Laboratoire Moyenne vs Médiane

Comparez la moyenne et la médiane sur un ensemble discret avec une valeur aberrante déplaçable, ou explorez l'évolution de la part sous la moyenne dans une loi log-normale.

Exemple résolu — Laboratoire Moyenne vs Médiane

Moyenne (arithmétique)	1 020,00
Médiane (centrale)	30,00
Rapport Moyenne / Médiane	34,00

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

La majorité gagne sous la moyenne, et il existe une formule pour le savoir 🖖

La moyenne est un point d'équilibre : une seule grande valeur peut la tirer hors de portée de presque tous. La médiane est un comptage : la moitié est au-dessus et la moitié en dessous.

Une valeur aberrante déplace la moyenne sans limite et la médiane pas du tout 🖖

Déplacer une donnée augmente la moyenne de 1/n par unité sans plafond. Dès qu'un point dépasse le milieu de l'ensemble, le déplacer davantage ne modifie pas la médiane d'un centime.

Le bon résumé dépend de la question posée 🖖

Pour connaître le montant total réparti, qu’il s’agisse d’un budget, de recettes fiscales ou de consommation de carburant, utilisez la moyenne. Pour savoir ce que reçoit effectivement une personne représentative, utilisez la médiane. Aucune des deux n’est trompeuse ; elles répondent à des questions différentes.

Problèmes entièrement résolus

Combien de personnes gagnent moins que la moyenne, à partir de la moyenne et de la médiane et de rien d'autre 6 étapes
Les revenus suivent une loi log-normale avec σ = 1,5. Calculez la proportion de personnes qui gagnent moins que la moyenne. Montrez ensuite que vous n'avez jamais eu besoin de σ — une moyenne et une médiane publiées suffisent.
1. Loi log-normale signifie que le logarithme suit une loi normale : ln X est N(μ, σ²). Tout ce qui suit est un énoncé sur ln X traduit en sens inverse, et c'est la seule astuce du problème.
  
  $ln X \sim N (μ, σ^{2})$
2. La médiane est simple. La moitié de ln X se situe sous μ, et le logarithme conserve l'ordre, donc la moitié de X se situe sous e^μ. La médiane vaut e^μ.
  
  $median = e^{μ}, mean = e^{μ + σ^{2} /2}$
3. La moyenne n'est pas e^μ, et cet écart constitue tout le sujet. Pour une loi log-normale, elle vaut e^(μ + σ²/2) — la moyenne est supérieure à la médiane d'un facteur e^(σ²/2), ce qui pour σ = 1,5 donne e^1,125 = 3,0802.
  
  $\frac{mean}{median} = e^{σ^{2} /2} = e^{1.125} = 3.0802$
4. Passons à la proportion. Demander quelle fraction gagne moins que la moyenne revient à demander P(X < e^(μ + σ²/2)), et prendre le logarithme des deux côtés transforme cela en P(ln X < μ + σ²/2), ce qui est une question sur la loi normale avec une réponse classique.
  
  $P (X < e^{μ + σ^{2} /2}) = P (ln X < μ + \frac{σ ^{2}}{2})$
5. Standardisez : soustrayez μ et divisez par σ, et le μ s'annule. La réponse est Φ(σ/2), et pour σ = 1,5, cela donne Φ(0,75) = 0,7734. 77,34 % gagnent moins que la moyenne.
  
  $= Φ (\frac{μ + σ ^{2} /2 - μ}{σ}) = Φ (\frac{σ}{2}) = Φ (0.75) = 0.7734$
6. μ a disparu : l’échelle n’a donc aucune incidence. Qu’une population ait pour médiane 1, 148 ou 22 026, on obtient toujours les 77,3 % affichés dans le panneau. Reprenez maintenant le raisonnement en sens inverse : σ = √(2 ln(moyenne/médiane)). Le rapport suffit à déterminer σ, qui donne à son tour la proportion.
  
  $σ = 2 ln (\frac{mean}{median}) \Rightarrow share = Φ (\frac{σ}{2})$
Réponse

77,34 % pour σ = 1,5, et vous pouvez obtenir ce résultat à partir d’une moyenne et d’une médiane sans jamais connaître σ ni aucun revenu individuel. Lorsqu’un pays annonce un revenu moyen égal à 1,5 fois le revenu médian, il annonce en fait σ = √(2 ln 1,5) = 0,9005. On en déduit que 67,37 % des personnes y gagnent moins que la moyenne, sans microdonnées ni accès à une enquête : deux nombres relevés sur une page officielle suffisent. La formule tranche aussi définitivement le débat de comptoir : Φ(σ/2) est supérieur à 0,5 pour tout σ > 0. Dans TOUTE population suivant une loi lognormale, plus de la moitié des personnes gagnent donc moins que la moyenne ; plus les inégalités augmentent, plus cette proportion se rapproche de la totalité. Il n’existe aucune distribution de cette famille dans laquelle il soit vrai que « la plupart des gens gagnent plus que la moyenne ». Contrairement à la médiane, la moyenne renseigne sur le total : multipliez-la par la population et vous obtenez la masse salariale. Voilà précisément pourquoi elle sert à mesurer une économie, alors même qu’elle ne décrit presque aucun de ses membres.
Cinq ménages, un des cinq erroné, et ce que l'on peut encore affirmer 6 étapes
Un village de cinq ménages déclare des revenus de 10, 20, 30, 40 et 5 000. Calculez la moyenne et la médiane, puis supposez qu'un des cinq chiffres est une erreur de frappe et déterminez ce que l'on peut encore affirmer.
1. La moyenne est le total réparti : 5 100 entre cinq ménages donne 1 020. Remarquez ce que cela produit avant d'aller plus loin. La moyenne est supérieure à quatre des cinq nombres qui ont servi à la calculer.
  
