脱出速度比較ツール

地球から投げ出された物体が二度と戻ってこなくなる速度を求めよ。ついでその値を用いて、地球に今なお窒素が存在し、水素が徐々に失われつつある理由、そして月に大気が全く存在しない理由を説明せよ。 地球: M = 5.972 × 10²⁴ kg、R = 6371 km。

1. 「二度と戻ってこない」というのは高度についての言及ではなく、エネルギーに関する記述である。重力の引きつける力は距離とともに弱まるが完全に消えることはない。そのため、必要な条件は、運動エネルギーがその物体が位置している重力の井戸の深さと少なくとも同等以上であることである。

   $$\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{R}\ge 0$$

2. 全エネルギーをゼロとおいて（何も残さずに無限遠に到達する限界のケース）、方程式を解く。投げ出される物体自体の質量は相殺される。これが最初の驚くべき点である。弾丸であれ巨岩であれ、全く同じ速度を必要とするのである。

   $$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$$

3. 地球の数値を入れる。これは、上の比較ツールで地球を選択したときに出力される数値であり、これが推力ではなく速度である点に注目する価値がある。どうやってその速度に達するかについては、ここでは何も規定していない。

   $$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2(6.674\times 10^{-11})(5.972\times 10^{24})}{6.371\times 10^6}}=11186m/s\approx 11.2km/s$$

4. ここで m が相殺されたという事実を利用する。これはロケットと同様に窒素分子にも適用される。気体分子の運動速度は単一ではないが、二乗平均速度は温度のみによって決まる。

   $$v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}:{\mathrm{H}}_2\text{at}288\mathrm{K}=1.90km/s,{\mathrm{N}}_2=0.51km/s$$

5. 分子が脱出速度を超えたからといって、気体がただちに失われるわけではありません。速度分布の高速側の裾にある分子が、数十億年かけて少しずつ宇宙へ逃げていきます。天体が気体を保持できる目安は、脱出速度が分子の速度のおよそ六倍以上であることです。表の月の値には、月面そのものの温度を用いています。熱を行き渡らせる大気がないため、昼側の温度は約390 Kに達し、窒素分子の速度は0.59 km/sまで上がります。

   $$\frac{v_{\text{esc}}}{v_{\text{rms}}}:\text{Earth},{\mathrm{N}}_2=22\text{Earth},{\mathrm{H}}_2=5.9\text{Moon},{\mathrm{N}}_2=4.0$$

11.2 km/s で地球からは脱出できます。太陽からは脱出できません。地球と同じ距離で太陽の手の内に残され、たったいま離れた惑星と並んで公転するだけです。太陽系を出るのに実際いくらかかるのかを計算しましょう。

1. パネルの数と、それを生んだエネルギー収支から始めます。運動エネルギーが重力の井戸の深さをちょうど打ち消す、というだけの式です。

   $$v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{\frac{2(6.674\times 10^{-11})(5.972\times 10^{24})}{6.371\times 10^6}}=11.19\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

2. 次に、測る中心を取り替えます。地球自身が太陽のまわりを落ち続けており、その速さは 1 天文単位の距離で同じ法則が決めています。

   $$v_{\oplus }=\sqrt{\frac{G{M}_{\odot }}{a}}=\sqrt{\frac{(6.674\times 10^{-11})(1.989\times 10^{30})}{1.496\times 10^{11}}}=29.79\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

3. その距離から太陽を脱出するには円軌道速度の √2 倍が要ります——先ほどとまったく同じ関係です。どちらの天体に捕まっているかを算術は気にしません。

   $$v_{\mathrm{esc},\odot }(1\mathrm{AU})=\sqrt{2}{v}_{\oplus }=1.4142\times 29.79=42.13\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

4. 引き算して、何が与えられているかを見てください。すでに 29.79 で動いていて 42.13 が要るのだから、足りないのは差だけ。しかもそれは、地球がすでに進んでいる向きに打ち上げれば無料で手に入ります。

   $$\Delta v=42.13-29.79=12.34\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

5. とはいえ地球から這い出す必要はあり、足し合わさるのは速度ではなくエネルギーです。だから 2 つの値は二乗で合成されます。地表で必要な速さは和ではなく斜辺です。

   $$\frac{1}{2}{v}^2-\frac{GM}{R}=\frac{1}{2}\Delta v^2⟹v=\sqrt{v_{\mathrm{esc}}^2+\Delta v^2}=\sqrt{11.19^2+12.34^2}=16.65\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$

6. では向きを変えて、地球の動きに逆らって打ち上げてみましょう。2 つの速度は打ち消し合うのをやめ、足し合わさります。

   $$v_{\mathrm{retro}}=\sqrt{11.19^2+(42.13+29.79{)}^2}=\sqrt{125.2+5172.5}=72.79\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$$