/s à l'apoastre. L'étape 5 explique la finalité de ces nombres : 8,80 heures de chaque orbite de 11,97 heures sont passées au-delà de r = a, et à peine 3,17 heures en deçà. Trois satellites dans des plans décalés couvrent ainsi une journée entière avec plus de deux heures de chevauchement, ce qui a permis au réseau soviétique Molniya de fournir la télévision en continu à la Russie des hautes latitudes — un satellite géostationnaire se situant à l'horizon sous ces latitudes et étant inutilisable. Et ½ + e/π ne contient ni μ ni a : une orbite d'excentricité 0,74 autour de n'importe quel corps passe 73,6 % de son temps du côté éloigné.

$\frac{t _{r > a}}{T} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π} (a, μ cancel)$

Parcours

Des orbites à partir de deux nombres

Mène à Période orbitale la vitesse en tout point de cette ellipse à partir de seulement deux distances : votre position et le demi-grand axe.

Références (1)

The vis-viva equation and the energy-from-a alone result: R. R. Bate, D. D. Mueller and J. E. White, Fundamentals of Astrodynamics, §1.4–1.6. Dover, 1971. ISBN 978-0-486-60061-1.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

LEO circulaire - LEO circulaire : v≈7.67 km/s
GEO (géostationnaire) - Une orbite géostationnaire : 3,075 km/s à 42 164 km, avec une période de 23,94 h. Et non 24. Il s'agit du jour sidéral, le temps que met la Terre à tourner une fois par rapport aux étoiles. S'y accorder est la seule condition pour rester au-dessus d'un même point au sol.
Molnia (HEO) - À r = a, la vitesse indique 3,874 km/s. Cette orbite dévoile cependant tout son intérêt à ses extrémités : 10,021 km/s au périapse contre 1,497 km/s à l'apoapse, soit un facteur de 6,7. Le satellite passe l'essentiel de sa période de 11,97 heures à se traîner dans la portion lente. C'est très exactement la fonction d'une orbite de Molniya.
Orbite Terre–Soleil - L'orbite de la Terre : 29,788 km/s, pour une période de 365,22 j. Une excentricité de 0,017 peut paraître négligeable. Elle suffit pourtant à décaler la vitesse d'un kilomètre par seconde : 30,299 km/s au périhélie début janvier contre 29,286 km/s à l'aphélie début juillet.