Explorateur d'ondes stationnaires

Découvrez comment des ondes stationnaires se forment à partir de deux ondes qui interfèrent. Ajustez le numéro d'harmonique pour voir les harmoniques supérieures.

Valeurs de départ — Explorateur d'ondes stationnaires

Longueur de la corde/du tuyau (m)	1
Vitesse de l'onde (m/s)	343
Harmonique n	1

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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Seules des demi-longueurs d’onde entières tiennent, d’où le son musical des cordes 🖖

Une corde fixée à ses deux extrémités ne peut pas vibrer à n’importe quelle fréquence. Les extrémités sont contraintes à l’immobilité : seuls survivent les motifs où un nombre entier de demi-longueurs d’onde tient entre elles, soit λ = 2L/n. Comme la fréquence est la vitesse divisée par la longueur d’onde, les fréquences permises sont des multiples entiers exacts de la plus basse, fₙ = n · f₁. La corde de 1 m de cet outil à 343 m/s affiche 171,5 Hz pour n = 1 et exactement 514,5 Hz pour n = 3 — le triple, pas simplement une valeur voisine. C’est ce rapport entier que l’oreille entend comme une hauteur unique dotée d’un timbre, et non comme un accord ou un bruit ; c’est aussi ce qui permet à une guitare et à une flûte d’être accordées ensemble.

Deux ondes qui se piègent elles-mêmes 🖖

Une onde stationnaire ne va en réalité nulle part. Elle apparaît lorsqu'une onde qui se propage se réfléchit sur une frontière et se superpose à son propre écho : les deux se déplacent en sens opposés et se figent en un motif immobile, où les nœuds ne bougent jamais. Seules survivent les longueurs d'onde qui logent un nombre entier de demi-boucles entre les extrémités. À retenir : raccourcissez la corde ou le tuyau et ces longueurs d'onde diminuent, donc la hauteur du son monte.

Votre micro-ondes peut mesurer la vitesse de la lumière 🖖

Un four à micro-ondes remplit sa cavité d'une onde électromagnétique stationnaire : l'énergie s'accumule sur des ventres fixes tandis que les nœuds restent froids — c'est précisément pourquoi les aliments ont besoin d'un plateau tournant. Retirez-le, faites fondre une tablette de chocolat plate, et les zones fondues marquent les ventres, espacés d'environ 6 cm. Multipliez cette demi-longueur d'onde par les 2.45 GHz inscrits à l'arrière et vous retrouvez c ≈ 3 × 10⁸ m/s sur le plan de travail.

ONDES STATIONNAIRES — QUEL MODE, ET QUE PERMETTENT LES EXTRÉMITÉS ?

Dans quel cas d’onde stationnaire êtes-vous ?

Une onde stationnaire est la seule forme qui tienne : une onde dont les réflexions se superposent à elle-même. La longueur du milieu choisit les longueurs d’onde qui survivent, λ = 2L/n, et la célérité les convertit en fréquences, f = v/λ. Ce que font les extrémités — maintenues ou libres — décide de la position des nœuds, pas des longueurs d’onde autorisées.

Le fondamental — la plus longue onde que la longueur accepte λ = 2L, f = v/λ

Une harmonique supérieure — n demi-longueurs d’onde, n fois la fréquence λ = 2L/n, f = n·f₁

Extrémités ouvertes — le motif se renverse, pas les longueurs d’onde L = nλ/2

Un vrai instrument — la longueur est ce que vous changez f ∝ 1/L

Le fondamental — la plus longue onde que la longueur accepte

Ce que vous savez: n = 1 : une demi-longueur d’onde couvre tout le milieu, donc λ = 2L. C’est la plus basse fréquence qui tienne, et c’est la hauteur que vous entendez.

Relation: λ = 2L, f = v/λ

Exemple résolu: L = 1 m avec v = 343 m/s → λ = 2 m et f = 343/2 = 171,5 Hz

Ouvrir ce cas: Fondamentale

Le fondamental — la plus longue onde que la longueur accepte. Une seule arche sur toute la longueur : la plus longue onde qui tienne encore. n = 1 : une demi-longueur d’onde couvre tout le milieu, donc λ = 2L. C’est la plus basse fréquence qui tienne, et c’est la hauteur que vous entendez. — Une seule arche sur toute la longueur : la plus longue onde qui tienne encore.

