Laboratoire de commande Bode/Nyquist

déplace les pôles avec les curseurs et observe les marges de robustesse changer instantanément

Valeurs de départ — Laboratoire de commande Bode/Nyquist

Gain de boucle K	1
Fréquence propre wn	3
Coefficient d'amortissement zeta	0.7

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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Leçon

La théorie — Laboratoire de commande Bode/Nyquist

Le critère de stabilité de Nyquist tranche la stabilité d’une boucle de rétroaction en comptant plutôt qu’en résolvant. On trace la réponse en boucle ouverte G(jω) dans le plan complexe, on compte le nombre de tours que la courbe fait autour du point −1 + j0, et l’on y ajoute le nombre de pôles instables que la boucle possédait déjà avant d’être fermée : Z = N + P. Tout Z non nul signifie que la boucle fermée diverge.

Ce que signifie chaque symbole

P: le nombre de pôles de G(s) en boucle ouverte déjà situés dans le demi-plan droit, comptés avant la fermeture de la boucle. Pour le procédé de cette page, il vaut toujours 0.
N: le nombre d’encerclements dans le sens horaire du point −1 + j0 par la courbe de Nyquist. Les tours antihoraires comptent négativement : N peut donc être inférieur à zéro.
Z: le nombre de pôles en boucle fermée dans le demi-plan droit — la réponse réellement cherchée. Z = 0 signifie stable ; toute autre valeur, non.
−1 + j0: le point critique, tracé en rouge sur le diagramme de Nyquist. C’est là que le gain de boucle vaut exactement 1 avec exactement 180° de retard de phase : un signal envoyé une fois autour de la boucle revient de même amplitude et inversé.

D’où vient la formule

Poser correctement la question. Avec un retour unitaire négatif, la fonction de transfert en boucle fermée est G/(1 + G) : ses pôles sont donc les zéros de 1 + G(s). La stabilité se réduit à une seule question — 1 + G(s) a-t-il des zéros dans le demi-plan droit ? Les trouver reviendrait à factoriser un polynôme que l’on ne possède peut-être même pas.
Les compter au lieu de les chercher. Le principe de l’argument dit que si s parcourt une fois un contour fermé dans le sens horaire, l’image de 1 + G(s) tourne autour de l’origine autant de fois qu’il y a de zéros à l’intérieur, moins les pôles à l’intérieur. Tourner autour de l’origine pour 1 + G est exactement le même mouvement que tourner autour de −1 pour G — d’où la position du point critique, et la raison pour laquelle il vaut −1 et rien d’autre.
On prend pour contour tout le demi-plan droit : on remonte l’axe imaginaire, on revient par un demi-cercle infini. « À l’intérieur du contour » et « instable » désignent désormais la même chose. Les zéros enfermés sont Z, les pôles enfermés P, le nombre de tours est N, et le principe de l’argument s’écrit N = Z − P, soit Z = N + P. Sur l’axe imaginaire s = jω, et G(jω) est la réponse en fréquence : la courbe que cette page trace déjà.
Cette dernière phrase est tout le bénéfice. Le comptage n’exige aucun modèle. G(jω) se mesure — on excite le matériel réel par des sinusoïdes et on enregistre ce qui revient —, si bien qu’on obtient un verdict de stabilité sur un système dont personne n’a jamais écrit l’équation. Les marges de gain et de phase ne sont alors que deux façons de demander de combien la courbe mesurée manque −1 : l’une le long de l’axe réel négatif, l’autre sur le cercle unité.

Comment lire ce que vous voyez

Les trois panneaux montrent la boucle ouverte — G(jω) seule, la chaîne de retour n’étant pas encore connectée — tandis que les deux marges en dessous décrivent ce qui se passe une fois qu’elle l’est. Le pic d’amplitude proche de ω_n, ainsi que ω_r et M_r dans le tableau, appartiennent donc à G et non à la boucle fermée que vous concevez. Sur le diagramme de Nyquist, la courbe pleine correspond à ω croissant à partir de zéro et la courbe en pointillés à son miroir pour ω négatif. Les deux sont nécessaires : un encerclement n’existe qu’une fois le contour refermé, et un balayage en fréquence n’en mesure jamais que la moitié. Les flèches donnent le sens de parcours, qui décide si un tour compte comme horaire.

