Équation de Tsiolkovski

Δv = Isp · g₀ · ln(m₀/mf) — l'équation qui régit le vol spatial

Valeurs de départ — Équation de Tsiolkovski

Impulsion spécifique (Isp, s)	311
Rapport de masse (m₀/mf)	4.5

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la tyrannie de l'équation de la fusée 🖖

Chaque kilogramme de charge utile a besoin de propergol pour s'accélérer — mais ce propergol a lui-même une masse, qui nécessite encore plus de propergol. Le coût croît de façon exponentielle. Pour doubler le delta-v, il faut à peu près mettre le rapport de masse au carré. Voilà pourquoi le Saturn V pesait 2 900 tonnes au décollage mais n'a livré que 45 tonnes vers la Lune. Regardez l'animation : à l'allumage, le réservoir de propergol domine toute la fusée ; à la fin de la combustion, presque rien ne reste.

Pourquoi les fusées éjectent de la masse vers l'arrière 🖖

Une fusée n'a rien contre quoi pousser : elle avance donc en éjectant du propergol vers l'arrière. Chaque kilogramme projeté à la vitesse d'éjection v_e pousse le vaisseau vers l'avant (troisième loi de Newton). En additionnant ces poussées tandis que le vaisseau s'allège, le logarithme apparaît. La leçon pratique : la vitesse à laquelle on éjecte les gaz — ce que mesure l'impulsion spécifique — compte plus que la quantité de carburant emportée ; doubler v_e double le Δv pour exactement le même rapport de masse.

L'équation survit à la relativité 🖖

Remplacez le Δv newtonien par la rapidité — la grandeur relativiste qui s'additionne encore linéairement — et exactement la même forme, le logarithme du rapport de masse, tient à n'importe quelle vitesse. Le budget de Δv d'une fusée n'a donc pas de plafond, même si sa vitesse ne peut jamais atteindre c. Le piège est brutal : une fusée à photons matière-antimatière (v_e = c) doit, pour atteindre 0.9c, avoir un rapport de masse proche de 4.4, et un aller-retour qui freine aussi à chaque extrémité l'élève à la puissance quatre — plus de 350.

Problèmes entièrement résolus

Atteindre l'orbite avec un rapport de masse de 4,5 et 311 s d'impulsion spécifique 5 étapes
Un étage emporte 3,5 tonnes de propergol pour 1 tonne de tout le reste — réservoirs, moteur et charge utile combinés — alimentant un moteur de 311 s d'impulsion spécifique. Calculez son Δv, puis déterminez si un étage unique construit ainsi pourrait jamais atteindre l'orbite. Ce rapport masse pleine/masse à vide correspond à un rapport de masse de 4,5, et 311 s est la valeur associée au préréglage du premier étage de Saturn V dans l'outil — proche du sommet de la plage kérosène–oxygène, qui s'étend d'environ 260 s au niveau de la mer à 310 s dans le vide.
1. L'impulsion spécifique exprimée en secondes est la vitesse d'éjection déguisée : c'est la vitesse d'éjection divisée par l'intensité de la pesanteur standard, de sorte qu'en la remultipliant, on retrouve le nombre dont l'équation de la fusée a réellement besoin. Les secondes sont utilisées parce que la valeur est alors la même en unités impériales, et non parce que quoi que ce soit dure 311 s.
  
  $v_{e} = I_{s p} g_{0} = 311 \times 9.80665 = 3050 m/s$
2. Le logarithme s'applique à un rapport, donc seules les proportions comptent. Un étage de 3 tonnes et un étage de 3000 tonnes construits dans ces proportions fournissent les mêmes 4,587 km/s.
  
  $Δ v = v_{e} ln (\frac{m _{0}}{m _{f}}) = 3.050 \times ln 4.5 = 3.050 \times 1.5041 = 4.587 km/s$
3. Exprimez plutôt ce même rapport de masse sous forme de fraction de la masse au lancement. Près des quatre cinquièmes de l'étage sont constitués de propergol, ce qui a permis d'acheter moins de la moitié de ce que coûte un lancement en orbite.
  
  $f_{p} = 1 - \frac{m _{f}}{m _{0}} = 1 - \frac{1}{4.5} = 77.78%$
4. Appliquez donc l'équation à l'envers à partir de la cible. Atteindre l'orbite terrestre basse depuis le sol nécessite environ 9,4 km/s une fois les pertes par traînée et par gravité prises en compte, et à cette vitesse d'éjection, cela fixe le rapport de masse requis — ne laissant que 4,6 % de la masse au décollage pour les réservoirs, le moteur, la structure et le satellite réunis.
  
  $\frac{m _{0}}{m _{f}} = e^{Δ v / v_{e}} = e^{9.4/3.050} = e^{3.082} = 21.80 ⟹ f_{p} = 1 - \frac{1}{21.80} = 95.4%$
5. Personne ne construit de réservoirs aussi légers. Un étage à kérosène bien conçu compte environ 8 % de structure en masse pleine, et cela plafonne à lui seul le rapport de masse à 12,5 avant même d'ajouter un seul kilogramme de charge utile. Ce qui reste de 9,4 km/s constitue le déficit.
  