Une harmonique supérieure — n demi-longueurs d’onde, n fois la fréquence

Ce que vous savez: Pour le mode n, le milieu loge n demi-longueurs d’onde : λ = 2L/n et f = n·f₁. Les nœuds se placent à chaque multiple de L/n le long de la longueur.

Relation: λ = 2L/n, f = n·f₁

Exemple résolu: Le même mètre avec n = 3 → λ = 0,667 m et f = 514,5 Hz, exactement le triple du fondamental

Ouvrir ce cas: 3e harmonique

Une harmonique supérieure — n demi-longueurs d’onde, n fois la fréquence. Trois demi-longueurs d’onde tiennent dans la même longueur, avec des points fixes entre elles. Pour le mode n, le milieu loge n demi-longueurs d’onde : λ = 2L/n et f = n·f₁. Les nœuds se placent à chaque multiple de L/n le long de la longueur. — Trois demi-longueurs d’onde tiennent dans la même longueur, avec des points fixes entre elles.

Extrémités ouvertes — le motif se renverse, pas les longueurs d’onde

Ce que vous savez: Avec les deux extrémités ouvertes, l’air y bouge librement : ce sont des ventres et non des nœuds. Les longueurs d’onde autorisées restent λ = 2L/n ; seule la forme est inversée.

Relation: L = nλ/2

Exemple résolu: Un tuyau ouvert de L = 0,5 m avec n = 2 → λ = 0,5 m et f = 686 Hz, la même arithmétique qu’une corde de même longueur

Ouvrir ce cas: Tuyau ouvert

Extrémités ouvertes — le motif se renverse, pas les longueurs d’onde. Les deux extrémités sont libres : l’onde a des ventres là où la corde avait des nœuds. Avec les deux extrémités ouvertes, l’air y bouge librement : ce sont des ventres et non des nœuds. Les longueurs d’onde autorisées restent λ = 2L/n ; seule la forme est inversée. — Les deux extrémités sont libres : l’onde a des ventres là où la corde avait des nœuds.

Un vrai instrument — la longueur est ce que vous changez

Ce que vous savez: Une corde de guitare est fixée aux deux bouts : le même λ = 2L/n s’applique. Presser une case raccourcit L, et comme f est proportionnelle à 1/L, la hauteur monte.

Relation: f ∝ 1/L

Exemple résolu: L = 0,65 m avec n = 2 → λ = 0,65 m et f = 527,7 Hz ; le fondamental de cette corde vaut 263,8 Hz

Ouvrir ce cas: Guitare (2e)

Un vrai instrument — la longueur est ce que vous changez. La longueur vibrante fixe la hauteur ; chaque frette est un nouveau L dans la même formule. Une corde de guitare est fixée aux deux bouts : le même λ = 2L/n s’applique. Presser une case raccourcit L, et comme f est proportionnelle à 1/L, la hauteur monte. — La longueur vibrante fixe la hauteur ; chaque frette est un nouveau L dans la même formule.

Problème entièrement résolu

Note la plus grave d'une corde de 1 m propageant des ondes à 343 m/s 5 étapes
Une corde de 1 m, fixée aux deux extrémités, parcourue par des ondes à 343 m/s. Trouver sa note la plus basse — puis remonter jusqu'à la tension qui produit cette vitesse d'onde, et jusqu'à la hauteur qu'aucune corde en acier de cette longueur ne pourra jamais atteindre. Il s'agit de Fixé-Fixé avec L = 1 m, v = 343 m/s et n = 1.
1. Les deux extrémités étant immobiles, tout motif qui subsiste doit y placer un nœud. Cela n'autorise qu'un nombre entier de demi-longueurs d'onde et rien entre les deux, c'est pourquoi la corde possède une liste de notes autorisées plutôt qu'un continuum.
  
  $L = n \frac{λ _{n}}{2} ⟹ λ_{n} = \frac{2 L}{n} = \frac{2 \times 1}{1} = 2.0000 m$
2. La fréquence est le rapport de la vitesse sur la longueur d'onde, et aucun de ces deux facteurs n'est une donnée nouvelle ici. Les conditions aux limites imposent la longueur d'onde et le milieu fournit la vitesse.
  