Suppose: Un retour unitaire négatif, et un P connu. Cette page ne vous demande jamais P : elle le prend nul, ce qui n’est exact ici que parce que le curseur d’amortissement s’arrête à ζ = 0.05 et que les deux pôles restent dans le demi-plan gauche pour tout réglage accessible. Donnez le même critère à un procédé déjà instable en boucle ouverte, et une courbe sans encerclement signifie exactement l’inverse de ce qu’elle signifie ici. On suppose aussi que rien ne s’est simplifié en chemin : un pôle du demi-plan droit annulé par un zéro disparaît de G(s) tout en restant dans le matériel, et le comptage certifiera alors une boucle qui diverge malgré tout.
Ne tient plus quand: Nyquist répond par oui ou par non à propos d’un modèle exact unique, et le matériel n’est ni exact ni figé. Z = 0 dit que la boucle nominale est stable et absolument rien sur la dérive de gain, ou l’écart de température, qu’il faudrait pour qu’elle cesse de l’être — d’où les deux marges imprimées par cette page plutôt que le seul mot « stable ». Ces marges sont elles-mêmes optimistes, car chacune se mesure l’autre étant maintenue fixe : une boucle peut afficher une marge de gain confortable et une marge de phase confortable, et voir une variation modérée des deux à la fois conduire la courbe droit sur −1. Le chiffre honnête est la plus courte distance de la courbe au point critique, dans n’importe quelle direction, et aucun panneau ici ne la trace.

On ne peut pas déstabiliser cette boucle avec le gain 🖖

Chacun des deux pôles apporte au plus 90° de retard de phase, et n’atteint ses 90° complets qu’à fréquence infinie : la phase de K·ω_n²/(s² + 2ζω_ns + ω_n²) tend donc vers −180° sans jamais y parvenir. Poussez les trois curseurs à leurs limites et elle s’arrête encore à −179,99°. C’est pourquoi la marge de gain affiche ∞ : la courbe de Nyquist n’enlace jamais le point −1, et augmenter K ne fait que l’étirer. Ici l’instabilité exige une troisième source de retard — un pôle supplémentaire, un intégrateur, un retard de transport — et non plus de gain.

Prévoir les oscillations sans résoudre d'équations 🖖

Au lieu de résoudre l'équation différentielle, on excite le système avec des signaux sinusoïdaux à de nombreuses fréquences et on observe sa réponse. Le diagramme de Bode indique de combien chaque fréquence est amplifiée et retardée en phase. Le danger surgit là où le gain franchit 0 dB tandis que la phase approche −180° : la rétroaction se renforce alors elle-même et la boucle oscille. La marge de phase mesure la distance à ce bord — plus de marge, une régulation plus calme.

La marge de phase fixe un budget de retard 🖖

Une bonne marge de phase révèle aussi le retard pur que la boucle peut supporter. Un retard ajoute un déphasage qui croît avec la fréquence (−ωτ) et grignote la marge le plus vite là où la boucle est la plus active. Le retard tolérable vaut environ τ = PM / ω_c, avec PM en radians et ω_c la pulsation de coupure au gain unité. Ainsi une boucle rapide à large bande peut être détruite par quelques millisecondes de retard de capteur qu'une boucle plus lente, à marge égale, ignore.

Intuition fausse courante

Un gain plus élevé ne signifie pas toujours un meilleur contrôle. Il peut améliorer la rapidité tout en détruisant silencieusement les marges de robustesse.

Problème entièrement résolu

Un pic de résonance de 1,0002 et une marge de gain infinie 6 étapes
Une boucle du second ordre avec ζ = 0,7. Le panneau indique un pic de résonance de 1,0002 et une marge de gain infinie. Expliquez les deux.
1. La forme standard du second ordre, avec les trois paramètres réglés par les curseurs. Tout ce qui suit se lit au dénominateur.
  
  $G (s) = \frac{K ω _{n}^{2}}{s ^{2} + 2 ζ ω _{n} s + ω _{n}^{2}} = \frac{9}{s ^{2} + 4.2 s + 9} (K = 1, ω_{n} = 3, ζ = 0.7)$
2. Les pôles sont les racines. La partie réelle est le taux de décroissance et la partie imaginaire est la fréquence d'oscillation, et toutes deux sont visibles dans la réponse indicielle.
  
