鏡映と平面の合同変換

交わる二枚の鏡を押してみてください。鏡は45°で交わっており、Fを一枚目、次に二枚目で反射させると、交点を中心として90°回転します。これは鏡同士がなす角度の2倍です。一回の反射ごとにFは裏返るので、二回反転すれば向きは元に戻ります。向きを保存して一点を固定する合同変換は、その点を中心とする回転になります。続いて平行な二枚の鏡を押してみましょう。間隔2で並ぶ二枚の鏡により、Fは鏡に対して直角に、間隔の2倍である4だけ平行移動します。平行移動とは、中心が無限遠に移動してしまった回転のようなものです。そして平行な鏡とは、交点が無限の彼方へ去ってしまった「交わる鏡」だと言えます。

交わる二枚の鏡を押し、次に同じ鏡を逆順でを押してください。二本の直線は先ほどと同一ですが、どちらを先にするかだけが変わっています。これにより回転は+90°から−90°に変わります。それぞれの反射は自分自身を打ち消す性質を持つため、二番目の合成変換は一番目の変換を元に戻す働きをします。ところが、一点を通る三枚の鏡になると順序は影響しなくなります。一点を通る三枚を押して順序を逆にしてみてください。結果は別の反射ではなく、全く同じ一回の反射になります。二枚の鏡で順序が重要になるのは、重なっていたり垂直であったりしない場合です。三枚の鏡では、すべてが一点で交わるかすべて平行である場合を除き、順序が関係します。

平面のあらゆる合同変換は、恒等変換、鏡映、回転、平行移動、または滑り反射の5つのうちのいずれかです。滑り反射とは直線での反射とそれに沿った平行移動を組み合わせたもので、砂浜についた足跡が日常的な例として挙げられます。三角形をなす三枚を押してみてください。一点で交わることも、全てが平行になることもない三本の直線により、60°の直線上で移動量6の滑り反射が作られます。一枚の鏡では平行移動できず、二枚の鏡では裏返すことができないため、これより少ない回数の反射でこの変換を得ることはできません。滑り反射を作るや回転を作るを押すと逆の処理が行われ、指定した変換を実現する鏡が見つかります。いかなる場合でも、鏡は高々三枚あれば十分です。