Flottabilité et poussée d'Archimède

Un bateau dans un bassin et une cargaison qui se trouve soit à bord, soit par-dessus bord. La page calcule le tirant d'eau du bateau, la hauteur du niveau de l'eau, et de combien ce niveau varie lorsque la cargaison quitte le bateau.

Exemple résolu — Flottabilité et poussée d'Archimède

Masse que le bateau porte	160,0 kg
Liquide déplacé par le bateau	160,29 L
Poussée sur la coque	1 569,6 N
Tirant d'eau de la coque	100,2 mm
Liquide déplacé, charge à bord	40,07 L
Niveau de l'eau depuis le fond	1,0267 m
Variation, charge jetée à l'eau	−5,83 mm
Remontée du bateau	25,0 mm

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Flottabilité et poussée d'Archimède

Principe d'Archimède : tout corps plongé entièrement ou partiellement dans un fluide subit une force verticale dirigée vers le haut. C'est la poussée d'Archimède. Elle est égale au poids du fluide qu'il déplace, F_b = ρgV. Cette force provient de la pression. Le liquide appuie plus fort sur le bas du corps que sur le haut, simplement parce que la base se trouve plus en profondeur. Un corps flotte lorsque la poussée sur sa partie immergée compense son poids. Un corps flottant déplace donc exactement sa propre masse de liquide. À l'inverse, un corps qui coule ne peut pas déplacer plus que son propre volume. La part de son poids non soutenue par l'eau repose alors sur le fond. Chaque calcul sur cette page découle de l'une de ces deux phrases.

Ce que signifie chaque symbole

ρ: masse volumique du liquide, en kg/m³ : 998,2 pour l'eau douce à 20 °C et 1 025 pour l'eau de mer
V: volume de liquide déplacé, en m³. Mille litres font un mètre cube
F_b: la poussée d'Archimède, ρgV, en newtons. Pour un corps flottant, elle égale le poids du corps
d: tirant d'eau, la profondeur de la coque : sa masse divisée par ρ fois sa surface au sol
A_t: surface au sol du bassin. Un volume ajouté sous la surface fait monter le niveau de ce même volume divisé par A_t
A_b: surface de la coque, l'aire de son fond plat

Suppose: Une coque en forme de boîte avec un fond plat et des parois droites, ainsi qu'un bassin aux parois droites. Diviser un volume par une surface donne ainsi une hauteur. Le liquide est immobile, incompressible, et sa masse volumique reste uniforme. Un bloc coulé prend la forme d'un cube reposant au fond, à l'écart de la coque et entièrement sous l'eau. Le verdict vous avertit si la profondeur de l'eau ne suffit pas à le recouvrir. L'eau de fonte adopte la masse volumique de l'eau douce à 20 °C et conserve son volume en se mélangeant à la mer. L'estimation de Noerdlinger et Brower tourne autour de 2,6 % contre les 2,68 % de cette page. Cet écart provient des masses volumiques et du mélange, que la page modélise de façon simplifiée. La masse volumique du pin est fixée à une valeur typique de 500 kg/m³. N'importe quel bois qui flotte donne le même zéro.
Ne tient plus quand: Dès que la coque perd sa forme de boîte. La surface de flottaison d'un véritable bateau évolue avec la profondeur. On obtient son tirant d'eau en intégrant la forme de sa coque, et la remontée du bateau n'obéit plus à un simple ratio. La variation de niveau de l'étang reste toutefois intacte, car elle ne dépend que des volumes. La tension superficielle fausse l'hypothèse du bassin étroit aux très petites échelles, lorsque l'interstice autour de la coque se réduit à un ou deux millimètres. La compressibilité n'a aucun impact à ces profondeurs : quelques mètres d'eau la compriment beaucoup moins que le plus petit chiffre affiché ici. Enfin, un bateau qui prend l'eau par-dessus bord cesse d'être un bateau. Au-delà de la hauteur de coque, la page indique que le bateau est submergé au lieu de calculer un naufrage.

L'ancre passe par-dessus bord et l'étang baisse 🖖

Cliquez sur Ancre dans le bateau, puis sur Ancre au fond. À bord, l'ancre flotte avec la coque. Tout objet flottant repousse sa propre masse en eau : 40 kg d'ancre donnent 40,07 litres. Au fond, elle ne repousse plus que son volume, ce qui pour du fer à 7 874 kg/m³ représente 5,08 litres. Les 35 litres manquants, répartis sur l'étang de 6 m², font baisser la surface de 5,83 mm. Au même instant, le bateau remonte de 25,0 mm, et c'est ce mouvement que l'œil capte en premier. Le tableau sous les résultats teste ces mêmes 40 kg pour six matériaux. Le pin et la glace ne changent rien. L'or, le plus dense, fait chuter le niveau de 6,33 mm, tout près des 6,68 mm qui correspondraient à la disparition totale des 40,07 litres.

La glace qui fond ne fait pas déborder un verre d'eau mais fait monter la mer 🖖

De la glace flottant dans de l'eau douce déplace sa propre masse en eau. En fondant, elle devient cette même masse d'eau. Le niveau reste donc parfaitement stable : l'outil affiche 0,000 mm pour n'importe quel bloc, peu importe sa taille. Dans l'eau de mer, cette égalité disparaît. Le préréglage Glace en mer fait flotter 200 kg de glace en repoussant 195,12 litres d'eau salée. La glace fond ensuite en 200 kg d'eau douce. Celle-ci étant moins dense que l'eau de mer, elle occupe 2,68 % d'espace en plus. Le niveau monte de 0,873 mm. La masse volumique de la glace n'intervient nulle part dans ce calcul, seules celles des deux eaux comptent. Noerdlinger et Brower ont modélisé ce phénomène pour les océans en 2007. Ils ont estimé cet excédent à environ 2,6 %. Selon leurs calculs, la fonte de toute la banquise et des plateformes glaciaires flottantes ferait monter le niveau des mers d'environ 4 cm.

