Pression en profondeur

Choisissez un récipient, une profondeur et un liquide. La page calcule la pression à la base, la force qu'elle y exerce, et compare cette force au poids du liquide situé au-dessus.

Exemple résolu — Pression en profondeur

Masse volumique du liquide	998 kg/m³
Pression à la base	4,896 kPa
Aire de la base	0,0314 m²
Force exercée sur la base	153,8 N
Contenance du récipient	15,708 L
Poids de ce liquide	153,8 N
Force sur la base ÷ poids du liquide	1,000
Hauteur d'application de cette force	0,167 m

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Pression en profondeur

La pression est une force répartie sur une surface, p = F/A, mesurée en pascals. Un pascal équivaut à un newton sur un mètre carré. Dans un liquide immobile, la pression à une profondeur h sous la surface s'écrit p = ρgh, où ρ est la masse volumique du liquide et g vaut 9,81 m/s². Observez ce qui manque dans cette formule. Vous n'y trouverez ni surface, ni volume, ni aucune information sur le récipient. Les trois affirmations de cette page découlent de cette absence. Toutes les pressions calculées ici sont des pressions relatives. Elles représentent uniquement ce que le liquide ajoute à la pression qui s'exerce déjà sur sa surface.

Ce que signifie chaque symbole

p: pression, en pascals. 1 Pa = 1 N/m², et un kilopascal en vaut mille
ρ: masse volumique du liquide, en kg/m³. La seule propriété du liquide qui apparaisse sur cette page
h: profondeur sous la surface, en mètres. Il s'agit de la profondeur, et non de la hauteur du récipient ni de la quantité de liquide
A: la surface qui subit la force, en m². La pression multipliée par la surface donne la force
g: 9,81 m/s², pour que le résultat de ρgh s'exprime en pascals

Suppose: Elle suppose que le liquide est immobile et que sa masse volumique est uniforme. Ces deux conditions sont valables pour l'eau d'un réservoir, mais ne le sont pas pour l'atmosphère. C'est pourquoi cette page étudie des liquides et non des gaz. La pression atmosphérique est exclue de tous les calculs car elle s'annule. L'air appuie sur la surface du liquide et pousse sous la base avec les mêmes 101 kPa, il n'apparaît donc jamais dans la force supportée par la base. Un profondimètre de plongée fonctionne exactement de cette façon, et c'est pour cela que les valeurs présentées ici correspondent à celles que vous mesureriez en pratique.
Ne tient plus quand: Elle cesse de s'appliquer dès que le liquide entre en mouvement. L'écoulement dans un tuyau obéit au théorème de Bernoulli. C'est dans le chapitre Bernoulli et l'effet Venturi que l'on calcule la pression perdue par un fluide en mouvement à cause de sa propre vitesse. Les fluides compressibles invalident l'autre hypothèse. La masse volumique de l'air diminue de moitié tous les 5,5 km environ, l'expression ρgh avec un ρ constant devient donc fausse au-delà de quelques dizaines de mètres d'atmosphère. Les très petits récipients posent également problème. Dans un tube d'un millimètre de diamètre environ, la tension superficielle fait monter ou descendre le liquide sur une hauteur que cette page ne modélise pas du tout. Enfin, la force exercée sur la paroi est donnée ici par mètre pour un mur droit et vertical. Un barrage voûte reporte une partie de sa charge sur les flancs de la vallée, ce qui demande un calcul différent et explique pourquoi il peut être aussi fin.

Quatre récipients, quarante-deux fois plus d'eau, une seule mesure 🖖

Cliquez sur Évasé, 68 litres puis sur Tube sur disque, 1,6 litre. Même base, même demi-mètre d'eau, et le volume est multiplié par 42. La pression affiche 4,896 kPa dans les deux cas et la force sur la base s'élève à 153,8 N à chaque fois. Seules la profondeur et la masse volumique interviennent dans p = ρgh. Ces grandeurs ignorent tout des parois. Le tableau ci-dessous présente les quatre récipients simultanément. Vous pouvez ainsi observer deux de ses colonnes rester figées pendant que les autres varient.

La base supporte plus que le poids du liquide 🖖

Le tube sur disque contient 1,606 litre, soit environ 1,6 kg. Sa base supporte 153,8 N, ce qui correspond au poids de 15,7 kg. C'est 9,78 fois l'eau qui s'y trouve. Le récipient évasé en est le reflet inverse avec 0,231. Rien n'est créé de nulle part. Les parois inclinées appuient sur le liquide dans le cas du récipient rétréci et le soulèvent dans le cas évasé. La base subit exactement cette différence. L'expérience qui porte le nom de Pascal pousse ce principe à son extrême : quelques centaines de grammes d'eau dans un tuyau long et fin suffisent à faire éclater le tonneau sur lequel il repose. Le problème résolu ci-dessous reprend ce tonneau avec ses véritables valeurs.

