対数エクスプローラー

対数は掛け算を足し算に変えます — これがすべてのトリックであり、だからこそ人間が巨大な範囲を読みやすいものに圧縮する必要がある場面ならどこにでも現れます。pHスケールは-log₁₀[H⁺]で表され、1段階の変化は酸性度の10倍の変化を意味します。デシベルは10·log₁₀(パワー比)で表され、静かな部屋とジェットエンジンは生の出力でおよそ1兆倍違いますが、デシベルではわずか約120dBの差にしかなりません。リヒタースケール（モーメントマグニチュード）も同じ仕組みで、マグニチュード7の地震はマグニチュード6の地震よりも約32倍多くのエネルギーを放出します。7/6倍ではありません。電卓が登場する前、技術者たちは計算尺を持ち歩き、この足し算のトリックを物理的な定規に変えていました。対数目盛りの付いた2本の尺をスライドさせるだけで、長さを足すだけで2つの数を掛け算できたのです。そして情報理論では、何かを表現するのに必要なビット数は文字通り可能性の数のlog₂であり、選択肢が2倍になるごとにちょうど1ビット多く必要になります。

対数は逆向きの問いを立てます。b を何乗すれば x になるか? その答えこそが対数であり、log_b(x) は要するに指数そのものです。だからこのツールのすべての曲線は (1, 0) を通ります。どんな底でも 0 乗は 1 だからです。表示される 2 つの基準、ln(x) と log10(x) は、底 e と底 10 で同じ問いを立てたものです。

底を動かすと曲線は形が変わるように見えますが、実は変わっていません。底の変換公式より log_b(x) = ln(x) / ln(b) となり、どの曲線も ln(x) に一定の数を掛けただけです。スライダーは唯一の普遍的な曲線を縦に伸縮させているにすぎません。底を 1 より小さくするとその係数は負になり曲線は上下反転し、ちょうど 1 にすると ln(1) = 0 でゼロ除算となり、すべてが破綻します。