ピックの定理：点を数えて面積を求める

四芒星を押してみてください。この多角形には内部に53個、辺上に8個の格子点があり、その面積は 53 + 8 ÷ 2 − 1 = 56 となります。頂点の座標のみを使い、点を数えない靴ひも公式を使っても同じく 56 が得られます。これが1899年にゲオルグ・ピックによって発表されたピックの定理です。自己交差や穴を持たず、すべての頂点が格子点上にある単純多角形の場合、内部の点を I、境界上の点を B とすると、その面積は I + B ÷ 2 − 1 となります。頂点をドラッグすると、二つの数字が連動して変化するのがわかるでしょう。定規も、三角形の引き算も、近似も必要ありません。このような多角形の面積は、二つの整数だけで完全に決まるのです。

細長い三角形を押してください。幅は 13 あり、線のように細く見えます。三つの頂点を除けば、格子点にはまったく触れていません。この三角形の面積は正確に ½ です。他の格子点を内部にも辺上にも含まない格子三角形は、どんなに細長くても必ずこの面積になります。実はこれが定理の基礎となっています。任意の単純な格子多角形はこのような三角形に分割することができ、その数は 2I + B − 2 個となります。穴がある場合は、一つにつき二つ追加されます。四芒星を押し、基本三角形を表示をオンにして数えてみてください。面積 ½ の三角形が112個あり、合計で 56 になることがわかります。

リーヴ、r = 5を押してみてください。四つの頂点は格子点上にありますが、高さをどのように変えても、内部や表面に他の格子点は一つも含まれません。その体積は高さを6で割った値になります。高さが 5 のときは 5 ÷ 6 です。表には高さが 1 から 10 までの場合が示されていますが、内部の点はゼロ、境界上の点は四つと数は変わらないのに、十種類の異なる体積が並んでいます。もしこれら二つの数から体積を求める公式が存在したとすれば、同じ入力から十個の異なる答えを出さなければならないことになります。ジョン・リーヴは1957年にこの立体を発見しました。これと同じ形をした三次元版のピックの定理が存在しないのは、まさにこのためなのです。