Interférence d'ondes / Deux sources

interférence constructive vs destructive, visualisée en direct

Exemple résolu — Interférence d'ondes / Deux sources

d/lambda	4

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Pourquoi 1+1 peut devenir 0 🖖

Lorsque deux ondes se rencontrent, leurs amplitudes s'additionnent point par point — c'est le principe de superposition. Pour une différence de marche Δr = mλ, les crêtes s'alignent et l'intensité quadruple : I = 4I₀. Pour Δr = (m+½)λ, une crête rencontre un creux et l'intensité tombe à zéro. Le résultat général est Aₛᵤₘ = 2A₀ cos(δ/2), d'où une intensité I ∝ cos²(δ/2). Ce principe est exploité dans les casques à réduction de bruit (qui injectent δ = π), les revêtements antireflets optiques (épaisseur de couche mince λ/4) et les antennes radio à réseau phasé.

Ce que signifient les bandes claires et sombres 🖖

Deux sources émettent des ondes qui se superposent. Choisissez un point quelconque : en général une onde a parcouru un peu plus de chemin que l'autre, et cette différence de marche décide de tout. Quand elle vaut un nombre entier de longueurs d'onde, les crêtes coïncident et une frange brillante apparaît ; si elle s'écarte d'une demi-longueur d'onde, une crête rencontre un creux et le point reste sombre. Augmentez l'écart d et l'outil resserre davantage de franges, selon sin θ = nλ/d.

Un seul électron interfère avec lui-même 🖖

On pourrait croire que l'interférence exige une foule d'ondes se croisant en même temps — c'est faux. Envoyez les électrons un par un à travers une double fente, de sorte qu'un seul se trouve à la fois dans l'appareil, et chacun arrive comme un point isolé, en apparence au hasard. Laissez s'en accumuler des milliers et le même motif de franges surgit. Chaque particule explore d'une certaine manière les deux chemins et interfère avec elle-même — une expérience élue « la plus belle de la physique » par les lecteurs.

Problème entièrement résolu

Deux sources espacées de 2 unités avec une longueur d'onde de 0,5 5 étapes
Deux sources distantes de 2 unités, longueur d'onde 0,5. Déterminer les directions des franges brillantes et sombres du second ordre, puis compter le nombre total de franges brillantes.
1. Tout découle d'un fait géométrique : sous un angle θ, la distance supplémentaire que l'onde de la source éloignée doit parcourir est d sin θ. Qu'elle arrive en phase ou en opposition de phase constitue l'ensemble du sujet.
  
  $Δ r = d sin θ, bright : Δ r = nλ, dark : Δ r = (n + \frac{1}{2}) λ$
2. Lorsque la différence de marche vaut un nombre entier de longueurs d’onde, les crêtes coïncident. L’ordre 2 exige une unité entière de différence de marche, obtenue ici pour un sinus égal à un demi.
  
  $sin θ_{bright} = \frac{nλ}{d} = \frac{2 \times 0.5}{2} = \frac{1}{2} ⟹ θ = 3 0^{\circ}$
3. Avec un décalage d'une demi-longueur d'onde, les crêtes rencontrent les creux. Le 2,5 n'est pas une faute de frappe — la frange sombre n se situe entre la frange brillante n et la frange brillante n+1.
  
  $sin θ_{dark} = \frac{2.5 \times 0.5}{2} = 0.625 ⟹ θ = 38.6 8^{\circ}$
4. Il s'agit maintenant de déterminer les limites. Le sinus ne pouvant dépasser 1, le rapport d/λ limite l'ordre, et les franges existent de part et d'autre du centre, en plus du centre lui-même.
  
  $sin θ \leq 1 ⟹ n \leq \frac{d}{λ} = 4, bright orders = 2 n_{m a x} + 1 = 9$
5. Prenez cette limite au sérieux et elle devient une règle de conception. En dessous d'une longueur d'onde de séparation, il n'y a rien d'autre que le lobe central, et à une demi-longueur d'onde, il n'y en a exactement qu'un.
  
  $d < λ ⟹ n_{m a x} = 0 : one lobe only. d = \frac{λ}{2} is the array spacing that has no grating lobe.$
Réponse

30° et 38,68°, avec neuf franges brillantes au total. Le décompte est l'élément le plus intéressant, et il découle d'une contrainte plutôt que d'un calcul : sin θ ne peut jamais dépasser 1, de sorte qu'aucun ordre au-delà de d/λ = 4 n'a de réalité physique. Réduisez la séparation sous une longueur d'onde et tous les ordres s'effacent à l'exception du central — la figure se réduit à un lobe unique. Ce seul fait explique à la fois une lacune et une nuisance dans deux domaines distincts. C'est la raison pour laquelle une ouverture plus étroite qu'une longueur d'onde rayonne de manière presque uniforme dans toutes les directions, et pourquoi un réseau à commande de phase est construit avec un espacement d'une demi-longueur d'onde : pour d = λ/2, le premier ordre latéral est rejeté à sin θ = 2, ce qui n'existe pas, et le réseau oriente son faisceau sans projeter de répliques parasites dans le ciel.

$θ_{bright} = 3 0^{\circ}, θ_{dark} = 38.6 8^{\circ}, n_{m a x} = ⌊ d / λ ⌋ = 4$

Parcours

D'un ressort à l'onde stationnaire

Mène à Ondes stationnaires une superposition que vous pouvez observer.

Références (2)

Superposition, the cos²(δ/2) intensity and thin-film coatings: Eugene Hecht, Optics, 5th edition, ch. 7 and 9. Pearson, 2017. ISBN 978-0-13-397722-6.
The single-electron double slit in the third block: A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki and H. Ezawa, "Demonstration of single-electron buildup of an interference pattern." American Journal of Physics 57(2), 117–120, 1989.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-05-15

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Exemples de problèmes

grand espacement - grand espacement d=4, lambda=0.5 -> de nombreuses franges claires/sombres étroites
espacement étroit - faible espacement d=1.2, lambda=0.5 -> moins de franges, mais plus larges
grande longueur d'onde - une longueur d'onde plus grande lambda=1.4 écarte davantage les franges
type sonore - longueur d'onde grande, comme pour le son, lambda=2.6, montre de larges zones d'interférence