  $\overset{x}{ˉ} = \frac{10 + 20 + 30 + 40 + 5000}{5} = \frac{5100}{5} = 1020$
2. La médiane est une position, non un total. Classez les cinq valeurs et prenez la troisième : c'est 30. Quatre ménages se situent en dessous de la moyenne et deux en dessous de la médiane, sur les mêmes données.
  
  $x_{(1)}, \dots, x_{(5)} = 10, 20, 30, 40, 5000 ⟹ med = x_{(3)} = 30$
3. La carte du rapport Moyenne / Médiane affiche 34,00. Sur des données symétriques, ce rapport vaut 1 ; une lecture de 34, c'est la page qui signale que les deux résumés ne décrivent plus le même village.
  
  $\frac{x ˉ}{med} = \frac{1020}{30} = 34.00$
4. Faites glisser la cinquième valeur et observez la moyenne. Elle se déplace d'un cinquième de chaque unité ajoutée, sans rien pour l'arrêter : d'un bout à l'autre du curseur, la moyenne varie de 22 à 1 020.
  
  $\frac{\partial x ˉ}{\partial x _{5}} = \frac{1}{5} = 0.2 ⟹ x_{5} : 10 \to 5000 \Rightarrow \overset{x}{ˉ} : 22 \to 1020$
5. La médiane, sur le même déplacement, ne prend que deux valeurs, 20 et 30, et le tri en est la raison. Toute valeur inférieure à 20 laisse 20 en troisième position, toute valeur supérieure à 30 y laisse 30, et entre les deux la cinquième valeur est elle-même la médiane. Que le ménage gagne 5 000 ou cinq millions, la médiane reste prisonnière d'une fenêtre de largeur dix.
  
  $x_{5} \leq 20 \Rightarrow med = 20; 20 \leq x_{5} \leq 30 \Rightarrow med = x_{5}; x_{5} \geq 30 \Rightarrow med = 30$
6. Passons à la version plus difficile de la question. On sait qu'un des cinq chiffres est erroné, mais pas lequel. Examinez les cinq cas : la médiane corrigée doit tomber entre 20 et 40, quelle que soit la vraie valeur. La moyenne corrigée, elle, pourrait être n'importe quoi.
  
  $med \in [20, 40], \overset{x}{ˉ} \in (- \infty, \infty)$
Réponse

Moyenne 1 020, médiane 30. Avec une valeur fausse non identifiée, on sait encore que la médiane se trouve dans [20 ; 40], mais la moyenne reste entièrement indéterminée.

Cette fenêtre est ce à quoi se réduit la robustesse une fois quantifiée, et elle va plus loin qu'un seul chiffre erroné. Deux de ces cinq nombres peuvent être arbitraires et la médiane tombera toujours entre le plus petit et le plus grand des trois qui sont fiables ; trois ne le peuvent pas, car deux survivants laissent la position centrale libre. La fraction qu'un indicateur peut tolérer est son point de rupture : un sur n pour la moyenne, qui s'amenuise jusqu'à rien quand l'échantillon grandit, et un demi pour la médiane. La contrepartie est le même fait lu en sens inverse. Ce village a une médiane de 30 que le cinquième ménage gagne 5 000 ou 50, si bien que la médiane ne peut pas vous indiquer que quelqu'un ici est riche. Aucun des deux nombres ne dit les deux choses à la fois, et c'est pourquoi on les cite ensemble.

$ε^{*} (\overset{x}{ˉ}) = \frac{1}{n} n \to \infty 0, ε^{*} (med) \to \frac{1}{2}$

Parcours

Un nombre pour plusieurs : statistiques résumées

Mène à spread-and-deviation

Références (2)

Why so many real distributions are log-normal, which is what makes the mean-median gap ordinary rather than exotic Limpert, E., Stahel, W. A. and Abbt, M. (2001). Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues. BioScience, 51(5), 341–352. doi:10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2
The mean and the median as answers to different questions, and the effect of a single extreme value Freedman, D., Pisani, R. and Purves, R. (2007). Statistics (4th ed.). W. W. Norton — on the median, the mean, and which one a skewed histogram calls for.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-09-03

Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues. Politique éditoriale · Corrections

Toutes les leçons : Statistiques & Finance →

Exemples de problèmes

Une aberrante (5 000) - Quatre valeurs à 10, 20, 30, 40 et une aberrante à 5 000. La moyenne s'envole à 1 020,00 tandis que la médiane reste immobile à 30,00.
Ensemble symétrique (50) - Cinq valeurs régulièrement espacées (10, 20, 30, 40, 50). La moyenne (30,00) et la médiane (30,00) coïncident exactement.
Étalement modéré (σ = 0,5) - Dans une population modérément étalée (σ = 0,50), la moyenne vaut 1,13 fois la médiane, et 59,9 % de la population se situe sous la moyenne.
Étalement fort (σ = 1,5) - Dans une population fortement étalée (σ = 1,50), la moyenne vaut 3,08 fois la médiane, et 77,3 % de la population se situe sous la moyenne.