  $f_{1} = \frac{v}{λ _{1}} = \frac{343}{2.0000} = 171.50 Hz$
3. La période est l'inverse de la fréquence, mais elle vaut aussi 2L/v — le temps nécessaire à une impulsion pour aller jusqu'à l'autre extrémité et revenir. Une onde stationnaire est un aller-retour qui revient en phase avec lui-même, sa période est donc la durée de ce trajet.
  
  $T = \frac{1}{f _{1}} = 5.831 \times 1 0^{- 3} s = \frac{2 L}{v} = \frac{2}{343}$
4. La vitesse d'une onde sur une corde ne se règle pas directement ; elle découle du rapport de la tension sur la masse linique. Pour un fil d'acier de 0,30 mm, la masse linique se déduit de la masse volumique et de la section transversale, et inverser v = √(F_T/μ) impose 65 N sur le fil — soit une traction de 6,7 kilogrammes, ce qui est le bon ordre de grandeur pour une corde de guitare en acier lisse.
  
  $μ = ρ \frac{π d ^{2}}{4} = 7850 \times \frac{π ( 3.0 \times 1 0 ^{- 4} ) ^{2}}{4} = 5.549 \times 1 0^{- 4} kg/m, v = \frac{F _{T}}{μ} ⟹ F_{T} = μ v^{2} = 65.3 N$
5. Divisons maintenant cette tension par la section transversale pour obtenir la contrainte, et observons le diamètre disparaître. μ et A contiennent tous deux d², de sorte qu'à une vitesse d'onde donnée, la contrainte vaut ρv² et dépend uniquement du matériau. La corde à musique en acier à haute teneur en carbone rompt aux alentours de 2,2 × 10⁹ Pa, et un plafond sur la contrainte constitue donc un plafond sur la vitesse.
  
  $σ = \frac{F _{T}}{A} = \frac{ρ A v ^{2}}{A} = ρ v^{2} = 9.24 \times 1 0^{8} Pa; σ_{m a x} \approx 2.2 \times 1 0^{9} ⟹ v_{m a x} = \frac{σ _{m a x}}{ρ} = 529 m/s, f_{m a x} = \frac{v _{m a x}}{2 L} = 265 Hz$
Réponse

L'outil affiche λ₁ = 2,0000 m, f₁ = 171,50 Hz et une période de 5,831 × 10⁻³ s. L'étape 5 est celle qu'il faut retenir : comme la contrainte nécessaire pour une vitesse d'onde donnée est ρv², le calibre s'annule, et une corde en acier de 1 m ne peut être accordée au-dessus d'environ 265 Hz, quelle que soit son épaisseur. Les instruments restent bien en dessous de cette limite — la corde de piano est utilisée à environ la moitié de sa contrainte de rupture, ce qui abaisse la vitesse utilisable à 374 m/s et fait de 0,72 m la plus longue corde en acier pouvant émettre le do central. Un piano à queue utilise une longueur très proche pour cette note, ce qui valide l'argumentation. C'est aussi pourquoi les cordes graves sont filées avec du cuivre plutôt que fabriquées en acier plus épais : le filage ajoute de la masse linique sans ajouter de section transversale devant supporter la tension, ce qui diminue v tout en laissant σ inchangé.

$σ = ρ v^{2} \forall d ⟹ f_{m a x} = \frac{1}{2 L} \frac{σ _{m a x}}{ρ} = 265 Hz$

Parcours

D'un ressort à l'onde stationnaire

Références (1)

Insight block 3 claims a microwave oven can measure the speed of light. It can, and here is the method: C. Spence, "How to Measure the Speed of Light with a Microwave Oven and a Bar of Chocolate", in Lightspeed: The Ghostly Aether and the Race to Measure the Speed of Light. Oxford University Press, 2019.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

Fondamentale - Mode fondamental : 1 ventre
3e harmonique - 3ᵉ harmonique : 3 ventres
Tuyau ouvert - Fondamental d'un tuyau ouvert
Guitare (2e) - 2ᵉ harmonique d'une corde de guitare