Une profondeur doublée quadruple la charge sur la paroi 🖖

La pression sur le mur d'un barrage n'est pas une valeur unique. Elle augmente depuis zéro à la surface jusqu'à ρgh au fond. En moyenne sur l'ensemble de la paroi, elle vaut la moitié de ce maximum. La surface mouillée augmentant elle aussi avec la profondeur, la force par mètre de largeur devient ½ρgh², c'est-à-dire un carré. Faites passer un réservoir de 1 m à 2 m et la charge sur la paroi bondira de 4 896 à 19 585 N par mètre. Elle est ainsi multipliée par quatre. C'est pour cette raison qu'un barrage est épais à sa base et fin à son sommet : la force résultante s'applique au tiers de la hauteur depuis le fond, et non à la moitié.

Problème entièrement résolu

Le tonneau de Pascal : quelle force un demi-litre d'eau exerce-t-il sur le couvercle ? 6 étapes
Un tonneau fermé possède un couvercle de 0,60 m de diamètre. Un tube fin de 5 mm de rayon y est inséré et rempli d'eau sur une hauteur de 5 m. Calculez la force que l'eau exerce sur le couvercle et comparez-la au poids de l'eau contenue dans le tube avant de poursuivre la lecture. Cliquez sur Tube sur disque, 1,6 L pour observer ce même phénomène à une échelle dix fois plus petite.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Le tube n'ajoute de la pression que par sa hauteur. Cinq mètres d'eau :
  
  $p = ρ g h = 998.2 \cdot 9.81 \cdot 5 = 48, 962 Pa$
2. Cette pression s'applique sur tout le couvercle, qui est un disque de 0,30 m de rayon :
  
  $A_{lid} = π R^{2} = π \cdot 0.3 0^{2} = 0.28274 m^{2}$
3. La force est le produit de la pression par la surface. En l'exprimant sous forme de masse, on s'en rend mieux compte : le couvercle supporte environ 1,4 tonne.
  
  $F = p A_{lid} = 48, 962 \cdot 0.28274 = 13, 844 N (\frac{13 , 844}{9 . 81} = 1, 411 kg)$
4. Considérons maintenant l'eau responsable de cette force. Le calibre du tube est de 5 mm, sa section transversale est donc minuscule :
  
  $bore radius cross-section π r^{2} volume π r^{2} h mass ρ V weight ρ V g 0.005 m 7.854 \times 1 0^{- 5} m^{2} 3.927 \times 1 0^{- 4} m^{3} = 0.3927 L 0.392 kg 3.85 N$
5. Divisez l'un par l'autre. Trois cent quatre-vingt-dix grammes d'eau appliquent 13 844 N sur le couvercle :
  
  $\frac{F}{W} = \frac{13 , 844}{3 . 85} = 3, 600$
6. Voici ce qu'il faut en retenir. Si vous écrivez ce rapport avec des symboles, la hauteur s'annule, car elle figure à la fois dans la pression et dans le volume. La masse volumique s'annule également, tout comme g. Cette multiplication dépend uniquement du rapport entre les deux surfaces. C'est très exactement ainsi qu'un cric hydraulique soulève une voiture.
  
  $\frac{F}{W} = \frac{ρ g h A _{lid}}{ρ g A _{pipe} h} = \frac{A _{lid}}{A _{pipe}} = (\frac{0 . 30}{0 . 005})^{2} = 6 0^{2} = 3, 600$
Réponse

13 844 N sur le couvercle à partir de 3,85 N d'eau. La force est multipliée par 3 600. Ce chiffre correspond à (0,30 ÷ 0,005)² et resterait identique pour un tube de n'importe quelle hauteur et un liquide de n'importe quelle masse volumique. Pascal n'avait pas besoin de beaucoup d'eau, il avait besoin d'un tube très fin. Le tonneau n'éclate pas à cause de ce qui se trouve dans le tuyau. Il éclate en raison du rapport entre ce tuyau et le couvercle.

$13, 844 N from 3.85 N \Rightarrow \frac{A _{lid}}{A _{pipe}} = 3, 600$

Références (3)

How the result on this page was arrived at, and by whom. Stevin had the paradox in 1586, half a century before Pascal, and the paper follows what each of them actually added: A. F. Chalmers, "Qualitative novelty in seventeenth-century science: Hydrostatics from Stevin to Pascal." Studies in History and Philosophy of Science Part A 51, 2015, pp. 1-10. DOI 10.1016/j.shpsa.2015.01.001
Stevin's own hydrostatics, where the force on the base was first separated from the weight of the liquid: E. J. Dijksterhuis, "Hydrostatics." In Simon Stevin: Science in the Netherlands around 1600, Springer Netherlands, 1970, pp. 64-69. DOI 10.1007/978-94-010-3207-0_5
The paradox had a name and a readership long before it had a syllabus. This is the 1869 note it carried in Scientific American: "The Hydrostatic Paradox." Scientific American 21, 1869, p. 249. DOI 10.1038/scientificamerican10161869-249

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.