Une tonne de bateau flotte sur 50 kg d'eau 🖖

La poussée d'Archimède sur une coque correspond à la pression sous celle-ci multipliée par sa surface. Cette pression s'écrit ρgh : elle dépend uniquement du tirant d'eau du bateau, et non de la quantité d'eau présente autour. Le bateau a seulement besoin d'assez d'eau pour remplir l'interstice qui l'entoure jusqu'à sa ligne de flottaison. Avec le préréglage Une tonne à l'étroit, un bateau de 1 000 kg possédant une coque de 2 m² est placé dans un bassin de 2,1 m². Le minimum d'eau nécessaire pour le faire flotter s'élève à 50,00 kg. Divisez ce chiffre par la masse du bateau pour obtenir 5,0 %. Cela correspond au ratio entre la surface de l'interstice et la surface de la coque, soit 0,1 ÷ 2, la masse volumique et le poids s'annulant mutuellement. L'outil Pression en profondeur démontre la même chose par le bas : la force exercée sur une base est dictée par la profondeur de l'eau au-dessus, et un mince tube d'eau appuie sur sa base avec près de dix fois son propre poids.

Problème entièrement résolu

Descendez l'ancre avec une corde. Quand l'étang baisse-t-il ? 5 étapes
La barque du premier préréglage, 120 kg avec une ancre en fer de 40 kg, sur un étang de 6 m². Au lieu de jeter l'ancre, vous la descendez avec une corde jusqu'à la suspendre sous l'eau, sans toucher le fond, puis vous la laissez se poser. Le niveau varie-t-il pendant qu'elle pend, et de combien change-t-il lorsqu'elle touche le fond ? Décidez avant de poursuivre votre lecture.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Commencez avec tout à bord. Le bateau fait flotter 160 kg, il déplace donc 160 kg d'eau :
  
  $V_{1} = \frac{120 + 40}{998 . 2} = 0.16029 m^{3} = 160.29 L$
2. Le propre volume de l'ancre, ainsi que la poussée qu'elle subit une fois sous l'eau, correspondent au poids de 5,07 kg d'eau :
  
  $V_{a} = \frac{40}{7874} = 0.00508 m^{3} ρ V_{a} = 998.2 \times 0.00508 = 5.07 kg$
3. Suspendue à la corde, l'ancre est portée en partie par l'eau et en partie par la corde. La corde supporte le reste :
  
  $T = (40 - 5.07) g = 34.93 kg \times 9.81 = 342.65 N$
4. Cette tension tire le bateau vers le bas. Le bateau fait maintenant flotter 154,93 kg. Ajoutez l'eau déplacée par la coque à celle déplacée par l'ancre juste à côté :
  
  $V_{2} = \frac{120 + 34 . 93}{998 . 2} + 0.00508 = 0.15521 + 0.00508 = 0.16029 m^{3} = V_{1}$
5. Le total correspond exactement au chiffre avec tout à bord. Laissez maintenant l'ancre se poser. Le fond récupère les 34,93 kg que la corde soutenait. Le bateau ne fait flotter que ses propres 120 kg, et l'eau perd cette part de sa charge :
  
  $V_{3} = \frac{120}{998 . 2} + 0.00508 = 0.12530 m^{3} Δ h = \frac{V _{3} - V _{1}}{A _{t}} = \frac{0 . 12530 - 0 . 16029}{6} = - 5.83 mm$
Réponse

Rien ne bouge pendant que l'ancre est suspendue. L'eau porte l'intégralité des 160 kg, en partie par la coque et en partie par l'ancre, tout comme lorsqu'elle se trouvait à bord. Le niveau chute de 5,83 mm au moment exact où l'ancre touche le fond. À cet instant, le sol prend en charge les 34,93 kg que l'eau soutenait. Le niveau dépend de qui porte le poids. Passer par-dessus bord n'est pas l'événement qui modifie la donne.

$V_{2} = V_{1} \Rightarrow Δ h = 0 V_{3} < V_{1} \Rightarrow Δ h = - 5.83 mm$

Références (3)

The principle in Archimedes' own two halves: Proposition 5, a floating solid sinks until it displaces its own weight of fluid, and Proposition 7, a solid heavier than the fluid goes to the bottom and weighs less there by the weight of the fluid it displaces: T. L. Heath (ed.), The Works of Archimedes. Cambridge University Press, 1897. On Floating Bodies, Book I, Propositions 5-7, pp. 257-258.
Why melting floating ice raises the sea, and by about how much: meltwater takes up about 2.6% more room than the seawater the ice displaced, and melting all sea ice and floating ice shelves would raise sea level about 4 cm: P. D. Noerdlinger and K. R. Brower, "The melting of floating ice raises the ocean level." Geophysical Journal International 170(1), 2007, pp. 145-150. DOI 10.1111/j.1365-246X.2007.03472.x
The density of ice, 916.72 kg/m³ at its normal melting point, from the international equation of state for ordinary ice: International Association for the Properties of Water and Steam, Revised Release on the Equation of State 2006 for H2O Ice Ih, IAPWS R10-06(2009). Doorwerth, The Netherlands, September 2009. Table 6.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.