  $s = - ζ ω_{n} \pm j ω_{n} 1 - ζ^{2} = - 2.1 \pm j 3 0.51 = - 2.1 \pm j 2.142$
3. La fréquence de résonance n'est pas la fréquence propre. La racine carrée sous-jacente peut s'annuler, ce qui fait l'objet de l'étape suivante.
  
  $ω_{r} = ω_{n} 1 - 2 ζ^{2} = 3 1 - 0.98 = 3 0.02 = 0.424 rad/s$
4. Elle s'annule pour ζ = 1/√2. À 0,7, le système se situe tout juste à l'intérieur de la zone avec pic, et le pic est de 0,002 dB — présent dans le calcul algébrique et invisible sur n'importe quel graphique.
  
  $1 - 2 ζ^{2} > 0 ⟺ ζ < \frac{1}{2} = 0.7071; M_{r} = \frac{1}{2 ζ 1 - ζ ^{2}} = 1.0002$
5. Passons à la phase. Chaque pôle apporte un retard qui tend vers 90°, de sorte que deux pôles s'approchent de 180° par le haut sans jamais le franchir.
  
  $∠ G (j ω) = - arctan \frac{2 ζ ω _{n} ω}{ω _{n}^{2} - ω ^{2}} ⟶ - 18 0^{\circ} only as ω \to \infty$
6. Absence de franchissement signifie absence de marge de gain proprement dite, ce qu'indique le panneau.
  
  $PM = 163.7 5^{\circ}, GM = \infty$
Réponse

ζ = 0,7 se situe juste en dessous de 1/√2, et deux pôles ne peuvent pas atteindre −180°. La fréquence de résonance comporte √(1 − 2ζ²), qui s'annule pour ζ = 0,7071 — ainsi, 0,7 se situe 0,001 à l'intérieur de la région où un pic existe, et le pic obtenu est de 1,0002, soit 0,002 dB. Ce seuil est la condition de Butterworth, et c'est la raison pour laquelle 0,707 est le coefficient d'amortissement préconisé par tous les manuels de filtrage : c'est le réglage le plus réactif qui ne présente toujours aucun pic. La marge de gain infinie est une affirmation plus forte et plus dangereuse. Chaque pôle apporte au maximum 90° de retard, de sorte que deux pôles s'approchent de 180° sans jamais l'atteindre, et aucun niveau de gain ne fera osciller cette boucle. Les boucles réelles finissent toujours par osciller — le troisième pôle, le retard de transport, la résonance non modélisée —, de sorte qu'une marge de gain infinie indique de manière fiable qu'il manque quelque chose au modèle, et non que le matériel est hors de danger.

$ζ = 0.7 sits just under \frac{1}{2}; GM = \infty$

Références (2)

The lesson — the encirclement count Z = N + P, in the paper that introduced it: H. Nyquist, "Regeneration Theory." Bell System Technical Journal 11(1), 126–147, 1932.
Insight block 3 — phase margin as a delay budget: K. Ogata, Modern Control Engineering, 5th edition, ch. 7. Prentice Hall, 2010. ISBN 978-0-13-615673-4.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-29

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Exemples de problèmes

base stable - K = 1 donne un gain statique unitaire, une pulsation de coupure de 0,60 rad/s et une marge de phase de 163,74°. Le système est très loin de l’instabilité.
proche de l'oscillation - Le réglage le moins stable proposé par l’outil : une marge de phase de 16,70° et un pic de résonance de 16,44 dB, pour un retard admissible de seulement 52 ms.
lent mais robuste - K = 0,8 et ζ = 0,9 : le gain n’atteint jamais 0 dB. Il n’y a donc aucune pulsation de coupure, la marge de phase est infinie et aucun retard ne peut déstabiliser le système.
risque de gain élevé - Malgré son nom, c’est le plus sûr des deux réglages aux marges serrées : sa marge de phase est de 21,66°, contre 16,70° pour « Proche de l’oscillation », car le surcroît d’amortissement, avec ζ = 0,35 au lieu de 0,2, compense largement le passage de K = 2,6 à K = 4,2.