Équation de Tsiolkovski

Chaque kilogramme de charge utile a besoin de propergol pour s'accélérer — mais ce propergol a lui-même une masse, qui nécessite encore plus de propergol. Le coût croît de façon exponentielle. Pour doubler le delta-v, il faut à peu près mettre le rapport de masse au carré. Voilà pourquoi le Saturn V pesait 2 900 tonnes au décollage mais n'a livré que 45 tonnes vers la Lune. Regardez l'animation : à l'allumage, le réservoir de propergol domine toute la fusée ; à la fin de la combustion, presque rien ne reste.

Une fusée n'a rien contre quoi pousser : elle avance donc en éjectant du propergol vers l'arrière. Chaque kilogramme projeté à la vitesse d'éjection v_e pousse le vaisseau vers l'avant (troisième loi de Newton). En additionnant ces poussées tandis que le vaisseau s'allège, le logarithme apparaît. La leçon pratique : la vitesse à laquelle on éjecte les gaz — ce que mesure l'impulsion spécifique — compte plus que la quantité de carburant emportée ; doubler v_e double le Δv pour exactement le même rapport de masse.

Remplacez le Δv newtonien par la rapidité — la grandeur relativiste qui s'additionne encore linéairement — et exactement la même forme, le logarithme du rapport de masse, tient à n'importe quelle vitesse. Le budget de Δv d'une fusée n'a donc pas de plafond, même si sa vitesse ne peut jamais atteindre c. Le piège est brutal : une fusée à photons matière-antimatière (v_e = c) doit, pour atteindre 0.9c, avoir un rapport de masse proche de 4.4, et un aller-retour qui freine aussi à chaque extrémité l'élève à la puissance quatre — plus de 350.