  $ε = 0.08 ⟹ (\frac{m _{0}}{m _{f}})_{m a x} = \frac{1}{0.08} = 12.5, Δ v_{m a x} = 3.050 ln 12.5 = 7.703 km/s (9.4 - 7.703 = 1.70)$
Réponse

L'outil affiche une vitesse d'éjection de 3050 m/s, 4,587 km/s de Δv et une fraction de propergol de 77,78 %. La dernière étape est la raison d'être de l'équation, car elle ne dit pas qu'un monoétage serait difficile — elle dit que le Δv n'est pas au rendez-vous, avec une charge utile nulle. Même avec 6 % de structure, soit à peu près le meilleur résultat qu'un grand étage à kérosène puisse atteindre, le total ne parvient qu'à 8,58 km/s. Combler 9,4 km/s en un seul étage avec 8 % de structure nécessiterait une impulsion spécifique de 380 s, soit un cinquième de plus que ce moteur et au-delà de tout moteur à kérosène ayant jamais volé ; les moteurs hydrogène-oxygène atteignent environ 450 s, c'est pourquoi toutes les études sérieuses de monoétage orbitaux ont porté sur l'hydrogène. L'autre échappatoire consiste à cesser de transporter le réservoir vide : larguez-le et l'équation redémarre avec une m₀ nettement plus petite, ce qui fait de l'étagement non pas une optimisation, mais la solution de contournement à une impossibilité.

$I_{s p} \geq \frac{Δ v}{g _{0} ln ( 1/ ε )} = \frac{9400}{9.807 \times 2.526} = 380 s$
Coût en ergols pour une fusée atteignant 4,587 km/s pour atteindre l'orbite 6 étapes
Le panneau annonce 4,587 km/s pour cette fusée, avec 77,78 % de la masse au décollage en ergols. Une orbite en demande environ 9,4. Deux fois la vitesse ne veut pas dire deux fois le carburant : calculez ce que cela coûte vraiment, puis comment on a contourné le problème.
1. Partez de l'état du panneau. La vitesse d'éjection n'est que l'impulsion spécifique multipliée par g₀, et le Δv ne dépend que du rapport de masse.
  
  $v_{e} = I_{s p} g_{0} = 311 \times 9.807 = 3050 m s^{- 1}, Δ v = v_{e} ln 4.5 = 4.587 km s^{- 1}$
2. Lisez la fraction d'ergols au pied de la lettre : avec un rapport de 4,5, tout sauf une part sur 4,5 est du carburant jeté en route.
  
  $\frac{m _{p}}{m _{0}} = 1 - \frac{1}{4.5} = 0.7778$
3. Demandez maintenant 9,4 km/s au même moteur. Inversez l'équation de la fusée : le rapport de masse ne double pas, il explose exponentiellement jusqu'à 21,80.
  
  $Δ v = 9.4 km s^{- 1} : \frac{m _{0}}{m _{f}} = e^{9400/3050} = e^{3.082} = 21.80 ⟹ \frac{m _{p}}{m _{0}} = 0.9541$
4. Regardez ce que signifient 95,41 % avant d'aller plus loin. Réservoirs, moteurs, structure, guidage et charge utile se partagent 4,59 % de la masse sur le pas de tir. Ce n'est pas un objectif d'ingénierie difficile : c'est à peu près une bulle de savon censée survivre à un lancement.
5. Coupez donc le travail en deux. Chaque étage fait 4,7 km/s et réclame un rapport de 4,669 — et multipliés, ils redonnent exactement 21,80.
  
  $Δ v_{1} = Δ v_{2} = 4.7 : R_{1} = e^{4700/3050} = 4.669, R_{1} R_{2} = 4.66 9^{2} = 21.80$
6. Pourquoi multipliés : les Δv s'additionnent, et le Δv est un logarithme du rapport. Une somme de logarithmes est le logarithme d'un produit.
  
  $i \sum Δ v_{i} = v_{e} i \sum ln R_{i} = v_{e} ln i \prod R_{i}$
Réponse

L'étagement ne réduit pas le rapport de masse. Il le factorise. 21,80 est hors d'atteinte d'un seul tenant et trivial en deux exemplaires de 4,669, et le tour est honnête parce que les réservoirs vides du premier étage cessent d'être du fret à l'instant où on les lâche. Chaque étage est alors à 78,58 % d'ergols — et regardez de nouveau le panneau, qui affiche 77,78 % depuis le début. Ce préréglage n'est pas une fusée qui atteint l'orbite : c'est un étage d'une fusée qui y parvient.

$i \prod R_{i} = 21.80 : 95.41% ⟷ 78.58% + 78.58%$

Parcours

Des orbites à partir de deux nombres

Références (1)

The equation itself: K. E. Tsiolkovsky, "Исследование мировых пространств реактивными приборами" ("Exploration of Outer Space by Means of Rocket Devices"). Nauchnoye Obozreniye, 1903.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

Saturn V premier étage - Isp=311s, rapport de masse=4.5 → Δv≈4.6 km/s, fraction de propergol 78%
Falcon 9 (niveau mer) - Isp=282s, rapport de masse=6 → Δv≈5.0 km/s, fraction de propergol 83%
Propulseur ionique - Isp=3000s, rapport de masse=12 → Δv≈73 km/s (propulseur ionique : poussée minime, Δv énorme)
Fusée amateur - Isp=130s, rapport de masse=2.5 → Δv≈1.2 km/s, fraction de propergol 60%